2020-2021/TST/02_Modelisation_suite/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Cas de covid en mars}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Ci-contre, un tableau reportant le nombre de cas cumulé de Covid autour du début du mois de mars 2020.

        \begin{enumerate}
            \item Représenter les données du tableau avec un nuage de points (jour en abcisse et nombre de cas en ordonnée).
            \item À partir des données du tableau, faire une estimation du nombre de cas pour le 2 mars puis pour le 10mars.
            \item Au 16mars, on dénombrait 6633 cas. Que pensez-vous de votre estimation?
        \end{enumerate}
        
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tabular}{|l|c|}\hline%
            \bfseries Jour & \bfseries Nombre de cas
            \csvreader[head to column names]{./covid_0226_0301.csv}{}%
            {\\\jours & \cas}%
            \\\hline
        \end{tabular}

        \smallskip
        \textbf{Document:} Nombre de cas cumulé de covid
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Modèle de propagation de l'épidémie, R0}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}]
    Pour suivre un épidémie, un paramètre important est $R0$. Ce nombre décrit le nombre de personne que l'on risque d'infecter si l'on est malade.

    \begin{enumerate}
        \item Supposons que $R0$ soit égal à 2. C'est à dire que chaque personne malade risque de transmettre le virus à 2 autres personnes en une journée.
            \begin{enumerate}
                \item Supposons qu'au premier jour, il y ai 10 personnes malades. Combien seront malade le deuxième jour? Le 3e? et le 10e?
                \item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
                \item (*) Trouver une formule pour calculer le nombre de malades au 100e jour.
                \item (*) En combien de jours, l'épidémie aura touchée plus de 1000 personnes?
            \end{enumerate}
        \item On suppose maintenant que $R0 = 1,2$ et qu'il y a 20 malades au premier jour.
            \begin{enumerate}
                \item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
                \item Combien de peronnes seront malade après 1 moi (31jours)?
            \end{enumerate}
        \item Finalement, on suppose que $R0 = 0.8$ et qu'il y a 100 malades.
            \begin{enumerate}
                \item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
                \item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
            \end{enumerate}
        \item (*) Comment se comporte l'épidémie suivant la valeur de $R0$?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs et reconnaissance}, step={2}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Techniques}]
    Pour les suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{10}$ puis reconnaître la nature de la suite.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 1$
            \item $u_{n+1} = -2 + u_n$ et $u_0 = 100$
            \item $u_{n+1} = 3u_n$ et $u_0 = 1$

            \item $u_{n+1} = 0.5u_n$ et $u_0 = 10$
            \item $u_{n} = 2n + 5$
            \item $u_{n+1} = 0.5n - 1$

            \item $u_{n+1} = 2u_n-5$ et $u_0 = 10$
            \item $u_{n} = 0.3\times 4^n$
            \item $u_{n+1} = 2u_n - n + 2$ et $u_0 = 0$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs encore!}, step={2}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Techniques}]
    Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{10}$ pour les suites suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $(u_n)$ suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r = -0.1$
            \item $(v_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0=100$ et de raison $q = 5$
            \item $(w_n)$ suite arithmétiques de premier terme $u_0=1$ et de raison $r = 5$
            \item $(x_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0=100$ et de raison $q = 0.1$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Continuer la suite}, step={2}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Techniques}]
    \begin{enumerate}
        \item À partir des premiers termes, identifier la nature de la suite puis calculer les 2 termes suivants
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $u_0 = 4$, $u_1 = 8$, $u_2 = 12$, $u_3 = 16$ 
                    \item $u_0 = 5$, $u_1 = 15$, $u_2 = 45$, $u_3 = 135$ 

                    \item $u_0 = 140$, $u_1 = 210$, $u_2 = 315$
                    \item $u_0 = 140$, $u_1 = 210$, $u_2 = 280$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Proposer une méthode pour identifier les suites arithmétiques.
        \item Proposer une méthode pour identifier les suites géométriques.
    \end{enumerate}
\end{exercise}


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