Feat: refait l'exercice de probabilités
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Portique }, points=7, tribe={1}, type={Exercise}]
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On estime que 23\% des voyageurs font sonner le portique d'un aéroport. On suppose que chaque voyageur fait sonner ce portique indépendamment des autres.
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En France, la probabilité de la naissance d'une garçon est $ p = 0.515$ à chaque naissance (on ne considèrera pas les cas des jumeaux).
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Arrive un groupe de 3 personnes. On s'intéresse au nombre de fois que le portique va sonner.
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On choisit au hasard 3 familles avec un enfant unique et on s'intéresse au nombre de garçon.
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On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de garçons.
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On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois que le portique sonne pour 3 personnes.
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\begin{enumerate}
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% 2pts
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\item Faire un arbre de probabilité modélisant cette situation.
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% 1pt
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\item Quelle loi suit $X$, préciser ses paramètres.
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% 1pt
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\item Quelle est la probabilité que le portique sonne 2 fois?
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\item Quelle est la probabilité qu'exactement 2 familles aient un garçon?
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% 2pts
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\item Calculer les quantités suivantes
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\item Calculer puis interpréter les quantités suivantes
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\[
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P(X = 0) \qquad \qquad P(X \leq 1)
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\]
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% 1pt
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\item Combien en moyenne le portique va-t-il sonner quand 3 personnes passent?
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\item Combien en moyenne les 3 familles sélectionnées auront de garçons?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=6, tribe={2}, type={automatismes}]
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\begin{enumerate}
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\item Simplifier le calcul suivant
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\begin{bclogo}[barre=none, logo=]{Réponse}
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$\ds \frac{2\times10^{4} \times 10^{-2}\times 6}{5\times 10^2 \times 10^6} =$
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\vspace{2cm}
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\end{bclogo}
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\item Une quantité est augmentée de 30\%. Quel taux d'évolution doit-on appliqué pour la faire revenir à sa valeur initiale?
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\reponse{2.5cm}
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\item En 2010, la chiffre d'affaire d'une entreprise était de \np{25 000}. Chaque année, il a progressé de 11\%. Quel est le taux d'évolution global entre 2010 et 2020?
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\reponse{2.5cm}
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\item En 2015, j'achète une voiture \np{12000}\euro. En 2019, elle a perdu 50\% de sa valeur. Quelle a été la perte annuelle moyenne?
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\reponse{2.5cm}
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\item Convertir $89,45m^3$ en $cm^3$
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\reponse{2cm}
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\pagebreak
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\item Convertir 2,75h en heure et minutes.
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\reponse{2cm}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Équation et logarithme}, points=4.5, tribe={2}, type={Exercise}]
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Résoudre par un calcul les équations et inéquations suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $10^x = 250$
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\item $10^{-3x + 1} \leq 5$
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\item $4\times 10^x = 100$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Production en transition}, points=9.5, tribe={2}, type={Exercise}]
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\noindent
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Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :
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\begin{multicols}{2}
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\begin{itemize}
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\item la fonction $f$ définie sur [0~;~14] par
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\[f(x) = \np{2000}\times 0.81^{x}\]
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pour le produit A ;
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\item la fonction $g$ définie sur [0~;~14] par
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\[g (x)= 15x^2 + 50 x\]
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pour le produit B
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\end{itemize}
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\end{multicols}
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Où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.
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\noindent
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\textbf{Partie A}
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Leurs courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-contre.
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Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la quantité de produit A au lancement du produit B?
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\item Quelle est la quantité de produit B produite 9 mois après le lancement?
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\item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
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\item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à \np{3000}~tonnes.
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Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte?
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=1]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=14,xstep=1,
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ymin=0,ymax=3500,ystep=500]
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\tkzGrid
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\tkzGrid[sub, subystep=100, subxstep=1]
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\tkzDrawX[label={\textit{Temps (en mois)}},below=10pt]
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\tkzLabelX
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\tkzDrawY[label={\textit{Production (en tonnes)}}, right=10pt]
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\tkzLabelY
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\tkzFct[domain=0:14,color=red,very thick]{2000*0.81**(\x)}
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\tkzDefPointByFct(1)
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\tkzText[above right,text=red](tkzPointResult){${\mathcal{C}}_f$}
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\tkzFct[domain=0:14,color=black,very thick]{15*\x**2 + 50*\x}
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\tkzDefPointByFct(1)
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\tkzText[above right,text=black](tkzPointResult){${\mathcal{C}}_g$}
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%\tkzFct[domain=0:14,color=green,very thick]{15*\x**2 + 50*\x + 2000*0.81**\x}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\noindent
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\textbf{Partie B}
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\noindent
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Vos réponses aux questions suivantes ne pourront pas être justifiées à l'aide du graphique.
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\noindent
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\begin{enumerate}
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\item Calculer et interpréter $f(4)$ et $g(4)$.
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\item Quelle sera la production de produit A 9 mois après le lancement?
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\item À partir de la formule de $f(x)$ justifier que la fonction est décroissante.
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\item Combien de temps faut-il attendre pour que la production de produit A soit inférieur à 400tonnes.
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\item (*) Combien de temps faut-il attendre pour que la production totale soit supérieur à 2100 tonnes?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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