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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Formalisation des suites - Cours}
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\date{août 2020
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\date{août 2020}
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\pagestyle{empty}
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@ -11,4 +11,111 @@
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\maketitle
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\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{center}
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||||
\large{\textbf{Suite Arithmétique}}
|
||||
\end{center}
|
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\columnbreak
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||||
\begin{center}
|
||||
\large{\textbf{Suite Géométrique}}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\subsection*{Définitions}
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\begin{multicols}{2}
|
||||
Une suite arithmétique modélise les situations où l'on répète une \textbf{addition}.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
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||||
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
|
||||
]
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%Nodes
|
||||
\node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
|
||||
\node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
|
||||
\node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
|
||||
\node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
|
||||
\node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
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||||
|
||||
%Lines
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||||
\path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (deuxieme.west);
|
||||
\path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (troisieme.west);
|
||||
\path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
|
||||
\path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (der.west);
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||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
La quantité ajoutée $r$ est appelée la \textbf{raison}.
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||||
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||||
\columnbreak
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||||
Une suite géométrique modélise les situations où l'on répète une \textbf{multiplication}.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[
|
||||
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
|
||||
]
|
||||
%Nodes
|
||||
\node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
|
||||
\node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
|
||||
\node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
|
||||
\node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
|
||||
\node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
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||||
|
||||
%Lines
|
||||
\path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (deuxieme.west);
|
||||
\path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (troisieme.west);
|
||||
\path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
|
||||
\path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (der.west);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
La quantité par laquelle on multiplie $q$ est appelée la \textbf{raison}.
|
||||
\end{multicols}
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||||
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||||
\subsection*{Formules de récurrence}
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||||
\begin{multicols}{2}
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\[
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||||
u_{n+1} = u_{n} + r
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\]
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||||
\columnbreak
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\[
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||||
u_{n+1} = u_{n} \times q
|
||||
\]
|
||||
\end{multicols}
|
||||
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||||
\subsection*{Formules explicite}
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\begin{multicols}{2}
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||||
\[
|
||||
u_{n} = u_{0} + r\times n
|
||||
\]
|
||||
\columnbreak
|
||||
\[
|
||||
u_{n} = u_{0} \times q^n
|
||||
\]
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||||
\end{multicols}
|
||||
\subsection*{Déterminer la nature d'une suite}
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||||
\begin{multicols}{2}
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||||
On calcule la \textbf{différence} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
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||||
\[
|
||||
u_1 - u_0 = ...
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
u_2 - u_3 = ...
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||||
\]
|
||||
Ou plus généralement,
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||||
\[
|
||||
u_{n+1} - u_n = ...
|
||||
\]
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||||
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||||
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\columnbreak
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||||
On calcule la \textbf{quotient} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
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||||
\[
|
||||
\frac{u_1}{u_0} = ...
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\frac{u_2}{u_3} = ...
|
||||
\]
|
||||
Ou plus généralement,
|
||||
\[
|
||||
\frac{u_{n+1}}{u_n} = ...
|
||||
\]
|
||||
\end{multicols}
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||||
|
||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
@ -10,9 +10,12 @@
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step=1,
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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||||
\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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||||
\printcollection{banque}
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||||
\end{document}
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BIN
TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.pdf
Normal file
BIN
TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.pdf
Normal file
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TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.tex
Normal file
25
TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.tex
Normal file
@ -0,0 +1,25 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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||||
\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Formalisation des suites - Cours}
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\date{octobre 2020}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=2,
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}
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\input{exercises.tex}
|
||||
\printcollection{banque}
|
||||
\vfill
|
||||
\printcollection{banque}
|
||||
\vfill
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||||
\printcollection{banque}
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\vfill
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||||
\end{document}
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||||
@ -1,35 +1,35 @@
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Continuer une suite}, step={1}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
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||||
Ci-dessous, vous trouverez 2 début de suites de nombre.
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||||
Ci-dessous, vous trouverez des débuts de suites de nombre.
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||||
\begin{multicols}{3}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Identifier la nature des suites $(u_n)$ et $(v_n)$
|
||||
\item Calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
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||||
\item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite arithmétique.
|
||||
\item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite géométrique.
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||||
\item $u_0 = 10$, $u_1 = 15$, $u_2 = 22.5$
|
||||
\item $v_0 = 10$, $v_1 = 15$, $v_2 = 20$
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||||
|
||||
\item $w_0 = 90$, $w_1 = 108$, $w_2 = 129,6$
|
||||
\item $x_0 = 90$, $x_1 = 54$, $x_2 = 32.4$
|
||||
|
||||
\item $y_0 = 5$, $y_1 = 2$, $y_2 = -1$
|
||||
\item $z_0 = 5$, $z_1 = 25$, $z_2 = 125$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Identifier la nature et les paramètres des suites.
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||||
\item Pour chaque suites, calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Placement banquaire}, step={1}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
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||||
On veut placer sur un compte en banque 1000\euro. Le banquier propose deux solutions.
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||||
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Placement à rendement fixe: la valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année.
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||||
\item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 4\% chaque année.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Placement à rendement fixe: La valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année.
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Calculer le solde du placement après 1 an, 2ans 3ans.
|
||||
\item On note $(u_n)$ la suite qui modélise le solde du placement en fonction de l'année $n$. Déterminer la nature de la suite ainsi que ses paramètres.
|
||||
\item Écrire une formule qui modélise le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$.
|
||||
\item Calculer $u_{50}$. Interpréter.
|
||||
\item Écrire une formule qui calcule $u_n$ pour n'importe quelle valeur de $n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 3\% chaque année.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer le solde du placement après 1 an, 2ans 3ans.
|
||||
\item On note $(v_n)$ la suite qui modélise le solde du placement en fonction de l'année $n$. Déterminer la nature de la suite ainsi que ses paramètres.
|
||||
\item Écrire une formule qui modélise le passage de $v_n$ à $v_{n+1}$.
|
||||
\item Calculer $v_{50}$. Interpréter.
|
||||
\item Écrire une formule qui calcule $v_n$ pour n'importe quelle valeur de $n$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\item (*) Déterminer le nombre d'année avant que le placement à intérêt composés dépasse le placement à rendement fixe.
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||||
\item Pour chaque placement, calculer le solde du compte après 1an, 2ans puis 3ans.
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||||
\item Combien de temps doit-on attendre avant que le placement avec intérêt composés devienne plus rentable que l'autre placement?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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@ -50,5 +50,38 @@
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Évaluation de suites}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
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||||
Pour chacune des suites suivantes, calculer 3 premiers termes, identifier la nature et les paramètres de la suite, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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||||
\begin{multicols}{3}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $u_{n+1} = u_n + 6$ et $u_0 = 10$
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||||
\item $u_{n+1} = -0.5 + u_n$ et $u_0 = 15$
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||||
\item $u_{n+1} = 1.3u_n$ et $u_0 = 2$
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||||
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||||
\item $u_{n+1} = 0.95u_n$ et $u_0 = 10$
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||||
\item $u_{n} = 2n + 5$
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||||
\item $u_{n} = 10\times0.5^n$
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||||
\item $u_{n} = 2u_n-5$ et $u_0 = 10$
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||||
\item $u_{n} = 0.3\times 4^n$
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||||
\item $u_{n} = 2n^2 - n + 2$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{multicols}
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\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Retrouver ce qui manque}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
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||||
Pour chacune des suites suivantes retrouver la raison et le premier terme, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $(u_n)$ suite arithmétique telle que $u_2 = 10$ et $u_4=20$.
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\item $(v_n)$ suite arithmétique telle que $u_{10} = 5$ et $u_{15} = 6$.
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||||
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||||
\item $(w_n)$ suite géométrique telle que $u_2 = 5$ et $u_3 = 6$.
|
||||
\item $(x_n)$ suite géométrique telle que $u_3 = 10$ et $u_5 = 20$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
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||||
\collectexercisesstop{banque}
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||||
@ -2,7 +2,7 @@ Formalisation des suites
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########################
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||||
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||||
:date: 2020-08-24
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||||
:modified: 2020-10-07
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||||
:modified: 2020-10-08
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:tags: Suites, Analyse
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||||
:category: TST
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@ -11,6 +11,10 @@ Formalisation des suites
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||||
Étape 1: Trouver les formules explicites
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========================================
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.. image:: ./1E_formalisation.pdf
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:height: 200px
|
||||
:alt: Calculs de termes d'une suite
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||||
Les élèves choisissent une suite géométrique et une suite arithmétique. Ils doivent calculer u100 et u1000!
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||||
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||||
.. image:: ./1E_formalisation.pdf
|
||||
@ -19,6 +23,9 @@ Les élèves choisissent une suite géométrique et une suite arithmétique. Ils
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||||
|
||||
Formalisation dans le cours des deux formules trouvées.
|
||||
|
||||
.. image:: ./1B_formalisation.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Toutes les formules sur les suites
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||||
Étape 2: Technique
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==================
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@ -27,6 +34,11 @@ Calculer les termes d'une suite à partir de différentes formes.
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||||
Passage explicite <-> recu.
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||||
À partir de deux termes + nature ou de 3 termes retrouver u0 et la raison.
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||||
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||||
.. image:: ./2E_technique.pdf
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||||
:height: 200px
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||||
:alt: Exercices techniques pour retrouver la raison et le premier terme.
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||||
Étape 3: Moyenne arithmétique et géométrique
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============================================
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@ -37,4 +49,7 @@ Questions d'intro puis cours puis exercices techniques.
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Type E3C
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Exercices à revoir mais sympa:
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- MATH2T-122A0-1125 (avec graph exponentiel)
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- MATH2T-122A0-1130 (avec formule explicite)
|
||||
- MATH2T-123A0-1126 (formule puis modélisation)
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||||
|
||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@ -1,5 +1,6 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage[europeanresistors]{circuitikz}
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||||
|
||||
\author{Benjamin Bertrand}
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||||
\title{Complexes - Cours}
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@ -26,5 +26,22 @@
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Impédence d'un circuit}, step={1}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}]
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||||
Soit 3 dipôles dont l'impédance est modélisée par les nombres complexes suivants
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% $Z_1 = 1 + j \qquad \qquad Z_2 = j \qquad \qquad Z_3 = 2 + j$
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\begin{circuitikz}
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\draw (0,0) to[R, l=$Z_1$, a=$1+j$](2,0)
|
||||
\end{circuitikz}
|
||||
% \begin{circuitikz}
|
||||
% \draw (0,0) to[R, l=$Z_2$, a=$j$](2,0);
|
||||
% \end{circuitikz}
|
||||
% \begin{circuitikz}
|
||||
% \draw (0,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2+j$](2,0);
|
||||
% \end{circuitikz}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
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||||
\collectexercisesstop{banque}
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