Feat: étape 1 sur la formalisation des suites
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Formalisation des suites - Cours}
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\date{août 2020
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\date{août 2020}
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\pagestyle{empty}
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@ -11,4 +11,111 @@
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\maketitle
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\begin{multicols}{2}
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\begin{center}
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\large{\textbf{Suite Arithmétique}}
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\end{center}
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\columnbreak
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\begin{center}
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\large{\textbf{Suite Géométrique}}
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\end{center}
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\end{multicols}
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\subsection*{Définitions}
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\begin{multicols}{2}
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Une suite arithmétique modélise les situations où l'on répète une \textbf{addition}.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[
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roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
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]
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%Nodes
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\node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
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\node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
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\node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
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\node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
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\node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
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%Lines
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\path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (deuxieme.west);
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\path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (troisieme.west);
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\path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
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\path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (der.west);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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La quantité ajoutée $r$ est appelée la \textbf{raison}.
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\columnbreak
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Une suite géométrique modélise les situations où l'on répète une \textbf{multiplication}.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[
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roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
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]
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%Nodes
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||||
\node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
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||||
\node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
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||||
\node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
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||||
\node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
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||||
\node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
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%Lines
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\path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (deuxieme.west);
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\path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (troisieme.west);
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||||
\path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
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||||
\path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (der.west);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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La quantité par laquelle on multiplie $q$ est appelée la \textbf{raison}.
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\end{multicols}
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\subsection*{Formules de récurrence}
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\begin{multicols}{2}
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\[
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u_{n+1} = u_{n} + r
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\]
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\columnbreak
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\[
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u_{n+1} = u_{n} \times q
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\]
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\end{multicols}
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\subsection*{Formules explicite}
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\begin{multicols}{2}
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\[
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u_{n} = u_{0} + r\times n
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\]
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\columnbreak
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\[
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u_{n} = u_{0} \times q^n
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\]
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\end{multicols}
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\subsection*{Déterminer la nature d'une suite}
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\begin{multicols}{2}
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On calcule la \textbf{différence} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
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\[
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u_1 - u_0 = ...
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\]
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\[
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u_2 - u_3 = ...
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\]
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Ou plus généralement,
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\[
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u_{n+1} - u_n = ...
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\]
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\columnbreak
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On calcule la \textbf{quotient} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
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\[
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\frac{u_1}{u_0} = ...
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\]
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\[
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||||
\frac{u_2}{u_3} = ...
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\]
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||||
Ou plus généralement,
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\[
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||||
\frac{u_{n+1}}{u_n} = ...
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||||
\]
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\end{multicols}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@ -10,9 +10,12 @@
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step=1,
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -1,20 +1,35 @@
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Continuer une suite}, step={1}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
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Ci-dessous, vous trouverez 2 début de suites de nombre.
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Ci-dessous, vous trouverez des débuts de suites de nombre.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item Identifier la nature des suites $(u_n)$ et $(v_n)$
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\item Calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
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\item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite arithmétique.
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\item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite géométrique.
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\item $u_0 = 10$, $u_1 = 15$, $u_2 = 22.5$
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\item $v_0 = 10$, $v_1 = 15$, $v_2 = 20$
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\item $w_0 = 90$, $w_1 = 108$, $w_2 = 129,6$
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\item $x_0 = 90$, $x_1 = 54$, $x_2 = 32.4$
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\item $y_0 = 5$, $y_1 = 2$, $y_2 = -1$
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\item $z_0 = 5$, $z_1 = 25$, $z_2 = 125$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\begin{enumerate}
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\item Identifier la nature et les paramètres des suites.
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\item Pour chaque suites, calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Placement banquaire}, step={1}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
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On veut placer sur un compte en banque 1000\euro. Le banquier propose deux solutions.
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\begin{enumerate}
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\begin{itemize}
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\item Placement à rendement fixe: La valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année.
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\item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 3\% chaque année.
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\end{itemize}
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\begin{enumerate}
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\item Pour chaque placement, calculer le solde du compte après 1an, 2ans puis 3ans.
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\item Quel placement est le plus intéressant?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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@ -11,10 +11,18 @@ Formalisation des suites
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Étape 1: Trouver les formules explicites
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.. image:: ./1E_formalisation.pdf
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:height: 200px
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:alt: Calculs de termes d'une suite
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Les élèves choisissent une suite géométrique et une suite arithmétique. Ils doivent calculer u100 et u1000!
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Formalisation dans le cours des deux formules trouvées.
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.. image:: ./1B_formalisation.pdf
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:height: 200px
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:alt: Toutes les formules sur les suites
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Étape 2: Technique
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