Feat: exercices sur l'étude de signe des polynômes

TST/05_Etude_Polynomes/1B.tex

@@ -1,14 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
-\usepackage{myXsim}
-
-\author{Benjamin Bertrand}
-\title{Etude Polynomes - Cours}
-\date{octobre 2020}
-
-\pagestyle{empty}
-
-\begin{document}
-
-\maketitle
-
-\end{document}

TST/05_Etude_Polynomes/1B_signe_variations.tex

@@ -0,0 +1,35 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Étude Polynômes - Cours}
+\date{Novembre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Polynômes}
+
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
+    Soit $P(x)$ un polynôme, il peut prendre différentes formes mais deux sont particulièrement intéressantes
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{la forme développée}: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x +  a_0$
+        \item \textbf{la forme factorisée}: $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$
+    \end{itemize}
+\end{bclogo}
+
+La forme développée est pratique pour dériver la fonction polynôme.
+
+La forme factorisée est pratique pour résoudre des équations et étudier le signe de la fonction.
+
+\paragraph{Exemples}%
+Relier les formes factorisées avec les formes développées
+
+
+
+\section{Étude de signe d'une forme factorisée}
+
+\end{document}

TST/05_Etude_Polynomes/1E_signe_variations.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 
 \author{Benjamin Bertrand}
 \title{Etude Polynomes - Cours}
-\date{octobre 2020}
+\date{Novembre 2020}
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}
 \xsimsetup{
@@ -15,4 +15,4 @@
 \input{exercises.tex}
 \printcollection{banque}
 
-\end{document}
+\end{document}

TST/05_Etude_Polynomes/exercises.tex

@@ -1,10 +1,92 @@
 \collectexercises{banque}
-\begin{exercise}[subtitle={<++>}, step={1}, origin={<++>}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
-    <++>
+    Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 2x + 3$
+            \item $g(x) = 4(-x + 2)$
+            \item $h(x) = -3(4 - 5x)$
+
+            \item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
+            \item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
+            \item $k(x) = 0.5(4x - 12)(-x + 1)$
+
+            \item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
+            \item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
+            \item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{solution}
+\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
-    <++>
+    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
-\end{solution}
+    \[
+        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
+        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
+        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
 
-\collectexercisesstop{banque}
+\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
+    \[
+        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
+        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
+        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Profit masqués}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
+    \[
+        f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
+        \item Étudier le signe de $f(x)$.
+        \item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Vienoiseries}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    % Inspiré de T1CMATH00290
+    Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante:
+    \[
+        C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
+        \item Chaque sachet est vendu 10\euro. On rappelle que les bénéfices se calculent en faisant la différence (la soustraction) des recettes et des coûts.
+            \begin{enumerate}
+                \item On suppose que l'on vend 50 lots. Calculer les recettes, les coûts puis les bénéfices.
+
+                \item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
+                    \[
+                        B(x) = - x^3 + 120x^2
+                    \]
+                \item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
+                    \[
+                        B(x) = x^2(120-x)
+                    \]
+                \item Étudier le signe de $B(x)$.
+                \item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
+            \end{enumerate}
+        \item Recherche du maximum des bénéfices.
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
+                \item Montrer que l'on peut écrire
+                    \[
+                        B'(x) = 3x(80-x)
+                    \]
+                \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
+                \item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+\collectexercisesstop{banque}