Feat: 5e pour les maths complémentaires

Complementaire/03_Logarithme/5B_fonction_ln.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{4}
+
+\section{Fonction logarithme}
+
+\begin{definition}
+    La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.
+
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        \begin{itemize}
+            \item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
+            \item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
+            \item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
+            \item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
+        \end{itemize}
+        \begin{tikzpicture}
+            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
+            {$0$, $+\infty$}%
+            \tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
+            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
+            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
+            \tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+
+\begin{propriete}
+    La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
+    \[
+        \forall x \in \intOO{0}{+\infty} \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
+    \]
+
+\end{propriete}
+
+On en déduit, pour tout $x > 0$:
+\begin{itemize}
+    \item $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
+    \item $\ln''(x) = \makebox[2cm]{\dotfill}$ et $\makebox[2cm]{\dotfill}$ alors la fonction logarithme est \dotfill
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Exemples de calculs}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = 2x + 1 - 4\ln(x)$
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)\ln(x)$
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x+1}{\ln(x)}$
+\afaire{}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/5E_fonction_ln.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/exercises.tex

@@ -210,4 +210,60 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique de $\ln$}, step={5}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
+        \item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
+        \item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
+        \item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
+            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
+            \item $f(x) = x\ln(x)$
+            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
+            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
+            \item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
+    \[
+        f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
+            \[
+                f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
+            \]
+        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
+        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
+        \item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
+        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
+    \[
+        f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
+            \[
+                f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
+            \]
+        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
+        \item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
+        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

Complementaire/03_Logarithme/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Logarithme
 ##########
 
 :date: 2021-04-25
-:modified: 2021-05-05
+:modified: 2021-05-19
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Exponentielle, Logarithme
 :category: Complementaire
@@ -77,3 +77,15 @@ Bilan: Autres relations fonctionnelles et résolutions d'(in)équations
 
 Étape 5: Étude de la fonction ln
 ================================
+
+Avec la calculatrice, les élèves découvrent ln comme une fonction. Puis on donne la formule de la dérivée et on étudier les variations
+
+.. image:: ./5E_fonction_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Étude de fonctions avec ln
+
+Bilan: éléments remarquables du logarithme et dérivée
+
+.. image:: ./5B_fonction_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: éléments remarquables et dérivée