Feat: 5e pour les maths complémentaires
continuous-integration/drone/push Build is passing
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continuous-integration/drone/push Build is passing
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parent
900e19efaf
commit
85507d5d68
Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,73 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{4}
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\section{Fonction logarithme}
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\begin{definition}
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La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
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\item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
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\item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
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\item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
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\end{itemize}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
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{$0$, $+\infty$}%
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\tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
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ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
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||||
\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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||||
\tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
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||||
\tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{definition}
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\begin{propriete}
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La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
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\[
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\forall x \in \intOO{0}{+\infty} \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
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\]
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\end{propriete}
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On en déduit, pour tout $x > 0$:
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\begin{itemize}
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\item $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
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||||
\item $\ln''(x) = \makebox[2cm]{\dotfill}$ et $\makebox[2cm]{\dotfill}$ alors la fonction logarithme est \dotfill
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\end{itemize}
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\subsection*{Exemples de calculs}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = 2x + 1 - 4\ln(x)$
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\afaire{}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)\ln(x)$
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\afaire{}
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||||
Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x+1}{\ln(x)}$
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\afaire{}
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||||
\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,19 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{Mai 2021}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=5,
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}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\end{document}
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@ -210,4 +210,60 @@
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique de $\ln$}, step={5}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
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\item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
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\item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
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\item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={5}, topics={Logarithme}]
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Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = x-2-\ln(x)$
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\item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
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\item $f(x) = x\ln(x)$
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\item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
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\item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
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\item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
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||||
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
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\[
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f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
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\]
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\begin{enumerate}
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||||
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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\[
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f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
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\]
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||||
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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||||
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
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||||
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
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||||
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
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||||
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
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\[
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||||
f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
|
||||
\]
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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||||
\[
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||||
f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
|
||||
\]
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||||
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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||||
\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
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||||
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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||||
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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@ -2,7 +2,7 @@ Logarithme
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##########
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:date: 2021-04-25
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:modified: 2021-05-05
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:modified: 2021-05-19
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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:tags: Exponentielle, Logarithme
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:category: Complementaire
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@ -77,3 +77,15 @@ Bilan: Autres relations fonctionnelles et résolutions d'(in)équations
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Étape 5: Étude de la fonction ln
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Avec la calculatrice, les élèves découvrent ln comme une fonction. Puis on donne la formule de la dérivée et on étudier les variations
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.. image:: ./5E_fonction_ln.pdf
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:height: 200px
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:alt: Étude de fonctions avec ln
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||||
Bilan: éléments remarquables du logarithme et dérivée
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.. image:: ./5B_fonction_ln.pdf
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:height: 200px
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:alt: éléments remarquables et dérivée
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,25 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DM1 \hfill \Var{Nom}}
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\tribe{Maths complémentaires}
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\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\Block{include "./tpl_optimisation.tex"}
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\Block{include "./tpl_bassin.tex"}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,55 @@
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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%- set Vinit = randint(1, 10)*100000
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%- set tx = round((random()+1)/2, 1)
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||||
Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
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||||
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{\Var{Vinit}}~dm$^3$.
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À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de \Var{tx}\,\%.
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\begin{enumerate}
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%- set v20 = int(Vinit*tx/100)
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\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{\Var{v20}}~dm$^3$ .
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%- set q = round(random()/10, 2)
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%- set c = randint(20, 60)*10
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%- set v0 = int(v20 - c)
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%- set t = sympy.symbols("t")
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%- set V = v0*exp(- q*t) + c
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%- set Vp = V.diff()
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||||
\item On modélise le volume de CO$_2$ présent dans la pièce par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h (exprimé en minutes) qui pour formule $V(t) = V_0e^{-\Var{q}t} + \Var{c}$
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Démontrer que $V_0$ est égale à \np{\Var{v0}}.
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%- set decal = randint(1, 4)
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||||
\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à \Var{20+decal} h ?
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||||
\item Démontrer que $V'(t) = \Var{latex(Vp)}$.
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||||
\item Étudier le signe de $V'(t)$ puis en déduire le sens de variation de $V(t)$.
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||||
\item Que peut-on dire du volume de CO$_2$ quand $t$ devient grand?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Volume à 20h: $\Var{Vinit}\times \Var{tx/100} = \Var{v20}$
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\item
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\begin{enumerate}
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||||
\item $t=0$ correspond à 20h.
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Donc $V(0) = \Var{v20} = V_0e^{-\Var{q}\times 0} + \Var{c} = V_0 + \Var{c}$
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||||
Donc $V_0 = \Var{v20} - \Var{c} = \Var{v0}$
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||||
\item Il faut calculer $V(t)$ pour $t = \Var{decal}$ donc
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\[
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||||
V(\Var{decal}) = \Var{round(V.subs(t, str(decal)), 2)}
|
||||
\]
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||||
\item Pas de correction pour cette question.
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||||
\item Pas de correction pour cette question.
|
||||
\item Pas de correction pour cette question.
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,119 @@
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
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%- set Vl = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=10)
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%- set l = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=5)
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||||
%- set V = Vl*l
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||||
%- set Snum = Expression.from_str(str(l*2)+"*x^2 +" + str(Vl*2) + "*x +" + str(V*2))
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||||
%- set dSnum = Snum.differentiate()*"x" - Snum
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $\Var{V}m^3$. La longueur est aussi fixée à $\Var{l}m$ par le cahier des charges.
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||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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||||
\end{minipage}
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||||
\hfill
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||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
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||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
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||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
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||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$\Var{l}m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{\Var{Vl}}{x}$.
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||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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||||
\[
|
||||
S(x) = \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
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||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{\Var{Snum}}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
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||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/2}$
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||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
V &=& h\times x \times \Var{l} \\
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||||
\Var{V} &=& h\times x \times \Var{l} \\
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||||
x &=& \frac{\Var{V}}{h\times \Var{l}} = \frac{\Var{Vl}}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + h\times \Var{l}\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{\Var{Vl}}{x} \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + \frac{\Var{Vl}}{x}\times \Var{l}\times 2\\
|
||||
S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
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||||
S(x) &=& \frac{\Var{2*l}x\times x}{x} + \frac{\Var{2*Vl}\times x}{x} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{\Var{Snum}}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
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\[
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||||
u(x) = \Var{Snum} \Rightarrow u'(x) = \Var{Snum.differentiate()}
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\]
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||||
\[
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v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
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||||
\]
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||||
Donc au numérateur on obtient
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (\Var{Snum.differentiate()})\times x - (\Var{Snum})\times 1\\
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||||
&=& \Var{dSnum}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Donc
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||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
|
||||
\]
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||||
\item Tableau de variations de $S$
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||||
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\begin{itemize}
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||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
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||||
\item Signe de $\Var{dSnum}$: c'est un polynôme du 2e degré
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\[
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\Delta = \Var{dSnum.delta} > 0
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\]
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Il y a donc 2 racines
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\[
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x_1 = \Var{dSnum.roots[0]} \qquad
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||||
x_2 = \Var{dSnum.roots[1]}
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||||
\]
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||||
Et on sait que $\Var{dSnum}$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
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||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
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||||
\item Tableau de variations
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$\Var{dSnum}$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $\Var{dSnum.roots[0]}$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=\Var{dSnum.roots[1]}$ et $h = \Var{Vl*dSnum.roots[1]}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Reference in New Issue