Feat: 5e pour les maths complémentaires

Complementaire/03_Logarithme/5B_fonction_ln.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{4}
+
+\section{Fonction logarithme}
+
+\begin{definition}
+    La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.
+
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        \begin{itemize}
+            \item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
+            \item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
+            \item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
+            \item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
+        \end{itemize}
+        \begin{tikzpicture}
+            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
+            {$0$, $+\infty$}%
+            \tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
+            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
+            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
+            \tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+
+\begin{propriete}
+    La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
+    \[
+        \forall x \in \intOO{0}{+\infty} \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
+    \]
+
+\end{propriete}
+
+On en déduit, pour tout $x > 0$:
+\begin{itemize}
+    \item $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
+    \item $\ln''(x) = \makebox[2cm]{\dotfill}$ et $\makebox[2cm]{\dotfill}$ alors la fonction logarithme est \dotfill
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Exemples de calculs}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = 2x + 1 - 4\ln(x)$
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)\ln(x)$
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x+1}{\ln(x)}$
+\afaire{}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/5E_fonction_ln.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/exercises.tex

@@ -210,4 +210,60 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique de $\ln$}, step={5}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
+        \item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
+        \item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
+        \item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
+            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
+            \item $f(x) = x\ln(x)$
+            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
+            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
+            \item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
+    \[
+        f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
+            \[
+                f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
+            \]
+        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
+        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
+        \item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
+        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
+    \[
+        f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
+            \[
+                f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
+            \]
+        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
+        \item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
+        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

Complementaire/03_Logarithme/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Logarithme
 ##########
 
 :date: 2021-04-25
-:modified: 2021-05-05
+:modified: 2021-05-19
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Exponentielle, Logarithme
 :category: Complementaire
@@ -77,3 +77,15 @@ Bilan: Autres relations fonctionnelles et résolutions d'(in)équations
 
 Étape 5: Étude de la fonction ln
 ================================
+
+Avec la calculatrice, les élèves découvrent ln comme une fonction. Puis on donne la formule de la dérivée et on étudier les variations
+
+.. image:: ./5E_fonction_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Étude de fonctions avec ln
+
+Bilan: éléments remarquables du logarithme et dérivée
+
+.. image:: ./5B_fonction_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: éléments remarquables et dérivée

Complementaire/DM/2105_DM1/tpl_2105_DM1.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DM1 \hfill \Var{Nom}}
+\tribe{Maths complémentaires}
+\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
+
+\xsimsetup{
+    solution/print = false
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\Block{include "./tpl_optimisation.tex"}
+\Block{include "./tpl_bassin.tex"}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Complementaire/DM/2105_DM1/tpl_bassin.tex

@@ -0,0 +1,55 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
+    %- set Vinit = randint(1, 10)*100000
+    %- set tx = round((random()+1)/2, 1)
+    Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$). 
+
+    Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{\Var{Vinit}}~dm$^3$. 
+
+    À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de \Var{tx}\,\%. 
+    \begin{enumerate}
+        %- set v20 = int(Vinit*tx/100)
+        \item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{\Var{v20}}~dm$^3$ . 
+        %- set q = round(random()/10, 2)
+        %- set c = randint(20, 60)*10
+        %- set v0 = int(v20 - c)
+        %- set t = sympy.symbols("t")
+        %- set V = v0*exp(- q*t) + c
+        %- set Vp = V.diff()
+        \item On modélise le volume de CO$_2$ présent dans la pièce par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h (exprimé en minutes) qui pour formule $V(t) = V_0e^{-\Var{q}t} + \Var{c}$ 
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que $V_0$ est égale à \np{\Var{v0}}.
+                %- set decal = randint(1, 4)
+                \item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à \Var{20+decal} h ? 
+                \item Démontrer que $V'(t) = \Var{latex(Vp)}$.
+                \item Étudier le signe de $V'(t)$ puis en déduire le sens de variation de $V(t)$.
+                \item Que peut-on dire du volume de CO$_2$ quand $t$ devient grand?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Volume à 20h: $\Var{Vinit}\times \Var{tx/100} = \Var{v20}$
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item $t=0$ correspond à 20h. 
+
+                    Donc $V(0) = \Var{v20} = V_0e^{-\Var{q}\times 0} + \Var{c} = V_0 + \Var{c}$ 
+
+                    Donc $V_0 = \Var{v20} - \Var{c} = \Var{v0}$
+                \item Il faut calculer $V(t)$ pour $t = \Var{decal}$ donc
+                    \[
+                        V(\Var{decal}) = \Var{round(V.subs(t, str(decal)), 2)}
+                    \]
+                \item Pas de correction pour cette question.
+                \item Pas de correction pour cette question.
+                \item Pas de correction pour cette question.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Complementaire/DM/2105_DM1/tpl_optimisation.tex

@@ -0,0 +1,119 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
+    %- set Vl = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=10)
+    %- set l = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=5)
+    %- set V = Vl*l
+    %- set Snum = Expression.from_str(str(l*2)+"*x^2 +" + str(Vl*2) + "*x +" + str(V*2))
+    %- set dSnum = Snum.differentiate()*"x" - Snum
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $\Var{V}m^3$. La longueur est aussi fixée à $\Var{l}m$ par le cahier des charges. 
+
+        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
+            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
+            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$\Var{l}m$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{\Var{Vl}}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que
+            \[
+                S(x) = \frac{\Var{Snum}}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
+            \begin{itemize}
+                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/2}$
+                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/3}$
+            \end{itemize}
+        \item Pour calculer le volume, on a
+            \begin{eqnarray*}
+                V &=& h\times x \times \Var{l} \\
+                \Var{V} &=& h\times x \times \Var{l} \\
+                x &=& \frac{\Var{V}}{h\times \Var{l}} = \frac{\Var{Vl}}{h}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + h\times \Var{l}\times 2\\
+                S(x) &=& x\times \frac{\Var{Vl}}{x} \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + \frac{\Var{Vl}}{x}\times \Var{l}\times 2\\
+                S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{\Var{2*l}x\times x}{x} + \frac{\Var{2*Vl}\times x}{x} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{\Var{Snum}}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
+            \[
+                u(x) = \Var{Snum} \Rightarrow u'(x) = \Var{Snum.differentiate()}
+            \]
+            \[
+                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
+            \]
+            Donc au numérateur on obtient
+            \begin{eqnarray*}
+                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (\Var{Snum.differentiate()})\times x - (\Var{Snum})\times 1\\
+                                                    &=& \Var{dSnum}
+            \end{eqnarray*}
+            Donc
+            \[
+                S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
+            \]
+        \item Tableau de variations de $S$
+
+            \begin{itemize}
+                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
+                \item Signe de $\Var{dSnum}$: c'est un polynôme du 2e degré
+                    \[
+                        \Delta = \Var{dSnum.delta} > 0
+                    \]
+                    Il y a donc 2 racines
+                    \[
+                        x_1 = \Var{dSnum.roots[0]} \qquad
+                        x_2 = \Var{dSnum.roots[1]}
+                    \]
+                    Et on sait que $\Var{dSnum}$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
+                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
+                \item Tableau de variations
+
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$\Var{dSnum}$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $\Var{dSnum.roots[0]}$, $10$}
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
+                    \end{tikzpicture}
+
+            \end{itemize}
+        \item On a donc une surface minimal pour $x=\Var{dSnum.roots[1]}$ et $h = \Var{Vl*dSnum.roots[1]}$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+