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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
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\date{Mars 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Notations}
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\subsection*{Les ensembles}
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Soit $E$ un ensemble et $A$ et $B$ deux sous ensemble de $E$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/ensembles}
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\end{center}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Complémentaire de $A$} contient tous les éléments qui n'ont pas les caractéristiques de $A$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/Abar}
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\end{center}
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\item \textbf{Intersection de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{ET} de $B$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/inter}
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\end{center}
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\item \textbf{Union de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{OU} de $B$.
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/union}
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\end{center}
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\end{itemize}
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\pagebreak
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\subsection*{Les probabilités}
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\begin{definition}{Probabilités conditionnelles}
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Soit $A$ et $B$ deux ensembles d'un population totale $E$ avec $A$ un ensemble non vide.
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\begin{itemize}
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\item Probabilités de l'évènement $A$
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\[
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P(A) = \frac{\mbox{Effectif de $A$}}{\mbox{Effectif total}}
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\]
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\item Probabilités de l'évènement $B$ sachant $A$
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\[
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P_A(B) = \frac{\mbox{Effectif des éléments qui sont dans $A$ et $B$}}{\mbox{Effectifs des éléments qui sont dans $A$}}
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\]
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\begin{center}
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\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/condi_A}
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|
\end{cente}
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\end{itemize}
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|
\end{definition}
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|
\paragraph{Exemple}~\\
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
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\hline
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& Homme & Femme & Total \\
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\hline
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Employé & 10 & 15 & 25 \\
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\hline
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Vacataire & 14 & 17 & 31 \\
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\hline
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Total & 24 & 32 & 56 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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On note
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\[
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A = \left\{ \mbox{Homme} \right\} \qquad
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\]
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\[
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|
B = \left\{ \mbox{Employé} \right\} \qquad
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\]
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\end{minipage}
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\bigskip
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On choisit au hasard une personne de cette entreprise.
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\[
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P(A) =
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\]
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Interprétation:
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\[
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P_A(B) =
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\]
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Interprétation:
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\bigskip
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\afaire{}
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\end{document}
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Binary file not shown.
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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|
\author{Benjamin Bertrand}
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|
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
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\date{février 2021}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=1,
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}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\vfill
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|
\end{document}
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98
Complementaire/02_Inference_Baysienne/exercises.tex
Normal file
98
Complementaire/02_Inference_Baysienne/exercises.tex
Normal file
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|
\collectexercises{banque}
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|
\begin{exercise}[subtitle={Vrai-Faux}, step={1}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
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|
Dans le tableau ci-dessous, on a trier les élèves en fonction de leur note au bac et au bac blanc.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|>{\columncolor{highlightbg}}c|*{2}{p{4cm}|}|p{4cm}|}
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\hline
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\rowcolor{highlightbg}
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|
Bac \backslash Bac Blanc & Moins de la moyenne & Plus de moyenne & Total\\
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\hline
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Moins de la moyenne & 30 & 300 & 60\\
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\hline
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Plus de la moyenne & 20 & 70 & 90\\
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\hline
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Total & 50 & 100 & 150\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On choisit au hasard un jeune parmi ceux interrogés. On note $A = \left\{ \mbox{Plus de la moyenne au bac blanc} \right\}$ et $B = \left\{ \mbox{Moins de la moyenne au bac blanc} \right\}$.
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|
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
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\begin{enumerate}
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|
\item La probabilité qu'un élève ait plus de moyenne au bac blanc est supérieur à 30\%.
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|
\item La probabilité qu'il ait la moyenne au bac blanc mais pas au au bac est de moins de 0.1.
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|
\item La probabilité qu'il n'ait pas la moyenne au bac et pas la moyenne au bac blanc est de $\frac{1}{5}$.
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|
\item La probabilité qu'il ait la moyenne au bac blanc ou au bac est de plus de 70\%.
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|
\item La probabilité qu'un élève qui a eu la moyenne au bac blanc ait ensuite la moyenne au bac est de 0.6.
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|
\item La probabilité qu'un élève qui n'a pas eu la moyenne au bac blanc ne l'ait toujours pas au bac est de 50\%.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Moyen de paiement}, step={1}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
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|
Le gérant d'une grande enseigne de distribution a commandé une étude statistique des moyens de paiement de ses clients. Les résultats ont été représenté dans l'arbre ci-dessous.
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\bigskip
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {Moins de 20\euro}
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child {node {Espèce}
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edge from parent
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node[above] {0.6}
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|
}
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child[missing] {}
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||||||
|
child {node {Paiement sans contact}
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|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.3}
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||||||
|
}
|
||||||
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child[missing] {}
|
||||||
|
child {node {Carte bleu}
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||||||
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edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.1}
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||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.4}
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||||||
|
}
|
||||||
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child[missing] {}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child[missing] {}
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||||||
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child { node {Plus de 20\euro}
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child {node {Espèce}
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edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.4}
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||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child {node {Paiement sans contact}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.1}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child {node {Carte bleu}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.5}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.6}
|
||||||
|
} ;
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|
\end{tikzpicture}
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\bigskip
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On sélectionne un client de cette enseigne au hasard. On note
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\[
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M = \left\{ \mbox{ Moins de 20\euro } \right\} \qquad E = \left\{ \mbox{ Espèce }\right\} \qquad B = \left\{ \mbox{ carte bleu }\right\}
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|
\]
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|
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
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\begin{enumerate}
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\item La probabilité qu'un client achète pour plus de 20\euro est de 0.6.
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\item Si l'achat est de moins de 20\euro, il y a une probabilité de 10\% qu'il soit fait en paiement sans contact.
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|
\item Si les achats sont de plus de 20\euro, la probabilité qu'il ait été fait avec de l'espèce est de 0.4.
|
||||||
|
\item La probabilité qu'un achat soit de plus de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 90\%.
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||||||
|
\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 0.2.
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||||||
|
\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec de l'espère est de 1.
|
||||||
|
\item La probabilité ait été payé avec le paiement sans contact est de 72\%.
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||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
\collectexercisesstop{banque}
|
||||||
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Complementaire/02_Inference_Baysienne/fig/ensembles.png
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274
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274
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@ -0,0 +1,274 @@
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|
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|
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|
||||||
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|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
<defs
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|
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|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
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|
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|
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|
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|
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|
||||||
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|
||||||
|
<metadata
|
||||||
|
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|
||||||
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|
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|
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||||||
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|
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|
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|
<dc:title></dc:title>
|
||||||
|
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|
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|
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|
||||||
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|
||||||
|
<g
|
||||||
|
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|
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|
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<text
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|
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|
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|
<text
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||||||
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style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:4.23333px;line-height:1.25;font-family:sans-serif;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:0.264583"
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|
||||||
|
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|
||||||
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|
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|
<text
|
||||||
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style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:4.23333px;line-height:1.25;font-family:sans-serif;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:0.264583"
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|
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|
||||||
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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||||||
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|
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y="61.70715"
|
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|
||||||
|
x="118.32281"
|
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|
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|
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|
||||||
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||||||
|
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|
||||||
|
x="118.32281"
|
||||||
|
y="69.151489"
|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
<text
|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
x="135.60695"
|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
y="72.535103"
|
||||||
|
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|
||||||
|
<text
|
||||||
|
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|
||||||
|
style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:4.23333px;line-height:1.25;font-family:sans-serif;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:0.264583"
|
||||||
|
x="119.05424"
|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
x="119.05424"
|
||||||
|
y="93.438667"
|
||||||
|
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|
||||||
|
</g>
|
||||||
|
</svg>
|
||||||
|
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|
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Binary file not shown.
|
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Complementaire/02_Inference_Baysienne/fig/union.png
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Complementaire/02_Inference_Baysienne/index.rst
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56
Complementaire/02_Inference_Baysienne/index.rst
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@ -0,0 +1,56 @@
|
|||||||
|
Inférence Bayésienne
|
||||||
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####################
|
||||||
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|
||||||
|
:date: 2021-03-15
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|
:modified: 2021-03-15
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|
:authors: Benjamin Bertrand
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|
:tags: Probabilité, Bayes
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|
:category: Complementaire
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|
:summary: Inférence Bayésienne et probabilités conditionnelles
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|
Étape 1: Prise en main des probabilités conditionnelles
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Vrai/faux sur des données représentées sous forme d'un tableau puis d'un arbre
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|
.. image:: ./1E_probabilite_conditionnelle.pdf
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:height: 200px
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|
:alt: Vrai/Faux sur un tableau et un arbre
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|
Bilan: Notations ensemblistes et calculs de probabilités.
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|
.. image:: ./1B_notation.pdf
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:height: 200px
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|
:alt: Bilan sur les notations ensemblistes et les calculs de probabilités
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|
Étape 2: Étonnement sur les tests
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|
Début de cours discuté (sous la forme de https://www.youtube.com/watch?v=3FOrWMDL8CY).
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|
En groupe, justification des valeurs avancées dans le document. Explications pour chaque scénario.
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|
.. image:: ./fig/resultat_test.jpg
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:height: 200px
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||||||
|
:alt: Résultats des tests covid
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|
|
||||||
|
Conclusion sur l'utilité d'un test comme outils pour affiner un a priori.
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|
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|
Bilan: Reprise d'un exemple traité et vocabulaire associé aux tests
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|
Étape 3: Application aux tests ADN
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|
Travail similaire sur les tests ADN
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|
Bilan: Formule de Bayes
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|
Étape 4: D'où vient le biscuit?
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===============================
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|
Étude de problème de l'origine du biscuit.
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|
Étape 5: Optimisation des paramètres
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====================================
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|
|
||||||
|
Retour sur les tests et recherche de l'optimisation des paramètres.
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||||||
Binary file not shown.
@ -56,7 +56,7 @@ Soit $E$ un ensemble et $A$ et $B$ deux sous ensemble de $E$.
|
|||||||
\]
|
\]
|
||||||
\item Probabilités de l'évènement $B$ sachant $A$
|
\item Probabilités de l'évènement $B$ sachant $A$
|
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\[
|
\[
|
||||||
P_A(B) = \frac{\mbox{Effectif des éléments qui sont dans $A$ et $B$}}{\mbox{Effectifs dees éléments qui sont dans $A$}}
|
P_A(B) = \frac{\mbox{Effectif des éléments qui sont dans $A$ et $B$}}{\mbox{Effectifs des éléments qui sont dans $A$}}
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
\begin{center}
|
\begin{center}
|
||||||
\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/condi_A}
|
\includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/condi_A}
|
||||||
@ -90,6 +90,7 @@ Soit $E$ un ensemble et $A$ et $B$ deux sous ensemble de $E$.
|
|||||||
\end{minipage}
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
\bigskip
|
\bigskip
|
||||||
|
On choisit au hasard une personne de cette entreprise.
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|
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||||||
\[
|
\[
|
||||||
P(A) =
|
P(A) =
|
||||||
|
|||||||
Binary file not shown.
@ -88,12 +88,12 @@
|
|||||||
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
|
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
|
||||||
\begin{enumerate}
|
\begin{enumerate}
|
||||||
\item La probabilité qu'un client achète pour plus de 20\euro est de 0.6.
|
\item La probabilité qu'un client achète pour plus de 20\euro est de 0.6.
|
||||||
\item Parmi les achats de moins de 20\euro, il y a un probabilité de 10\% qu'il soit fait en paiement sans contact.
|
\item Si l'achat est de moins de 20\euro, il y a une probabilité de 10\% qu'il soit fait en paiement sans contact.
|
||||||
\item Parmi les achats de plus de 20\euro, la probabilité qu'il ait été fait avec de l'espèce est de 0.4.
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\item Parmi les achats de plus de 20\euro, la probabilité qu'il ait été fait avec de l'espèce est de 0.4.
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\item La probabilité qu'un achat soit de plus de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 90\%.
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\item La probabilité qu'un achat soit de plus de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 90\%.
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\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 0.2.
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\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 0.2.
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\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec de l'espère est de 1.
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\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec de l'espère est de 1.
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\item La probabilité ait été payé avec le paiement sans contact est de 72\M.
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\item La probabilité ait été payé avec le paiement sans contact est de 72\%.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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\collectexercisesstop{banque}
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BIN
TST_sti2d/DS/DS_21_03_18/DS_21_03_18.pdf
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DS 7}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{18 mars 2021}
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\duree{60min}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Frottements}, points=10]
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En raison des frottements avec l'atmosphère résiduelle terrestre, les satellites en orbite basse perdent progressivement de l'altitude et finissent par se consumer dans les couches les plus denses de l'atmosphère. Cet évènement est appelé rentrée atmosphérique.
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Le temps, exprimé en jour, avant la rentrée atmosphérique dépend des caractéristiques du satellite et de l'altitude $h$, exprimée en kilomètre, de son orbite.
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Pour un satellite donné, ce temps est modélisé par une fonction $T$ de la variable $h$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$.
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\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante}.
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\textsf{\textbf{\textsc{partie a} – Étude d'un premier satellite}}
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On admet que la fonction $T$, associée à ce premier satellite, est une solution de l'équation différentielle $(E)$ suivante dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty [$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\[(E)\;:\;40y'-y = 0.\]
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty [$.
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\item Déterminer la fonction $T$ solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition
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$T(800)=\np{2000}$.
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\end{enumerate}
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\textsf{\textbf{\textsc{partie b} – Étude d'un deuxième satellite}}
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Dans cette partie, on admet que la fonction $T$, associée à ce deuxième satellite, est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
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\[T(h) = K\times0,012\e^{0,025(h-150)}.\]
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Le nombre réel $K$ est appelé coefficient balistique du satellite.
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La fonction $T$ associée à ce deuxième satellite est représentée ci-après.
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\emph{Dans cette partie, on ne demande pas de justification. Les résultats seront donnés avec la précision permise par le graphique.}
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\medskip
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\begin{center}
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\def\h{.221*EXP(.025*(x-150))}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=1]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=600,xstep=50,
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ymin=0,ymax=5000,ystep=1000]
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%\tkzAxeX[label=$h$]
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\tkzAxeXY
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%\tkzAxeY[label=$T(h)$]
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\tkzGrid
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\tkzGrid[sub, subxstep=10, subystep=200]
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\tkzFct[domain=0:600,color=red,very thick]%
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{ 0.221*exp(0.025*(\x-150)) };
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item À quelle altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxième satellite pour que le temps restant avant sa rentrée atmosphérique soit au moins égal à \np{1000} jours ?
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\item Déterminer une valeur approchée du coefficient balistique $K$ de ce deuxième satellite.
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textsf{\textbf{\textsc{partie c} – Étude d'un troisième satellite : Hubble}}
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\medskip
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Le satellite Hubble a un coefficient balistique $K$ égal à 11.
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La fonction $T$, associée à ce troisième satellite, est donc définie sur l'intervalle
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$[0~;~ +\infty [$ par :
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\[T(h)=0,132\e^{0,025(h-150)}.\]
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item L'orbite du satellite Hubble est située à l'altitude $h$ de 575 km. Calculer le temps $T(h)$ restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble. Arrondir au jour près.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer $T'(h)$, où $T'$ désigne la fonction dérivée de $T$.
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\item En déduire le sens de variations de la fonction $T$ sur $[0~;~ +\infty [$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Bras articulé}, points=10]
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Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, le bras articulé d’un robot, fixé au point O, est représenté par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unités.
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Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras1}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Sur le repère orthonormé \Ouv ci-dessous, placer le point A d'affixe $z_{\text A}= 2i$ puis construire l'extrémité B du bras articulé lorsque son affixe $z_{\text B}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.6, yscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\draw (1, 0) node [below right] {1};
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\draw (0, 1) node [above left] {$i$};
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\draw [->, very thick] (-5, 0) -- (5, 0);
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\draw [->, very thick] (0, -5) -- (0, 5);
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%\tkzAxeXY
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\foreach \x in {0,1,...,5} {
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% dots at each point
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\draw[black] (0, 0) circle(\x);
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}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item Donner l'affixe du point B sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
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\end{enumerate}
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\item L'extrémité B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de $4,5$
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unités du point O?
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\item Pour soulever un objet lourd dont le point d'accroche est le point C (voir figure ci-contre), il faut rigidifier l'articulation en A. On décide alors de bloquer l'angle $\left ( \vec{AO}~,~\vec{AB}\right )$ tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à $\dfrac{\pi}{2}$ radians.
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\hfill
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\includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras2}
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\hfill{}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la longueur OB.
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\item Le point C a pour affixe $z_{\text C} = 2\sqrt{2}\e^{i\frac{\pi}{12}}$.
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Justifier que l'extrémité B du bras articulé pourra atteindre le point d'accroche C de l'objet.
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\item Lorsque le bras articulé saisit l'objet, les points B et C sont confondus.
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Calculer la mesure de l'angle que forme alors le bras [OA] avec l'axe [O$x$).
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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