Feat: exercices sur l'étude de signe des polynômes

EnsSci/Devoirs/SVT_Math_1/math.md

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-# Étude d'un modèle d'évolution en milieu naturel
+# étude d'un modèle d'évolution en milieu naturel
 
-Documents: Graphique plus tableau sans les valeurs pour les années 2015 et 2018.
+documents: graphique plus tableau sans les valeurs pour les années 2015 et 2018.
 
-1. Lire graphiquement les valeurs manquantes du tableau
-2. Au regard du graphique, quel est le type d'évolution que semble avoir la population de cette ruche?
-3. Expliquer grâce aux valeurs du tableau pourquoi le modèle d'une suite géométrique semble plus approprié que le modèle d'une suite arithmétique.
-4. On suppose que la population de cette ruche est multipliée par 1.1 à partir de 2020. Quelle population peut-on prévoir pour 2021 puis 2025? Placer ces valeurs en rouge sur le graphique.
+1. lire graphiquement les valeurs manquantes du tableau
+2. au regard du graphique, quel est le type d'évolution que semble avoir la population de cette ruche?
+3. expliquer grâce aux valeurs du tableau pourquoi le modèle d'une suite géométrique semble plus approprié que le modèle d'une suite arithmétique.
+4. on suppose que la population de cette ruche est multipliée par 1.1 à partir de 2020. quelle population peut-on prévoir pour 2021 puis 2025? placer ces valeurs en rouge sur le graphique.
 
-# Introduction d'un pesticide
+# introduction d'un pesticide
 
 2 documents:
-- Extrait wiki
-    Les néonicotinoïdes ont des effets létaux importants. Il a été observé un doublement du taux de mortalité chez des abeilles en contact avec de la deltaméthrine. Cependant, certains neonicotinoïdes ne causent pas une augmentation du taux de mortalité mais des effets sub-létaux qui sont d'ordre neurologique : tremblements, paralysies, hyperactivité, absence de coordination des mouvements3.
-- Des nombres (sans sources?) sur les taux de natalité et mortalité d'une population d'abeilles.
+- extrait wiki
+    les néonicotinoïdes ont des effets létaux importants. il a été observé un doublement du taux de mortalité chez des abeilles en contact avec de la deltaméthrine. cependant, certains neonicotinoïdes ne causent pas une augmentation du taux de mortalité mais des effets sub-létaux qui sont d'ordre neurologique : tremblements, paralysies, hyperactivité, absence de coordination des mouvements3.
+- des nombres (sans sources?) sur les taux de natalité et mortalité d'une population d'abeilles.
 
-En 2020, un agriculteur voisin de cette ruche commence à utiliser des néonicotinoïdes pour traiter ses cultures. Proposer un nouveau modèle de prévision pour estimer la population d'abeilles entre 2021 et 2025. Vous placerez les valeurs obtenues sur le graphique en vert.
+1. en 2020, un agriculteur voisin de cette ruche commence à utiliser des néonicotinoïdes pour traiter ses cultures. proposer un nouveau modèle de prévision pour estimer la population d'abeilles entre 2021 et 2025. vous placerez les valeurs obtenues sur le graphique en vert.
 

TST/05_Etude_Polynomes/1B.tex

@@ -1,14 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
-\usepackage{myXsim}
-
-\author{Benjamin Bertrand}
-\title{Etude Polynomes - Cours}
-\date{octobre 2020}
-
-\pagestyle{empty}
-
-\begin{document}
-
-\maketitle
-
-\end{document}

TST/05_Etude_Polynomes/1B_signe_variations.tex

@@ -0,0 +1,35 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Étude Polynômes - Cours}
+\date{Novembre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Polynômes}
+
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
+    Soit $P(x)$ un polynôme, il peut prendre différentes formes mais deux sont particulièrement intéressantes
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{la forme développée}: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x +  a_0$
+        \item \textbf{la forme factorisée}: $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$
+    \end{itemize}
+\end{bclogo}
+
+La forme développée est pratique pour dériver la fonction polynôme.
+
+La forme factorisée est pratique pour résoudre des équations et étudier le signe de la fonction.
+
+\paragraph{Exemples}%
+Relier les formes factorisées avec les formes développées
+
+
+
+\section{Étude de signe d'une forme factorisée}
+
+\end{document}

TST/05_Etude_Polynomes/1E_signe_variations.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 
 \author{Benjamin Bertrand}
 \title{Etude Polynomes - Cours}
-\date{octobre 2020}
+\date{Novembre 2020}
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}
 \xsimsetup{

TST/05_Etude_Polynomes/exercises.tex

@@ -1,10 +1,92 @@
 \collectexercises{banque}
-\begin{exercise}[subtitle={<++>}, step={1}, origin={<++>}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
-    <++>
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 2x + 3$
+            \item $g(x) = 4(-x + 2)$
+            \item $h(x) = -3(4 - 5x)$
+
+            \item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
+            \item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
+            \item $k(x) = 0.5(4x - 12)(-x + 1)$
+
+            \item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
+            \item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
+            \item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{solution}
-    <++>
-\end{solution}
+\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
+    \[
+        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
+        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
+        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
+    \[
+        f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
+        \item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
+        \item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Profit masqués}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
+    \[
+        f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
+        \item Étudier le signe de $f(x)$.
+        \item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Vienoiseries}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+    % Inspiré de T1CMATH00290
+    Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante:
+    \[
+        C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
+        \item Chaque sachet est vendu 10\euro. On rappelle que les bénéfices se calculent en faisant la différence (la soustraction) des recettes et des coûts.
+            \begin{enumerate}
+                \item On suppose que l'on vend 50 lots. Calculer les recettes, les coûts puis les bénéfices.
+
+                \item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
+                    \[
+                        B(x) = - x^3 + 120x^2
+                    \]
+                \item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
+                    \[
+                        B(x) = x^2(120-x)
+                    \]
+                \item Étudier le signe de $B(x)$.
+                \item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
+            \end{enumerate}
+        \item Recherche du maximum des bénéfices.
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
+                \item Montrer que l'on peut écrire
+                    \[
+                        B'(x) = 3x(80-x)
+                    \]
+                \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
+                \item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/DS/DS_20_11_12/DS_20_11_12.tex

@@ -37,7 +37,7 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
 
 \begin{exercise}[subtitle={Citerne}, points=6]
     Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
-    \[ f(t) = 10t^3 - 4t^3 + 2.5t^2 - 6t + 10\]
+    \[ f(t) = 2.5^4 - 4t^3 + 2.5t^2 - 6t + 10\]
     \begin{enumerate}
         \item Calculer $f'(t)$ puis en déduire que $f'(t) = (2t^2+1)(5t-6)$.
         \item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f(t)$.