Bertrand Benjamin
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TeX
\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Questions diverses}, points=5, tribe={1}, type={automatismes}]
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Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.
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\begin{enumerate}
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\item ~
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Ci-dessous un tableur résumant l'évolution de l'indice et du prix de matières première. Pour l'indice, on prend l'année 2018 comme référence.
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\vfill
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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Année & 2018 & 2019 & 2020 & 2017\\
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\hline
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Prix & & 188.5 & 155 & \\
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\hline
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Indice & 100 & & 50 & 123\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Calculer le prix de l'année de référence.
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\reponse{2cm}
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\end{minipage}
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\item Lors des soldes, un pantalon a une réduction de 5\%, puis une deuxième réduction de 6\% et enfin une dernière réduction de 10\%. Quel est le pourcentage de remise total?
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\reponse{2cm}
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\item En une semaine, le nombre de vues d'une vidéo est passée de \np{1000} vues à \np{14300}. Calculer le taux d'évolution de cette progression.
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\reponse{2cm}
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\item Le polynôme $P(x) = -3x^2 + 1.5x - 0.18$ a pour racines $x=0.2$ et $x=0.3$. Proposer une forme factorisée de ce polynôme.
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\reponse{2cm}
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\item Tracer approximativement une courbe qui a le tableau de variation suivant en faisant apparaître les éléments remarquables.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south)]
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]
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{$ x $/1, $ f(x) $/2}{$-\infty$, -2, 4, $+\infty$ }
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\tkzTabVar{ +/, -D-/, +/2, -/}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\reponse{4cm}
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\end{minipage}
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\item Tracer le tableau de signe de la fonction $f(x) = \frac{(x-4)(5x +1) }{x^2}$ (ne pas oublier la valeur interdite en $x=0$)
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\reponse{2cm}
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\item Démontrer que la dérivée de $f(x) = 2x + 50 + \frac{50}{x}$ est égale $f'(x) = \dfrac{2(x-5)(x+5)}{x^2}$
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\reponse{2cm}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Recyclage}, points=7, tribe={1}, type={Exercise}]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique.
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Elle peut produire chaque jour entre $0$ et $10$ tonnes de plastique qu'elle revend en totalité au prix
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unitaire de $700$~\euro{} la tonne.
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On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par
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$C_M(x) = \dfrac{C_T (x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique.
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Le coût marginal, noté $C_m$, est le coût induit par la production d'une tonne de plastique supplémentaire
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lorsqu'on a déjà produit $x$ tonnes de plastique.
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\smallskip
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Les parties A et B sont indépendantes.
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\medskip
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/couts}
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\end{minipage}
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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Ci-dessus, sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction
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de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente
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unitaire.
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On admet que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le coût
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moyen soit minimal.
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\item Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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On dit qu'il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.
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On admet que le profit de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente
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unitaire.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Pour quelles quantités de plastique produites, l'entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat
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sera donné sous la forme d'un intervalle.
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\item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le
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profit soit maximal.
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\item Quel est le coût moyen correspondant à cette production ?
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\item En déduire le coût total correspondant.
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\item Calculer le profit total maximal.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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