2020-2021/TST/DS/DS_21_06_02/exercises.tex

\collectexercises{banque}

\begin{exercise}[subtitle={Questions diverses}, points=5, tribe={1}, type={automatismes}]
    Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.
    \begin{enumerate}
        \item ~

            \begin{minipage}{0.5\linewidth}

                Ci-dessous un tableur résumant l'évolution de l'indice et du prix de matières première. Pour l'indice, on prend l'année 2018 comme référence.
                \vfill

                \begin{center}
                    \begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
                        \hline
                        Année & 2018 & 2019 & 2020 & 2017\\
                        \hline
                        Prix & & 188.5 & 155 & \\
                        \hline 
                        Indice & 100 &  & 50 & 123\\
                        \hline
                    \end{tabular}
                \end{center}

            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
            Calculer le prix de l'année de référence.
            \reponse{2cm}
             \end{minipage}

        \item Lors des soldes, un pantalon a une réduction de 5\%, puis une deuxième réduction de 6\% et enfin une dernière réduction de 10\%. Quel est le pourcentage de remise total?
            \reponse{2cm}


        \item En une semaine, le nombre de vues d'une vidéo est passée de \np{1000} vues à \np{14300}. Calculer le taux d'évolution de cette progression.
            \reponse{2cm}

        \item Le polynôme $P(x) = -3x^2 + 1.5x - 0.18$ a pour racines $x=0.2$ et $x=0.3$. Proposer une forme factorisée de ce polynôme.
            \reponse{2cm}
             
        \item  Tracer approximativement une courbe qui a le tableau de variation suivant en faisant apparaître les éléments remarquables.

            \begin{minipage}{0.5\linewidth}

                \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south)]
                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]
                    {$ x $/1, $ f(x) $/2}{$-\infty$, -2, 4,  $+\infty$ }
                    \tkzTabVar{ +/, -D-/, +/2, -/}
                \end{tikzpicture}

            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                
                \reponse{4cm}
            \end{minipage}


        \item    Tracer le tableau de signe de la fonction $f(x) = \frac{(x-4)(5x +1) }{x^2}$ (ne pas oublier la valeur interdite en $x=0$)
            \reponse{2cm}
            
        \item Démontrer que la dérivée de $f(x) = 2x + 50 + \frac{50}{x}$ est égale $f'(x) =  \dfrac{2(x-5)(x+5)}{x^2}$
            \reponse{2cm}
            

    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Recyclage}, points=7, tribe={1}, type={Exercise}]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique.

        Elle peut produire chaque jour entre $0$ et $10$ tonnes de plastique qu'elle revend en totalité au prix
        unitaire de $700$~\euro{} la tonne.

        On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par
        $C_M(x) = \dfrac{C_T (x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique.

        Le coût marginal, noté $C_m$, est le coût induit par la production d'une tonne de plastique supplémentaire
        lorsqu'on a déjà produit $x$ tonnes de plastique.

        \smallskip

        Les parties A et B sont indépendantes.

        \medskip

    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/couts}
    \end{minipage}

    \textbf{Partie A}

    \medskip

    Ci-dessus, sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction
    de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente
    unitaire.

    On admet que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le coût
            moyen soit minimal.
        \item  Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
    \end{enumerate}

    \bigskip

    \textbf{Partie B}

    \medskip

    On dit qu'il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.

    On admet que le profit de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente
    unitaire.

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Pour quelles quantités de plastique produites, l'entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat
            sera donné sous la forme d'un intervalle.
        \item  Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le
            profit soit maximal.
        \item  Quel est le coût moyen correspondant à cette production ?
        \item  En déduire le coût total correspondant.
        \item  Calculer le profit total maximal.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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