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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{qrcode}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Dérivation - Cours}
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\date{août 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Dérivée}
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Nous allons définir la dérivée en s'inspirant de ce qui a été fait précédement avec la vitesse.
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\subsection*{Définitions}
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\begin{tabular}{m{0.3\textwidth}*{2}{|m{0.3\textwidth}}}
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Position $x(t)$ & Fonction $f(x)$ & Signification graphique \\
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Vitesse moyenne & Taux de variation & Corde \\
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$v_m(t) = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ & $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ &
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\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south),
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xscale=0.5, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
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]{0.08*(5-x)*exp(x)};
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\end{tikzpicture}
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\\
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Vitesse instannée & Dérivée & Tangente\\
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$v(t) = \dfrac{dx}{dt}$ & $f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dot f(t)$ &
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\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south),
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xscale=0.5, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
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]{0.08*(5-x)*exp(x)};
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\end{tikzpicture}
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\end{tabular}
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\subsection*{Formules de dérivations}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
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\hline
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\rowcolor{highlightbg}
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Fonction $f$ & Fonction dérivée $f'$ \\
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\hline
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$a$ & $0$ \\
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\hline
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$ax$ & $a$ \\
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\hline
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$ax^2$ & $2ax$ \\
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\hline
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$ax^3$ & $3ax^2$\\
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\hline
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$ax^n$ & $nax^{n-1}$\\
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\hline
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$\frac{1}{x}$ & $\frac{-1}{x^2}$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\subsection*{Opérations}
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Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel alors
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\begin{itemize}
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\item La dérivée de $f(x) = u(x) + v(x)$ est $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
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\item La dérivée de $f(x) = k \times u(x)$ est $f'(x) = k \times u'(x)$.
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\item La dérivée de $f(x) = u(x) \times v(x)$ est $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
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\end{itemize}
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\subsection*{Exemple}
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\afaire{Dériver la fonction $f(x) = (2x+1)\times\dfrac{1}{x}$}
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\end{document}
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