Bertrand Benjamin
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TeX
\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Manipulations techniques}, step={1}, origin={Créations}, topics={Logarithme}, tags={exponentielle, logarithme}]
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\begin{enumerate}
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\item Mettre sous la forme $a\times e^b$
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
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\item $B=e^3 + 5e^3$
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\item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
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\item $D= e^4 - (3e^2)^2$
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\item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
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\item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Réduire les expressions
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
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\item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
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\item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
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\item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
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\item $E=e^{-x}(e^x-1)$
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\item $F=(e^x+1)^2$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Factoriser
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $A = x^2e^x + 2e^x$
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\item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
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\item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Résoudre les équations et inéquations
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $e^{2x+1} = e^{x}$
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\item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
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\item $e^{2x+1} = e$
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\item $e^{-x} - 1\geq 0$
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\item $e^x(e^x-1) = 0$
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\item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
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\item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
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\item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
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On fixe $\tau = 2$.
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\begin{enumerate}
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\item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
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\item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
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\item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
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\item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer et interpréter $c(0)$.
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\item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
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\item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
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\item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
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\item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={pH}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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L'image suivante illustre le lien entre le volume d'une solution données et son pH (une mesure de l'acidité).
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\begin{enumerate}
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\item À partir de l'image calculer le volume de la solution pour avoir un pH de 6, de 3 et de 2.
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\item Représenter sur un graphique le lien entre le pH (en abscisse) et le volume de la solution (en ordonnée). À quelle problème êtes vous confronté?
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\item Refaire le graphique mais cette fois-ci vous mettrez en ordonnée non pas le volume de la solution mais le logarithme du volume. Que peut-on dire de ce graphique?
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\item On peut donc faire le lien entre le pH et le volume de la solution: $pH = \log(V)$. Comme la concentration, à quantité de $H_3O^+$ constante, est l'inverse de la concentration, on obtient la formule
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\[
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pH = - \log( [H_3 0^+] )
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\]
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Démontrer cette formule.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/pH}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Intensité sonore}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Correspondance entre l’augmentation de l’énergie sonore et son équivalent de niveau sonore en décibels (dB)
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\begin{enumerate}
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\item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec le niveau sonore en abscisse et l'énergie en ordonnée.
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\item Estimer par combien faut-il multiplier l'énergie pour augmenter le niveau sonore de 15. De 30.
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\item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec le niveau sonore en abscisse et le logarithme de l'énergie en ordonnée.
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\item Refaire l'estimation.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
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\hline
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Augmentation du niveau sonore de & Multiplication de l'énérgie sonore par \\
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\hline
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3dB & 2 \\
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5dB & 3 \\
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6dB & 4 \\
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7dB & 5 \\
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8dB & 6 \\
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9dB & 8 \\
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10dB & 10 \\
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20dB & 100 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Population mondiale}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec l'année en abscisse et la population en ordonnée.
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\item Estimer la population en l'an 0 puis en 2000.
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\item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec l'année en abscisse et le logarithme de la population en ordonnée.
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\item Refaire l'estimation.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
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\hline
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Année & Population \\
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\hline
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400 & 206 millions \\
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1000 & 679 millions \\
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1800 & 1,125 milliard \\
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1900 & 1,762 milliard \\
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1910 & 1,750 milliard \\
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1920 & 1,860 milliard \\
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1930 & 2,07 milliards \\
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1940 & 2,3 milliards \\
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1950 & 2,5 milliards \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Équations puissances}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
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Résoudre les équations et inéquation suivantes
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $e^{x} = 5$
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\item $e^{x} = 1$
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\item $e^{x} = -10$
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\item $e^{2x} = 3$
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\item $e^{-3x} = 10$
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\item $e^{5x+1} = 10$
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\item $2e^{x} = 6$
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\item $-3e^{x} = -9$
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\item $4e^{x} + 1 = 6$
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\item $-5e^{-x} + 1 = -1$
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\item $4e^{x^2} - 3 = 6$
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\item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Équations logarithme}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
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Résoudre les équations suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ln(x) = 4$
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\item $\ln(x) + 1 = 0$
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\item $5\ln(x) -3 = 5$
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\item $\ln(x) =3\ln(5)$
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\item $\ln(2x+3) = 0$
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\item $(x+1)\ln(x) = 0$
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\item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
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\item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
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\item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Manipulation d'expressions}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
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Démontrer les égalités suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $\ln(2e^3) + \ln(e) - \ln(2) = 4$
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\item $\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(x^2+x)$
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\item $\ln(x^2) + \ln(\frac{1}{x}) - \ln(2) = \ln(\frac{x}{2})$
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\item $\ln(x^3) + \ln(\frac{e^2}{x}) = 2\ln(x) + 2$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique de $\ln$}, step={5}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
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\item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
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\item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
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\item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={5}, topics={Logarithme}]
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Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = x-2-\ln(x)$
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\item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
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\item $f(x) = x\ln(x)$
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\item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
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\item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
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\item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
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\[
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f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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\[
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f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
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\]
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
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\item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
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\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
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\[
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f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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||
\[
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||
f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
|
||
\]
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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||
\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
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||
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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