2020-2021/Complementaire/03_Logarithme/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Manipulations techniques}, step={1}, origin={Créations}, topics={Logarithme}, tags={exponentielle, logarithme}]
    \begin{enumerate}
        \item Mettre sous la forme $a\times e^b$
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
                    \item $B=e^3 + 5e^3$
                    \item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
                    \item $D= e^4 - (3e^2)^2$
                    \item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
                    \item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
        \item Réduire les expressions
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
                    \item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
                    \item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
                    \item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
                    \item $E=e^{-x}(e^x-1)$
                    \item $F=(e^x+1)^2$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
        \item Factoriser
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $A = x^2e^x + 2e^x$
                    \item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
                    \item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
        \item Résoudre les équations et inéquations
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $e^{2x+1} = e^{x}$
                    \item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
                    \item $e^{2x+1} = e$
                    \item $e^{-x} - 1\geq 0$
                    \item $e^x(e^x-1) = 0$
                    \item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$

    On fixe $\tau = 2$.
    \begin{enumerate}
        \item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
        \item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
        \item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
        \item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer et interpréter $c(0)$.
        \item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
        \item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
        \item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
        \item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={pH}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        L'image suivante illustre le lien entre le volume d'une solution données et son pH (une mesure de l'acidité).
        \begin{enumerate}
            \item À partir de l'image calculer le volume de la solution pour avoir un pH de 6, de 3 et de 2.
            \item Représenter sur un graphique le lien entre le pH (en abscisse) et le volume de la solution (en ordonnée). À quelle problème êtes vous confronté?
            \item Refaire le graphique mais cette fois-ci vous mettrez en ordonnée non pas le volume de la solution mais le logarithme du volume. Que peut-on dire de ce graphique?
            \item On peut donc faire le lien entre le pH et le volume de la solution: $pH = \log(V)$. Comme la concentration, à quantité de $H_3O^+$ constante, est l'inverse de la concentration, on obtient la formule
                \[
                    pH = - \log( [H_3 0^+] )
                \]
                Démontrer cette formule.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/pH}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Intensité sonore}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
    Correspondance entre l’augmentation de l’énergie sonore et son équivalent de niveau sonore en décibels (dB)
        \begin{enumerate}
            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec le niveau sonore en abscisse et l'énergie en ordonnée.
            \item Estimer par combien faut-il multiplier l'énergie pour augmenter le niveau sonore de 15. De 30.
            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec le niveau sonore en abscisse et le logarithme de l'énergie en ordonnée.
            \item Refaire l'estimation.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
            \hline
            Augmentation du niveau sonore de & Multiplication de l'énérgie sonore par \\
            \hline 
            3dB & 2 \\
            5dB & 3 \\
            6dB & 4 \\
            7dB & 5 \\
            8dB & 6 \\
            9dB & 8 \\
            10dB & 10 \\
            20dB & 100 \\
            \hline
        \end{tabular}    
    \end{minipage}
\end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Population mondiale}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{enumerate}
            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec l'année en abscisse et la population en ordonnée.
            \item Estimer la population en l'an 0 puis en 2000.
            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec l'année en abscisse et le logarithme de la population en ordonnée.
            \item Refaire l'estimation.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
            \hline
            Année & Population \\
            \hline 
            400 & 206 millions \\
            1000 & 679 millions \\
            1800 & 1,125 milliard \\
            1900 & 1,762 milliard \\
            1910 & 1,750 milliard \\
            1920 & 1,860 milliard \\
            1930 & 2,07 milliards \\
            1940 & 2,3 milliards \\
            1950 & 2,5 milliards \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{minipage}

\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équations puissances}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
    Résoudre les équations et inéquation suivantes
    \begin{multicols}{4}
       \begin{enumerate}
           \item $e^{x} = 5$
           \item $e^{x} = 1$
           \item $e^{x} = -10$
           \item $e^{2x} = 3$

           \item $e^{-3x} = 10$
           \item $e^{5x+1} = 10$
           \item $2e^{x} = 6$
           \item $-3e^{x} = -9$

           \item $4e^{x} + 1 = 6$
           \item $-5e^{-x} + 1 = -1$
           \item $4e^{x^2} - 3 = 6$
           \item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
       \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équations logarithme}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
    Résoudre les équations suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ln(x) = 4$
            \item $\ln(x) + 1 = 0$
            \item $5\ln(x) -3 = 5$
            \item $\ln(x) =3\ln(5)$
            \item $\ln(2x+3) = 0$
            \item $(x+1)\ln(x) = 0$
            \item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
            \item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
            \item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Manipulation d'expressions}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
    Démontrer les égalités suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $\ln(2e^3) + \ln(e) - \ln(2) = 4$
            \item $\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(x^2+x)$
            \item $\ln(x^2) + \ln(\frac{1}{x}) - \ln(2) = \ln(\frac{x}{2})$
            \item $\ln(x^3) + \ln(\frac{e^2}{x}) = 2\ln(x) + 2$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique de $\ln$}, step={5}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
        \item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
        \item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
        \item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={5}, topics={Logarithme}]
    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
            \item $f(x) = x\ln(x)$
            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
            \item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
    \[
        f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
            \[
                f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
            \]
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
        \item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
    \[
        f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
            \[
                f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
            \]
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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