2021-2022/2nd/18_Vecteur_et_coordonnées/2B_operations.tex

69 lines
2.1 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
\date{avril 2022}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{1}
\section{Opération sur les coordonnées de vecteurs}
\begin{propriete}[Addition de vecteurs]
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Soient $\vect{u} \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\vectCoord{x_v}{y_v}$ deux vecteurs alors
\[
\vect{u}+\vect{v} \quad \vectCoord{x_u + x_v}{y_u + y_v}
\]
On peut faire un calcul similaire pour la soustraction de vecteurs.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, below] {$\vect{u}$} (3, 2);
\draw [->, very thick] (3, 2) -- node [midway, below] {$\vect{v}$} (4, 4);
\draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above left] {$\vect{u} + \vect{v}$} (4, 4);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{propriete}
\paragraph{Exemple}:~
Soient 3 vecteurs $\vect{u} \vectCoord{2}{4}$, $\vect{v} \vectCoord{1}{-2}$ et $\vect{w} \vectCoord{-6}{5}$. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants:
\begin{itemize}
\item $\vect{u} + \vect{v} $
\\[0.5cm]
\item $\vect{u} + \vect{v} - \vect{w} $
\\[0.5cm]
\end{itemize}
\afaire{compléter les exemples}
\begin{definition}[Multiplication par un réel]
Soient $\vect{u}\vectCoord{x}{y}$ un vecteur et $k$ un nombre réel. Alors le vecteur $k\vect{u}$ est le vecteur de coordonnées
\[
k\vect{v}\quad \vectCoord{kx}{ky}
\]
On dira alors que $\vect{u}$ et $k\vect{u}$ sont \textbf{colinéaires}.
\end{definition}
\paragraph{Exemple}:~
On reprend les vecteurs de l'exemple précédent. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
\begin{itemize}
\item $5\vect{u} $
\\[0.5cm]
\item $\vect{u} + 2\vect{v}$
\\[0.5cm]
\end{itemize}
\afaire{compléter les exemples}
\paragraph{Remarque:} Si l'on a $\vect{AI} = \dfrac{1}{2} \vect{AB}$, alors \dotfill
\afaire{compléter la phrase}
\end{document}