2021-2022/2nd/14_Information_Chiffrée_2/exercises.tex

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% 1E: Intuitions et contre-intuitions
\begin{exercise}[subtitle={Parole de presse}, step={1}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
    \begin{enumerate}
        \item Dans le journal de 13h du 19 février 2013, le présentateur illustre la hausse du prix d'électricité avec des deux infographies
            \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.15]{./fig/facture_elect_prix.png}
                \includegraphics[scale=0.15]{./fig/facture_elect_tx.png}
            \end{center}
            Sans remettre en doute la véracité des montants sur les factures d'électrice, commenter les pourcentages présenté. Trouver l'erreur.
        \item Depuis sa création, une entreprise a diminué ses salaires de 60\%. Son dirigeant affirme qu'il n'y a pas d'inquiétude, il s'engage à ce que son entreprise augmente ses salaires de 60\% et ainsi revenir au niveau initial.

            Choisir un salaire au moment de la création de l'entreprise (peu importe si il est réaliste) puis calculer ce salaire au moment où le dirigeant fait cette annonce et enfin le sailaire qu'il projete d'atteindre. Va-t-il vraiment faire revenir les salaires au niveau initial?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Contre-intuitions}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
    Au regard des deux situations étudiées dans l'exercice précédent, quelles sont les deux erreurs que l'on aurait envie de faire avec les pourcentages d'évolutions mais qu'il va falloir éviter?
\end{exercise}

\begin{solution}
    
\end{solution}


% ----
% 2E: Taux d'évolution et coefficient multiplicateur
\begin{exercise}[subtitle={Taux d'évolution et coefficient multiplicateur}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
    Compléter le tableau suivant 

    \begin{center}
        \begin{tabular}{|*{4}{p{4cm}|}}
            \hline
            Valeur initiale & Valeur finale & Taux d'évolution & Coefficient multiplicateur \\
            \hline
            185 & & +20\% & \\
            \hline
            245 & & -15\% & \\
            \hline
            782 & 124 & & \\
            \hline
            1.23 & 4.3 & & \\
            \hline
            4 & & & 1.5\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Lien entre taux d'évolution et coefficient multiplicateur}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
    Expliquer à travers un exemple que vous choisirez les éléments suivantes:
    \begin{enumerate}
        \item Calculer un coefficient multiplicateur
        \item Passer du taux d'évolution au coefficient multiplicateur.
        \item Passer du coefficient multiplicateur au taux d'évolution.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \section*{Lien entre taux d'évolution et coefficient multiplicateur}

    \begin{propriete}
        Soit $t$ le taux d'évolution qui fait évolution $v_i$ vers $v_f$ alors
        \[
            v_f = (1+t)v_i
        \]
    \end{propriete}
    \begin{definition}
        $1+t$ est appelé \textbf{coefficient multiplicateur}, noté $CM$, associé au taux d'évolution $t$.

        \noindent
        On a ainsi
        \[
            CM = 1+t \qquad \mbox{ou encore} \qquad t = CM - 1
        \]
        et
        \[
            v_f = CM \times v_i \qquad \mbox{ ou encore } \qquad CM = \frac{v_f}{v_i}
        \]
    \end{definition}
    \paragraph{Exemples}
    \begin{itemize}
        \item 
            \begin{tikzpicture}[
                baseline,
                roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
                arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
                ]
                %Nodes
                \node[roundnode]        (leftterme)       {\makebox[0.5cm]{120}};
                \node[roundnode]        (centerterm)      [right=2cm of leftterme] {\makebox[0.5cm]{...}};

                %Lines
                \path[arrow] (leftterme.north) edge [bend left]
                node [pos=0.5, above] {+25\%}
                node [pos=0.5, below] {\times CM = ...}
                (centerterm.north)
                ;
            \end{tikzpicture}
            Coefficient multiplicateur: \hfill Valeur finale: \hfill.
        \item 
            \begin{tikzpicture}[
                baseline,
                roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
                arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
                ]
                %Nodes
                \node[roundnode]        (leftterme)       {\makebox[0.5cm]{55}};
                \node[roundnode]        (centerterm)      [right=2cm of leftterme] {\makebox[0.5cm]{...}};

                %Lines
                \path[arrow] (leftterme.north) edge [bend left]
                node [pos=0.5, above] {+...}
                node [pos=0.5, below] {\times 0.12}
                (centerterm.north)
                ;
            \end{tikzpicture}
            Taux d'évolution: \hfill Valeur finale: \hfill.
        \item 
            \begin{tikzpicture}[
                baseline,
                roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
                arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
                ]
                %Nodes
                \node[roundnode]        (leftterme)       {\makebox[0.5cm]{34}};
                \node[roundnode]        (centerterm)      [right=2cm of leftterme] {\makebox[0.5cm]{123}};

                %Lines
                \path[arrow] (leftterme.north) edge [bend left]
                node [pos=0.5, above] {+...\%}
                node [pos=0.5, below] {\times ...}
                (centerterm.north)
                ;
            \end{tikzpicture}
            Taux d'évolution: \hfill Valeur finale: \hfill.
    \end{itemize}
            
    \afaire{Compléter les calculs}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Questions divers}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
    Répondre aux questions suivantes en détaillant les calculs
    \begin{enumerate}
        \item En solde, un robe a une démarque de -25\%. Par combien son prix est-il multiplié?
        \item La population d'une ville au augmenté de 185\%. Par combien a-t-elle été multipliée?
        \item Les résultats d'une entreprise ont été multiplié par 1.23. Quel est le taux d'évolution correspondant?
        \item Une population de bactérie a été multipliée par 5 en deux heures. Quel est le taux d'évolution correspondant?
        \item Mes notes ont été multipliée par 0.67. Quel est le taux d'évolution de cette dégringolade?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Coefficient multiplicateur: $CM = 1 - \dfrac{25}{100} = 0.75$
        \item Coefficient multiplicateur: $CM = 1 + \dfrac{185}{100} = 2.85$
        \item Taux d'évolution: $t = 1.23 - 1 = 0.23 = 23\%$
        \item Taux d'évolution: $t = 5 - 1 = 4 = 400\%$
        \item Taux d'évolution: $t = 0.67 - 1 = -3.3 = -33\%$
    \end{enumerate}
\end{solution}

% ----
% 3E: Évolutions successives
\begin{exercise}[subtitle={Évolutions successives}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
    Le but de cet exercice est de déterminer une méthode pour calculer le taux d'évolution global de multiples évolutions successives.

    Une entreprise a une croissance moyenne de 2\% \textbf{par mois}. Au début de l'année 2010, son chiffre d'affaire était de \np{5000}\euro.
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Calculer le chiffre d'affaire de cette entre prise fin janvier, fin février et fin mars.
                \item Quel a été le taux d'évolution global sur le premier trimestre de 2010.
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Calculer le chiffre d'affaire fin 2010. 
                \item Quel a été d'évolution global sur l'année 2010?
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Calculer le chiffre d'affaire fin 2020. 
                \item Quel a été d'évolution global entre 2010 et 2020?
            \end{enumerate}
        \item On suppose que cette croissance se poursuit jusqu'en 2050. Quel sera alors sont chiffre d'affaire?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Évolutions successives - bilan}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
    Expliquer votre/vos méthode(s) pour calculer la taux d'évolution d'une transformation composé de plusieurs évolution. Vous illustrerez votre méthode en calculant le taux d'évolution global des trois situations suivantes:
    \begin{enumerate}
        \item 5 augmentation de 4\%.
        \item 100 diminution de 5\%.
        \item Une augmentation de 10\% puis une augmentation de 20\% puis une diminution de 30\%.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \section*{Taux d'évolution successifs}

    \begin{propriete}
        Quand une quantité subit des \textbf{évolution successives} $t_1, t_2, ...$, elle subit alors une \texbf{évolution globale}.

        Les taux d'évolution \textbf{ne peuvent pas} s'ajouter.

        \bigskip

        Il faut multiplier les \textbf{coefficient multiplicateur} entre eux.

        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[
                roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
                node distance=2cm and 2cm,
                arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
                ]
                %Nodes
                \node[roundnode]        (termA)        {\makebox[0.5cm]{}};
                \node[roundnode]        (termB)      [right=of termA] {\makebox[0.5cm]{}};
                \node[roundnode]        (termC)      [right=of termB] {\makebox[0.5cm]{}};
                \node[roundnode]        (termD)      [right=of termC] {\makebox[0.5cm]{}};
                \node                   (termE)      [right=1cm of termD] {\makebox[0.5cm]{...}};
                \node[roundnode]        (termF)      [right=1cm of termE] {\makebox[0.5cm]{}};

                %Lines
                \path[arrow] (termA.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+t_1$} node [below] {$\times CM_1$} (termB.north) ;
                \path[arrow] (termB.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+t_2$} node [below] {$\times CM_2$} (termC.north) ;
                \path[arrow] (termC.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+t_3$} node [below] {$\times CM_3$} (termD.north) ;

                \path[arrow] (termA.south) edge [bend right=10] node [above]  {Taux d'évolution global} node [below] {$\times CM_1 \times CM_2 \times CM_3 \times ...$} (termF.south);
            \end{tikzpicture}    
        \end{center}
    \end{propriete}
   
    \paragraph{Exemples:}
    \begin{itemize}
        \item Une quantité a subit 5 augmentations de 10\%.
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[
                    roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
                    arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
                    ]
                    %Nodes
                    \node[roundnode]        (termA)        {\makebox[0.5cm]{}};
                    \node[roundnode]        (termB)      [right=2cm of termA] {\makebox[0.5cm]{}};
                    \node[roundnode]        (termC)      [right=2cm of termB] {\makebox[0.5cm]{}};
                    \node[roundnode]        (termD)      [right=2cm of termC] {\makebox[0.5cm]{}};
                    \node[roundnode]        (termE)      [right=2cm of termD] {\makebox[0.5cm]{}};
                    \node[roundnode]        (termF)      [right=2cm of termE] {\makebox[0.5cm]{}};

                    %Lines
                    \path[arrow] (termA.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termB.north) ;
                    \path[arrow] (termB.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termC.north) ;
                    \path[arrow] (termC.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termD.north) ;
                    \path[arrow] (termD.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termE.north) ;
                    \path[arrow] (termE.north) edge [bend left=50] node [above]  {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termF.north) ;

                    \path[arrow] (termA.south) edge [bend right=10] node [above]  {Taux d'évolution global} node [below] {$\times ... \times ... \times ... \times ... \times ... = \times ...$} (termF.south);
                \end{tikzpicture} 
            \end{center}
            Le coefficient global est donc de $CM = ...$

            On en déduit le \textbf{taux d'évolution global} $t = ...$
        \item Une quantité a subit une augmentation de 5\% puis un diminution de 10\% et enfin une autre augmentation de 5\%. Calculons le taux d'évolution global.
    \end{itemize}
    \afaire{Compléter les exemples}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Techniques}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
\end{exercise}

\begin{solution}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Mise en situation}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
\end{exercise}

\begin{solution}
\end{solution}

% ----
% 4E: Évolutions réciproques
\begin{exercise}[subtitle={Évolutions réciproques}, step={4}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
    <++>
\end{exercise}

\begin{solution}
    <++>
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Évolutions réciproques}, step={4}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
    <++>
\end{exercise}

\begin{solution}

    \section*{Taux d'évolution réciproque}
    \begin{propriete}
        Quand une quantité subit une évolution et que l'on souhaite revenir à la valeur initiale, elle subit une \textbf{évolution réciproque}.        

        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[
                roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
                node distance=5cm and 5cm,
                arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
                ]
                %Nodes
                \node[roundnode]        (termA)        {\makebox[0.5cm]{$v_i$}};
                \node[roundnode]        (termB)      [right=of termA] {\makebox[0.5cm]{$v_f$}};

                %Lines
                \path[arrow] (termA.north) edge [bend left] node [above]  {$+t_1$} node [below] {$\times CM$} (termB.north) ;

                \path[arrow] (termB.south) edge [bend left] node [above] {$\times \dfrac{1}{CM}$} node [below] {Taux d'évolution réciproque} (termA.south);
            \end{tikzpicture}    
        \end{center}

        Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est égal à $\dfrac{1}{CM}$.

        Le taux d'évolution réciproque est égal à $\dfrac{1}{CM} - 1$
    \end{propriete}

    \paragraph{Exemples:}
    \begin{itemize}
        \item Un article coûte 50\euro hors taxe. Une diminution de 20\% fait passer le prix à 40\euro. Quelle devra être l'augmentation pour revenir au prix initial?
            \vspace{1cm}
        \item Une entreprise a augmenté ses emissions de CO2 de 14\% en un an. Quelle devra être l'évolution pour revenir aux émissions d'avant cette augmentation?
            \vspace{1cm}
    \end{itemize}
    \afaire{Traiter les exemples}

\end{solution}