2021-2022/2nd/Evaluations/DS_2021-12-10/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Probabilités}, step={1}, origin={Ma tête}, points=7, topics={  }, tags={ Probabilités }]
    Dans cet exercice les parties sont indépendantes, elles peuvent être traité séparément.
    \begin{enumerate}[label={\textbf{Partie \Alph*:}}]
        \item \textbf{répartition géographique}

            On a relevé le sexe des enfants nés en février dans 3 communes différentes et on a noté les résultats.

            On considère l'expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard un enfant né en février dans une de ces trois communes.

            \hspace{-1cm}
            \begin{minipage}{0.4\linewidth}
                \begin{center}
                    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
                        \hline
                        Communes & Garçons & Filles & Total \\
                        \hline
                        Villeouf & 432 & 456 & 888\\
                        \hline 
                        Betedeville & 11 & 10 & 21\\
                        \hline 
                        Sacrévillage & 54 & 70 & 124\\
                        \hline 
                        Total &  497 & 536 & 1033\\
                        \hline
                    \end{tabular}
                \end{center}    
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.6\linewidth}
                \begin{enumerate}
                    \item Déterminer l'univers de cette expérience aléatoire.
                    \item Calculer la probabilité des évènements suivants
                        \hspace{-1cm}
                        \begin{tasks}[label={\Alph*=}]
                            \task $\left\{ \mbox{ l'enfant est une fille} \right\}$
                            \task $\left\{ \mbox{ l'enfant est né à Betedeville} \right\}$
                            \task $\left\{ \mbox{ l'enfant est un garçon et il est né à Villeouf}\right\}$
                            %\task $\left\{ \mbox{ l'enfant est une fille ou il est né à Sacrévillage} \right\}$
                        \end{tasks}
                \end{enumerate}
            \end{minipage}
        \item \textbf{fonder une famille}

            M.Dupont et Mme Dupont souhaitent avoir 3 enfants. Ils se sont renseignés, chaque enfants a autant de chance d'être un garçon qu'une fille. 

            On associe ce souhait d'avoir 3 enfants à une expérience aléatoire où l'on s'intéressera au sexe des enfants.
            \begin{enumerate}
                \item En utilisant un arbre de probabilité, déterminer l'univers de cette expérience aléatoire.
                \item Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire?
                \item Quelle est la probabilité pour que le couple ait 2 filles?
                % \item Quelle est la probabilité que leur deuxième enfant soit un garçon?
                \item Quelle est la probabilité pour que les deux ainés (les deux enfants nés en premier) soient du même sexe?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}[label={\textbf{Partie \Alph*:}}]
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Univers $\Omega$ est composé des éléments suivants
                    \begin{itemize}
                        \item Garçon né à Villeouf
                        \item Garçon né à Bettedeville
                        \item Garçon né à Sacrévillage
                        \item Fille né à Villeouf
                        \item Fille né à Bettedeville
                        \item Fille né à Sacrévillage
                    \end{itemize}
                \item Probabilités
                    \[
                        P(A) = \frac{536}{1033} \qquad P(B) = \frac{21}{1033} \qquad P(C)= \frac{432}{1033}
                    \]
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item En notant $F$ une fille et $G$ un garçon. L'univers est
                    \[
                        \Omega = \left\{ FFF, FFG, FGF, FGG, GFF, GFG, GGF, GGG \right\}
                    \]
                \item Loi de probabilités
                    \begin{center}
                        \begin{tabular}{|c|*{8}{c|}}
                            \hline
                            Issues & FFF  &  FFG  &  FGF  &  FGG  &  GFF  &  GFG  &  GGF  &  GGG \\
                            \hline
                            Probabilités & $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$ \\
                            \hline
                        \end{tabular}
                    \end{center}
                \item La probabilités d'avoir deux filles est de $\frac{3}{8}$
                \item La probabilité d'avoir les deux ainés du même sexe est de $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Vecteurs}, step={1}, origin={Un livre}, topics={Vecteur hors repère}, tags={ Vecteurs }, points=4]
    \noindent
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \begin{enumerate}
            \item À partir de la figure ci-contre trouver deux vecteurs correspondant aux descriptions suivantes
                \begin{enumerate}
                    \item égal au vecteur $\vect{BC}$
                    \item opposé à $\vect{FC}$
                    \item même direction et même sens que $\vect{EF}$
                \end{enumerate}
            \item Quelle est l'image du point $C$ par la translation de vecteur $\vect{u}$
            \item Donner un vecteur correspondant aux calculs suivants
                \begin{tasks}(3)
                    \task $\vect{ED} + \vect{DA}$
                    \task $\vect{EF} + \vect{ED}$
                    \task $2\vect{u}$
                \end{tasks}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.35\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
            \draw (0, 0) grid (6, 6);
            \draw (0, 0) rectangle (6, 6);

            \draw (4, 5) node {x} node [above right] {$A$};
            \draw (2, 1) node {x} node [below right] {$B$};
            \draw (4, 1) node {x} node [below right] {$C$};
            \draw (2, 5) node {x} node [below right] {$D$};
            \draw (1, 3) node {x} node [above right] {$E$};
            \draw (5, 3) node {x} node [above right] {$F$};

            \draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, left] {$\vect{u}$} ++(1, 2);
            \draw [->, very thick] (1, 4) --  node [midway, below right] {$\vect{v}$} ++ (2, 0);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Vecteurs correspondant aux descriptions
            \begin{enumerate}
                \item $\vect{BC} = \vect{v} = \vect{DA}$
                \item $\vect{u} = \vect{CF} = \vect{ED}$
                \item $\vect{v}$ ou $\vect{BC}$ ou $\vect{DA}$
            \end{enumerate}
        \item L'image est le point $F$.
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item $\vect{ED} + \vect{DA} = \vect{EA}$
                \item $\vect{EF} + \vect{DE} = \vect{EC}$
                \item $2\vect{u} = \vect{BA}$
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Géométrie}, step={1}, origin={Ma tête}, points=4, topics={ Démonstration}, tags={ Géométrie }]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        $ABCD$ est un quadrilatère. Ses diagonales se coupent en un point $O$. On nous dit de plus que 
        \begin{tasks}[style=itemize]
            \task $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
            \task $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles
            \task $AB=4$
            \task $DA=3$
            \task $OB = 2,5$
        \end{tasks}
        Amine a réalisé la figure à main levée ci-contre.
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \includegraphics[scale=0.1]{./fig/dessin}
        
    \end{minipage}

    \begin{tasks}
        \task Démontrer que $DABC$ est un parallélogramme.
        \task Démontrer que $DAB$ est un triangle rectangle.
        \task (bonus) Démontrer que $AC = DB$
    \end{tasks}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On sait que $ABCD$ est un quadrilatère, que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et que $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles.

            Or un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses cotés opposées parallèles.

            Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

        \item On sait que $ABCD$ est un parallélogramme.

            Or un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu

            Donc $O$ est le milieu de $[BD]$ et donc $BD = 5$.

            On sait que $DA = 3$, $AB = 4$ et $DB = 5$ et donc que $DA^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ et que $DB^2 = 5^2 = 25$
                
            Or d'après le théorème de Pythagone

            On en conclu que $DAB$ est un triangle rectangle en $A$
                

        \item On sait que $ABCD$ est un parallélogramme et que $\widehat{DAB}$ est un angle droit.

            Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

            Donc $ABCD$ est un rectangle.

            Or un rectangle a ses diagonales qui ont la même longueur.

            Donc $AC = DB$.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={QCM - questions flashs}, step={1}, origin={Ma tête}, points=5, topics={  }, tags={ QCM }]
    \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
        Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
    Aucune justification n'est demandée.}
    \begin{enumerate}
        \item La forme développé de $A = 7x - 15x (x + 2)$ est 
            \begin{tasks}(4)
                \task $ -8x^2 - 14x$
                \task $ 15x^2 + 37x$
                \task $ -15x^2 - 21x$
                \task Aucune de ces trois propositions
            \end{tasks}
        \item Quelle proposition est vraie?
            \begin{tasks}(3)
                \task Un losange qui a ses diagonales qui ont la même longueur est un carré.
                \task Un rectangle qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un losange.
                \task Un parallélogramme qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un rectangle.
            \end{tasks}
        \item Soit $f$ la fonction représentée ci-dessous. La solution de l'inéquation $f(x) \geq 2$ est

            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        %grid = both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$y$},
                        ytick distance=1,
                        legend pos = north west,
                        legend entries={$f(x)$}
                        ]
                        \addplot[domain=-6:7,samples=40, color=red, very thick]{-0.1*(x+5)*(x-1)*(x-6)};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}    
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                \begin{tasks}
                    \task $x \in \intFF{-6}{-5.5} \cup \intFF{2}{5.5}$
                    \task $x \in \intFF{-5.5}{2} \cup \intFF{5.5}{7}$
                    \task $x \in \left\{ -5.5; 2; 5.5 \right\}$
                    \task $f(2) = 2$ et $f(0) = -3$
                \end{tasks}
            \end{minipage}

        \item On donne la formule dite des gaz parfaits $P\times V = n\times R\times T$ où $P$ est la pression, $V$ le volume, $n$ le nombre de moles, $R$ une constante et $T$ la température. Pour calculer la température, on peut utiliser la formule
            \begin{tasks}(4)
                \task $T = P\times V \times n \times R$
                \task $T = \dfrac{P \times V}{n \times R}$
                \task $T = \dfrac{n \times R}{P \times V}$
                \task Il est impossible de calculer la température
            \end{tasks}
        \item Une quantité est passée de 20\euro à 32\euro. Le taux d'évolution de cette évolution est de:
            \begin{tasks}(4)
                \task $+21\%$
                \task $+37,5\%$
                \task $+60\%$
                \task $+160\%$
            \end{tasks}

    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item c)
        \item a)
        \item a)
        \item b)
        \item c)
    \end{enumerate}
    
\end{solution}