Feat: cours sur la colinéarité et le déterminant

2nd/18_Vecteur_et_coordonnées/3E_norme.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Vecteur et coordonnées - Exercices}
+\date{avril 2022}
+
+\DeclareExerciseCollection[step=3]{banque}
+\xsimsetup{collect}
+
+
+\begin{document}
+\setcounter{exercise}{7}
+\input{exercises.tex}
+
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

2nd/18_Vecteur_et_coordonnées/4B_determinant_colinearite.tex

@@ -10,5 +10,63 @@
 \begin{document}
 
 \maketitle
+\setcounter{section}{3}
+
+\section{Colinéarité et déterminant}
+
+\begin{definition}[Colinéarité]
+
+    Soit $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs non nuls. 
+
+    S'il existe un nombre $k$ tel que $\vect{u} = k \vect{v}$ on dira alors que $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont \textbf{colinéaires}.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
+            \draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (3, 3);
+            \draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above] {$\vect{v}$} (5, 3);
+            \draw [->, very thick] (4, 5) -- node [midway, above] {$\vect{w}$} (2, 4);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+         
+\end{definition}
+
+\paragraph{Exemples}
+\begin{itemize}
+    \item Dans l'illustration précédentes, $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ sont colinéaires car
+        \\
+    \item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{-10}{-25}$ sont colinéaires car
+        \\
+    \item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{4}{15}$ ne sont pas colinéaires car
+        \\
+\end{itemize}
+
+\begin{definition}[ Déterminant ]
+    On appelle \textbf{déterminant} des vecteurs $\vect{u}\; \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $vect{v}\; \vectCoord{x_v}{y_v}$ le nombre
+    \[
+        det(\vect{u}, \vect{v}) = x_u\times y_v - x_v\times y_u
+    \]
+   
+    Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $det(\vect{u}, \vect{v}) = 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{multicols}{2}
+    \begin{propriete}[ Parallélisme ]
+        Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires.
+    \end{propriete}
+
+    \paragraph{Exemple}: Soient $A(0; 0)$, $B(1; 1)$, $C(3; 5)$ et $D(5; 7)$. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles.
+    \\[1cm]
+
+    \begin{propriete}[ Allignement ]
+        Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.
+    \end{propriete}
+
+    \paragraph{Exemple}: Soient $A(4; 2)$, $B(10; -5)$ et $C(-8; 16)$. Démontrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
+    \\[1cm]
+
+\end{multicols}
+
+\afaire{compléter les explications}
 
 \end{document}

2nd/18_Vecteur_et_coordonnées/exercises.tex

@@ -88,6 +88,9 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+% -------
+
+
 \begin{exercise}[subtitle={Calculs avec les coordonnées de vecteurs}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
     On définit les vecteurs suivants
     \[
@@ -121,6 +124,21 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Équilibre des forces}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
+    \begin{enumerate}
+        \item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{0}{-5}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{-2}{2}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{3}$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Additionner ces trois forces.
+                \item Expliquer pourquoi on peut dit que l'objet est en équilibre
+            \end{enumerate}
+        \item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{-1}{2}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{3}{1}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{2}$. 
+            \begin{enumerate}
+                \item Montrer que l'objet n'est pas en équilibre.
+                \item Quelle doit être la quatrième force à appliquer pour que l'objet soit en équilibre.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
     Soient $A(-3; 7)$, $B(0; -3)$ et $(-2; 3)$ trois points du plan et un point $M(x;y)$ dont il faudra déterminer les coordonnées dans chacun des cas suivants
     \begin{multicols}{4}
@@ -132,3 +150,28 @@
         \end{enumerate}
     \end{multicols}
 \end{exercise}
+
+% -------
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Norme d'un vecteur}, step={3}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
+    On définit les vecteurs suivants
+    \[
+        \vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
+        \vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
+        \vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
+        \vect{x} \vectCoord{-3}{2} 
+    \]
+    et les points suivants
+    \[
+        A(2; 5) \qquad
+        B(4; 1) \qquad
+        C(2; \dfrac{1}{5}) \qquad
+        D(\dfrac{2}{3}; 1)
+    \]
+    Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{u}$, $\vect{v}$, $\vect{w}$ et $\vect{x}$
+        \item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}

2nd/18_Vecteur_et_coordonnées/index.rst

@@ -33,6 +33,8 @@ Pas de plan de travail pour cette fois. Le chapitre est technique et c'est la fi
 Étape 1: Coordonnées de vecteurs dans un repère
 ===============================================
 
+(environ 1h30)
+
 Cours à lire en deux fois
 
 .. image:: ./1B_coordonnees.pdf
@@ -50,6 +52,10 @@ Exercices
 Étape 2: Opérations avec des vecteurs
 =====================================
 
+(environ une bonne heure)
+
+Cours:
+
 .. image:: ./2B_operations.pdf
     :height: 200px
     :alt: Cours sur les opérations sur les coordonnées de vecteurs
@@ -63,12 +69,31 @@ Exercices
 Étape 3: Norme et distance
 ==========================
 
+(environ une demi heure)
+
+Cours:
+
 .. image:: ./3B_norme_distance.pdf
     :height: 200px
     :alt: Cours sur la norme d'un vecteur
 
+Exercice
 
+.. image:: ./3E_norme.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: exercice sur la norme d'un vecteur
 
 
 Étape 4: Déterminant et colinéarité
 ===================================
+
+(environ une heure)
+
+Cours:
+
+.. image:: ./4B_determinant_colinearite.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: cours sur le déterminant et la colinéarité
+
+
+