166 lines
7.2 KiB
TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Cducosto}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations, inéquations}, points=5]
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L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages.
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\begin{enumerate}
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\item Leur premier produit est un marteau. Voici les tableaux décrivant le signe et les variations des bénéfices (notés $B(x)$) en fonction du nombre de marteau qu'elle produit et vend.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $B(x)$/2}{0, 30, 120, 150}
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
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\end{tikzpicture}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ B(x) $/2}{0, 75, 150}
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\tkzTabVar{ -/-175, +/100, -/-175}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Si l'entreprise produit 10 marteaux, fait-elle des bénéfices?
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\item Sur quel intervalle doit-elle produire pour que ses bénéfices soient positifs?
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\item Quelle quantité de marteaux doit-elle produire pour faire un maximum de bénéfices?
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\end{enumerate}
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\item Leur deuxième produit est une visseuse automatique. Le bénéfice liés à cet outil est donné par la fonction suivante:
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\begin{eqnarray*}
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f:x & \mapsto & 2x - 3
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\end{eqnarray*}
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\begin{enumerate}
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\item Tracer et démontrer le tableau de signes de cette fonction.
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\item À partir de combien de visseuses l'entreprise fait-elle du bénéfice?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[xscale=1]
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\begin{axis}[
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xscale=2,
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axis lines = center,
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%grid = both,
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xlabel = {Quantité},
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%xtick={0, 20, ..., 150},
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xtick distance=10,
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ylabel = {Bénéfices},
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ytick distance=50,
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ymax=150,
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grid=major
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]
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\addplot[domain=0:150,samples=40, color=red, very thick]{-0.05*x*x + 7.5*x - 180};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Pour que les bénéfices soient positifs , il faut que la production reste sur l'intervalle $\intFF{3}{120}$
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item
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On cherche là où la fonction $f$ est positive
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\begin{eqnarray*}
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f(x) & > &0\\
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2x - 3 & > & 0 \\
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2x & > & 3 \\
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&& \mbox{2 est positif, on ne change}\\
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&& \mbox{le sens de l'inégalité}\\
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x &>& \frac{3}{2} = 1,5
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\end{eqnarray*}
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Donc $f(x)$ est positive quand $x$ est supérieur à 1.5.
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, {1,5}, $+\infty$}
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\tkzTabLine{ ,-, z, +,}
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\end{tikzpicture}
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\item
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À partir de 2 visseuses l'entreprise fait des bénéfices (là où dans le tableau au dessus il y a un +)
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations}, points=5]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variation de la fonction suivante
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, -1) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
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\draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item En utilisant la calculatrice tracer le tableau de signe puis le tableau de variation de la fonction
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\[
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g(x) = x^3 + x^2 - 2x
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vecteurs}, step={1}, origin={Sesamaths}, topics={Vecteurs}, tags={Vecteurs}, points=7]
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Répondre aux questions ci-dessous en utilisant la figure suivante
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0, 0) grid (8, 7);
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\draw[thick] (0, 0) rectangle (8, 7);
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\draw (4, 6) node {x} node [above right] {$A$};
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\draw (5, 5) node {x} node [above right] {$B$};
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\draw (7, 5) node {x} node [above right] {$C$};
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\draw (6, 4) node {x} node [above right] {$D$};
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\draw (6, 1) node {x} node [above right] {$E$};
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\draw (5, 1) node {x} node [above right] {$F$};
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\draw (4, 2) node {x} node [above right] {$G$};
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\draw (3, 1) node {x} node [above right] {$H$};
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\draw (2, 1) node {x} node [above right] {$I$};
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\draw (1, 3) node {x} node [above right] {$J$};
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\draw[->, very thick] (1, 4) -- node [midway, above left] {$\vect{u}$} (3, 6);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer un vecteur pour chacune des descriptions suivantes:
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\begin{enumerate}
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\item égal à $\vect{u}$
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\item même direction, même sens que $\vect{GF}$ mais de longueur différente.
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\item même direction, même longueur que $\vect{GA}$ mais de sens différent.
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\item égal à $\vect{FG} + \vect{GA}$.
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\item égal à $\vect{BA} + \vect{BF}$.
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\item égal à $2\vect{u}$.
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\item égal à $\dfrac{1}{3}\vect{JA}$.
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\item égal à $\vect{CD} + \vect{FG} - \vecg{GH} - \vect{BA}$.
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\end{enumerate}
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\item Construire le point $X$ image de $I$ par la translation de $\vect{u}$
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\item Construire le point $Y$ tel que $\vect{FY} = \vect{u}$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Statistiques}, step={1}, origin={Création}, topics={Divers}, tags={QCM}, points=3]
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On veut effectué un étude statistique sur les matchs de la rencontre annuelle de foot du bassin Bellegardien.
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Lors de cette compétition, on a enregistré le nombre de buts marqués par match. Voici les résultats
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
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\hline
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4& 3& 1& 0& 6& 1& 5& 3& 3& 6& 6\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Décrire la population, les individus et le caractère de cette étude statistique.
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\item Calculer la moyenne du nombre de but marqués.
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\item Calculer la médiane du nombre de but marqués.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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