2021-2022/2nd/Evaluations/DS_2022-01-18/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Cducosto}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations, inéquations}, points=5]
    L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages.
    \begin{enumerate}
        \item Leur premier produit est un marteau. Voici les tableaux décrivant le signe et les variations des bénéfices (notés $B(x)$) en fonction du nombre de marteau qu'elle produit et vend.

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $B(x)$/2}{0, 30, 120, 150}
                    \tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
                \end{tikzpicture}

                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ B(x) $/2}{0, 75, 150}
                    \tkzTabVar{ -/-175, +/100, -/-175}
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

        \begin{enumerate}
            \item Si l'entreprise produit 10 marteaux, fait-elle des bénéfices?
            \item Sur quel intervalle doit-elle produire pour que ses bénéfices soient positifs?
            \item Quelle quantité de marteaux doit-elle produire pour faire un maximum de bénéfices?
        \end{enumerate}

        \item Leur deuxième produit est une visseuse automatique. Le bénéfice liés à cet outil est donné par la fonction suivante:
        \begin{eqnarray*}
            f:x & \mapsto & 2x - 3
        \end{eqnarray*}
        \begin{enumerate}
            \item Tracer et démontrer le tableau de signes de cette fonction.
            \item À partir de combien de visseuses l'entreprise fait-elle du bénéfice?
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[xscale=1]
                    \begin{axis}[
                        xscale=2,
                        axis lines = center,
                        %grid = both,
                        xlabel = {Quantité},
                        %xtick={0, 20, ..., 150},
                        xtick distance=10,
                        ylabel = {Bénéfices},
                        ytick distance=50,
                        ymax=150,
                        grid=major
                        ]
                        \addplot[domain=0:150,samples=40, color=red, very thick]{-0.05*x*x + 7.5*x - 180};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            \begin{enumerate}
                \item Pour que les bénéfices soient positifs , il faut que la production reste sur l'intervalle $\intFF{3}{120}$
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item 
                On cherche là où la fonction $f$ est positive
                \begin{eqnarray*}
                    f(x) & > &0\\
                    2x - 3 & > & 0 \\
                    2x & > & 3 \\
                    && \mbox{2 est positif, on ne change}\\
                    && \mbox{le sens de l'inégalité}\\
                    x &>& \frac{3}{2} = 1,5
                \end{eqnarray*}
                Donc $f(x)$ est positive quand $x$ est supérieur à 1.5.

                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, {1,5}, $+\infty$}
                    \tkzTabLine{ ,-, z, +,}
                \end{tikzpicture}
            \item 
                    À partir de 2 visseuses l'entreprise fait des bénéfices (là où dans le tableau au dessus il y a un +)
                
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations}, points=5]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variation de la fonction suivante
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, -1) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
                    \draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item En utilisant la calculatrice tracer le tableau de signe puis le tableau de variation de la fonction
            \[
                g(x) = x^3 + x^2 - 2x
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Vecteurs}, step={1}, origin={Sesamaths}, topics={Vecteurs}, tags={Vecteurs}, points=7]
    Répondre aux questions ci-dessous en utilisant la figure suivante
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
        \draw (0, 0) grid (8, 7);
        \draw[thick] (0, 0) rectangle (8, 7);

        \draw (4, 6) node {x} node [above right] {$A$};
        \draw (5, 5) node {x} node [above right] {$B$};
        \draw (7, 5) node {x} node [above right] {$C$};
        \draw (6, 4) node {x} node [above right] {$D$};
        \draw (6, 1) node {x} node [above right] {$E$};
        \draw (5, 1) node {x} node [above right] {$F$};
        \draw (4, 2) node {x} node [above right] {$G$};
        \draw (3, 1) node {x} node [above right] {$H$};
        \draw (2, 1) node {x} node [above right] {$I$};
        \draw (1, 3) node {x} node [above right] {$J$};

        \draw[->, very thick] (1, 4) -- node [midway, above left] {$\vect{u}$} (3, 6);
    \end{tikzpicture}
    \end{center}

    \begin{enumerate}
        \item Déterminer un vecteur pour chacune des descriptions suivantes:
            \begin{enumerate}
                \item égal à $\vect{u}$
                \item même direction, même sens que $\vect{GF}$ mais de longueur différente.

                \item même direction, même longueur que $\vect{GA}$ mais de sens différent.
                \item égal à $\vect{FG} + \vect{GA}$.

                \item égal à $\vect{BA} + \vect{BF}$.
                \item égal à $2\vect{u}$.

                \item égal à $\dfrac{1}{3}\vect{JA}$.
                \item égal à $\vect{CD} + \vect{FG} - \vecg{GH} - \vect{BA}$.
            \end{enumerate}
        \item Construire le point $X$ image de $I$ par la translation de $\vect{u}$
        \item Construire le point $Y$ tel que $\vect{FY} = \vect{u}$
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Statistiques}, step={1}, origin={Création}, topics={Divers}, tags={QCM}, points=3]
    On veut effectué un étude statistique sur les matchs de la rencontre annuelle de foot du bassin Bellegardien.

    Lors de cette compétition, on a enregistré le nombre de buts marqués par match. Voici les résultats

    \begin{center}
        \begin{tabular}{|*{11}{c|}}
            \hline
            4& 3& 1& 0& 6& 1& 5& 3& 3& 6& 6\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
      
    \begin{enumerate}
        \item Décrire la population, les individus et le caractère de cette étude statistique.
        \item Calculer la moyenne du nombre de but marqués.
        \item Calculer la médiane du nombre de but marqués.
    \end{enumerate}
\end{exercise}