Feat(1ST): Fin des exercices sur les proba conditionnalles

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Bertrand Benjamin 2023-04-19 14:30:19 +02:00
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\begin{exercise}[subtitle={Mobilités}, step={1}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
On a réalisé une enquête dans un lycée où il y a \np{1200} élèves.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-contre avec les informations suivantes.
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item 42.5\% des élèves habitent en centre-ville.
\item 50\% des élèves utilisent les transports en commun et parmi eux, 75\% habitent en périphérie.
\item 180 utilisent la voiture dont 30 habitent en centre-ville.
\item 25\% des élèves viennent à pied.
\item Parmi les cyclistes, il a trois fois plus d'élèves qui habitent en périphérie qu'en centre-ville.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& Centre-ville & Périphérie & Total \\
\hline
Voiture & & & \\
\hline
Vélo & & & \\
\hline
À pied & & & \\
\hline
Autre & & & \\
\hline
Total & & & \np{1200} \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item Avec les notations suivantes, décrire avec une phrase puis calculer l'effectif des ensembles
\[
A = \left\{ \mbox{habite en centre-ville} \right\} \qquad
B = \left\{ \mbox{utilise de vélo} \right\}
\]
\[
A \cap B \qquad A \cup B \qquad \overline{A} \qquad \overline{A}\cap B \qquad \overline{ A \cup B}
\]
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Erreur de contrôle}, step={1}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
Une entreprise fabrique en grande série des pièces. Les aléas de productions font que 5\% des pièces ont un défaut. Cette entreprise dispose d'un appareil qui contrôle la qualité des pièces. Cet appareil accepte toutes les pièces sans défauts, mais ne refuse que 80\% des pièces qui ont un défaut.
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{enumerate}
\item On considère un échantillon de \np{10000} pièces représentatif. Compléter le tableau croisé ci-contre.
\item On note les ensembles suivants:
\begin{itemize}
\item $D = \left\{ \mbox{avec défaut} \right\}$
\item $A = \left\{ \mbox{Accéptée} \right\}$
\end{itemize}
Écrire avec les notations ensemblistes les ensembles ci-dessous puis calculer les probabilités associées.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& Avec défaut & Sans défaut & Total \\
\hline
Acceptées & & & \\
\hline
Refusées & & & \\
\hline
Total & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left\{ \mbox{avec défaut et acceptée} \right\}$
\item $\left\{ \mbox{sans défaut ou acceptée} \right\}$
\item $\left\{ \mbox{refusée ou sans défaut} \right\}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étranges poissons}, step={2}, origin={Mon cru}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\searchMode}]
Le tableau suivant indique les quantités de poissons d'un étang ayant certaines caractéristiques.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}|c|}
\hline
& nageoires & ailerons & pattes & total \\
\hline
bleu & 54 & 10 & 30 & 94 \\
\hline
vert & 20 & 50 & 34 & 104 \\
\hline
\hline
total & 74 & 60 & 64 & 198 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On pèche un poisson au hasard dans cet étang. Calculer les quantités suivantes en utilisant les bonnes notations.
\begin{enumerate}
\item La probabilité que le poisson soit bleu et ait des ailerons.
\item La probabilité que le poisson soit vert et n'ai pas de pattes.
\item Si on ne pèche que des poissons à nageoires, la probabilité qu'il soit bleu.
\item Si on ne pèche que des poissons bleus, la probabilité qu'il ait des pattes.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Orientation}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
On a fait une étude sur l'orientation des élèves en filière technologique et on a rassemblé les résultats dans le tableau ci-dessous
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}|c|}
\hline
& STI2D & STMG & ST2S & total \\
\hline
Garçon & 11 & 10 & 22 & 43 \\
\hline
Fille & 5 & 20 & 10 & 35 \\
\hline
\hline
total & 16 & 30 & 32 & 78 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On note les ensembles suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item G = "L'élève est un garçon"
\item F = "L'élève est une fille"
\item D = "Élève de STI2D"
\item M = "Élève de STMG"
\item S = "Élève de ST2S"
\end{itemize}
\end{multicols}
Calculer les quantités suivantes
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $P(G \cap S)$
\item $P_G(S)$
\item $P(F \cap D)$
\item $P_D(F)$
\item $P(G \cup M)$
\item $P_F(M)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Impression de livres}, step={2}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
L'étude de la répartition des livres produit dans une imprimerie donne les résultats suivants
\begin{itemize}
\item 60\% sont des romans et un quart d'entre eux sont au format de non poche
\item 25\% sont des essais et un cinquième d'entre eux sont au format poche
\item le reste est constitué de livres de poésie. Et parmi ceux-là, deux tiers est au format poche.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Faire un tableau croisé des effectifs si l'on suppose que l'imprimerie fabrique au total 100 livres.
\item On choisit un livre au hasard, on note les évènements suivants
\[
P = \left\{ \mbox{le livre est au format poche} \right\} \qquad E = \left\{ \mbox{le livre est un essai} \right\}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des évènements $E$ et $P$.
\item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $E\cap P$
\item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $\overline{E}$
\end{enumerate}
\item Calculer la quantité $P_E(P)$ et interpréter le résultat.
\item Traduire en termes de probabilité la phrase "20\% des essais sont au format poche".
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Villes et voitures}, step={2}, origin={Le livre scolaire}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
Dans une ville A, 30 \% des habitants n'ont pas de voiture, contre 10 \% dans la ville B voisine et 16 \% dans la ville C. Or les habitants de A représentent 12 \% de cette agglomération, les habitants de la ville B en représentent 38 \% et ceux de C en représentent 50 \%.
On interroge un habitant de l'agglomération au hasard. Quelle est la probabilité qu'il vienne de la ville A et qu'il n'ait pas de voiture ? Même question pour les habitants de la ville B et C.
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Tests Covid}, step={3}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
En 2020, on pouvait lire l'article suivant dans le monde.
Dans la suite on note $P=$"test positif" et $I=$"patient infecté".
\begin{enumerate}
\item Chercher dans l'article les valeurs de la sensibilité et de la spécificité du test Covid. Puis traduire ces valeurs en terme de probabilités.
\item On se place dans le premier cas où 1\% de la population est infecté.
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}
\item On étudie une population de 1000 individus. Compléter le tableau suivant
\item Calculer la probabilité que parmi les testés positifs, le patient ne soit pas infecté.
\item Calculer la probabilité que parmi les testés négatif, le patient ne soit pas infecté.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}c|}
\hline
& infecté & non infecté & total \\
\hline
Test positif & & & \\
\hline
Test négatif & & & \\
\hline
total & & & 1000 \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item Mêmes questions pour le cas où 10\% de la population est infectée.
\item Mêmes questions pour le cas où 30\% de la population est infectée.
\item Que pensez-vous de ces tests?
\end{enumerate}
\includegraphics[scale=0.6, angle=90]{./fig/resultat_test}
\end{exercise}

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@ -0,0 +1,43 @@
Probabilité Conditionnelles
###########################
:date: 2023-04-19
:modified: 2023-04-19
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: Probabilité, Tests
:category: 1ST
:summary: Étude des probabilités conditionnelles par analogie avec les fréquences conditionnelles.
Éléments du programme
=====================
Contenus
---------
- Probabilité conditionnelle ; notation PA(B).
Capacités attendues
--------------------
- Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé deffectifs.
Commentaires
-------------
- On explicite lexpérience aléatoire sous-jacente qui consiste à prélever au hasard un individu dans la population étudiée.
- Il sagit, en classe de première, de transposer aux probabilités conditionnelles le travail sur les fréquences conditionnelles, en calculant la probabilité de B sachant A sous la forme: (formule de Bayes). La représentation à laide dun arbre de probabilités et la formule des probabilités totales relèvent du programme de la classe terminale.
- Des situations issues de différents domaines (économique, industriel, médical…) sont proposées. Ce travail permet notamment de donner du sens au vocabulaire des tests diagnostiques: faux positifs, faux négatifs, spécificité et sensibilité dun test.
Progression
===========
Plan de travail
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
:height: 200px
:alt: Plan de travail
Étape 1: Retour sur les fréquences
----------------------------------

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@ -0,0 +1,45 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Probabilité Conditionnelles - Plan de travail}
\tribe{1ST}
\date{avril 2023}
\pagestyle{empty}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
}
\begin{document}
\maketitle
% Résumé
\bigskip
Savoir-faire de la séquence
\begin{itemize}
\item Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé deffectifs.
\end{itemize}
\section{Évènement et notation}
\listsectionexercises
\section{Probabilité conditionnelle}
\listsectionexercises
\section{Étude de cas}
\listsectionexercises
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}