Feat(1ST): Fin des exercices sur les proba conditionnalles
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\begin{exercise}[subtitle={Mobilités}, step={1}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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On a réalisé une enquête dans un lycée où il y a \np{1200} élèves.
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\begin{enumerate}
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\item Reproduire et compléter le tableau ci-contre avec les informations suivantes.
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\begin{itemize}[leftmargin=*]
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\item 42.5\% des élèves habitent en centre-ville.
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\item 50\% des élèves utilisent les transports en commun et parmi eux, 75\% habitent en périphérie.
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\item 180 utilisent la voiture dont 30 habitent en centre-ville.
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\item 25\% des élèves viennent à pied.
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\item Parmi les cyclistes, il a trois fois plus d'élèves qui habitent en périphérie qu'en centre-ville.
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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& Centre-ville & Périphérie & Total \\
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\hline
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Voiture & & & \\
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Vélo & & & \\
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À pied & & & \\
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Autre & & & \\
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\hline
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Total & & & \np{1200} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\item Avec les notations suivantes, décrire avec une phrase puis calculer l'effectif des ensembles
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\[
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A = \left\{ \mbox{habite en centre-ville} \right\} \qquad
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B = \left\{ \mbox{utilise de vélo} \right\}
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\]
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\[
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A \cap B \qquad A \cup B \qquad \overline{A} \qquad \overline{A}\cap B \qquad \overline{ A \cup B}
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Erreur de contrôle}, step={1}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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Une entreprise fabrique en grande série des pièces. Les aléas de productions font que 5\% des pièces ont un défaut. Cette entreprise dispose d'un appareil qui contrôle la qualité des pièces. Cet appareil accepte toutes les pièces sans défauts, mais ne refuse que 80\% des pièces qui ont un défaut.
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item On considère un échantillon de \np{10000} pièces représentatif. Compléter le tableau croisé ci-contre.
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\item On note les ensembles suivants:
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\begin{itemize}
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\item $D = \left\{ \mbox{avec défaut} \right\}$
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\item $A = \left\{ \mbox{Accéptée} \right\}$
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\end{itemize}
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Écrire avec les notations ensemblistes les ensembles ci-dessous puis calculer les probabilités associées.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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& Avec défaut & Sans défaut & Total \\
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\hline
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Acceptées & & & \\
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\hline
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Refusées & & & \\
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\hline
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Total & & & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\left\{ \mbox{avec défaut et acceptée} \right\}$
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\item $\left\{ \mbox{sans défaut ou acceptée} \right\}$
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\item $\left\{ \mbox{refusée ou sans défaut} \right\}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étranges poissons}, step={2}, origin={Mon cru}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\searchMode}]
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Le tableau suivant indique les quantités de poissons d'un étang ayant certaines caractéristiques.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{4}{c|}|c|}
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\hline
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& nageoires & ailerons & pattes & total \\
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\hline
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bleu & 54 & 10 & 30 & 94 \\
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\hline
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vert & 20 & 50 & 34 & 104 \\
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\hline
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\hline
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total & 74 & 60 & 64 & 198 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On pèche un poisson au hasard dans cet étang. Calculer les quantités suivantes en utilisant les bonnes notations.
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\begin{enumerate}
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\item La probabilité que le poisson soit bleu et ait des ailerons.
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\item La probabilité que le poisson soit vert et n'ai pas de pattes.
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\item Si on ne pèche que des poissons à nageoires, la probabilité qu'il soit bleu.
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\item Si on ne pèche que des poissons bleus, la probabilité qu'il ait des pattes.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Orientation}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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On a fait une étude sur l'orientation des élèves en filière technologique et on a rassemblé les résultats dans le tableau ci-dessous
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{4}{c|}|c|}
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\hline
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& STI2D & STMG & ST2S & total \\
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\hline
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Garçon & 11 & 10 & 22 & 43 \\
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\hline
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Fille & 5 & 20 & 10 & 35 \\
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\hline
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\hline
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total & 16 & 30 & 32 & 78 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On note les ensembles suivants :
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\begin{multicols}{3}
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\begin{itemize}
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\item G = "L'élève est un garçon"
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\item F = "L'élève est une fille"
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\item D = "Élève de STI2D"
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\item M = "Élève de STMG"
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\item S = "Élève de ST2S"
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\end{itemize}
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\end{multicols}
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Calculer les quantités suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $P(G \cap S)$
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\item $P_G(S)$
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\item $P(F \cap D)$
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\item $P_D(F)$
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\item $P(G \cup M)$
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\item $P_F(M)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Impression de livres}, step={2}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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L'étude de la répartition des livres produit dans une imprimerie donne les résultats suivants
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\begin{itemize}
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\item 60\% sont des romans et un quart d'entre eux sont au format de non poche
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\item 25\% sont des essais et un cinquième d'entre eux sont au format poche
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\item le reste est constitué de livres de poésie. Et parmi ceux-là, deux tiers est au format poche.
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\end{itemize}
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\begin{enumerate}
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\item Faire un tableau croisé des effectifs si l'on suppose que l'imprimerie fabrique au total 100 livres.
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\item On choisit un livre au hasard, on note les évènements suivants
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\[
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P = \left\{ \mbox{le livre est au format poche} \right\} \qquad E = \left\{ \mbox{le livre est un essai} \right\}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité des évènements $E$ et $P$.
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\item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $E\cap P$
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\item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $\overline{E}$
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\end{enumerate}
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\item Calculer la quantité $P_E(P)$ et interpréter le résultat.
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\item Traduire en termes de probabilité la phrase "20\% des essais sont au format poche".
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Villes et voitures}, step={2}, origin={Le livre scolaire}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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Dans une ville A, 30 \% des habitants n'ont pas de voiture, contre 10 \% dans la ville B voisine et 16 \% dans la ville C. Or les habitants de A représentent 12 \% de cette agglomération, les habitants de la ville B en représentent 38 \% et ceux de C en représentent 50 \%.
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On interroge un habitant de l'agglomération au hasard. Quelle est la probabilité qu'il vienne de la ville A et qu'il n'ait pas de voiture ? Même question pour les habitants de la ville B et C.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Tests Covid}, step={3}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}]
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En 2020, on pouvait lire l'article suivant dans le monde.
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Dans la suite on note $P=$"test positif" et $I=$"patient infecté".
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\begin{enumerate}
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\item Chercher dans l'article les valeurs de la sensibilité et de la spécificité du test Covid. Puis traduire ces valeurs en terme de probabilités.
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\item On se place dans le premier cas où 1\% de la population est infecté.
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item On étudie une population de 1000 individus. Compléter le tableau suivant
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\item Calculer la probabilité que parmi les testés positifs, le patient ne soit pas infecté.
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\item Calculer la probabilité que parmi les testés négatif, le patient ne soit pas infecté.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tabular}{|*{3}{c|}c|}
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\hline
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& infecté & non infecté & total \\
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Test positif & & & \\
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Test négatif & & & \\
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\hline
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total & & & 1000 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\item Mêmes questions pour le cas où 10\% de la population est infectée.
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\item Mêmes questions pour le cas où 30\% de la population est infectée.
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\item Que pensez-vous de ces tests?
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\end{enumerate}
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\includegraphics[scale=0.6, angle=90]{./fig/resultat_test}
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\end{exercise}
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1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/fig/resultat_test.jpg
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Probabilité Conditionnelles
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:date: 2023-04-19
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:modified: 2023-04-19
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:authors: Benjamin Bertrand
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:tags: Probabilité, Tests
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:category: 1ST
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:summary: Étude des probabilités conditionnelles par analogie avec les fréquences conditionnelles.
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Éléments du programme
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Contenus
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- Probabilité conditionnelle ; notation PA(B).
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Capacités attendues
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- Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
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Commentaires
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- On explicite l’expérience aléatoire sous-jacente qui consiste à prélever au hasard un individu dans la population étudiée.
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- Il s’agit, en classe de première, de transposer aux probabilités conditionnelles le travail sur les fréquences conditionnelles, en calculant la probabilité de B sachant A sous la forme: (formule de Bayes). La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités et la formule des probabilités totales relèvent du programme de la classe terminale.
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- Des situations issues de différents domaines (économique, industriel, médical…) sont proposées. Ce travail permet notamment de donner du sens au vocabulaire des tests diagnostiques: faux positifs, faux négatifs, spécificité et sensibilité d’un test.
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Progression
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Plan de travail
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.. image:: ./plan_de_travail.pdf
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:height: 200px
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:alt: Plan de travail
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Étape 1: Retour sur les fréquences
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1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.pdf
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BIN
1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.pdf
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@ -0,0 +1,45 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Probabilité Conditionnelles - Plan de travail}
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\tribe{1ST}
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\date{avril 2023}
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\pagestyle{empty}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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% Résumé
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\bigskip
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Savoir-faire de la séquence
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\begin{itemize}
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\item Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
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\end{itemize}
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\section{Évènement et notation}
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\listsectionexercises
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\section{Probabilité conditionnelle}
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\listsectionexercises
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\section{Étude de cas}
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\listsectionexercises
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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