lafrite/2022-2023
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Bertrand Benjamin 2023-01-05 10:31:28 +01:00
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commit c4dd2866c5
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1ST/05_Fonction_derivee/1E_fonction_derivee.pdf
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23
1ST/05_Fonction_derivee/1E_fonction_derivee.tex
View File

@ -1,23 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Fonction derivé - Exercices}
\date{Janvier 2023}
\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
\xsimsetup{collect}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\vfill
\printcollection{banque}
\end{document}

309
1ST/05_Fonction_derivee/1_techniques.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,309 @@
\begin{exercise}[subtitle={Calculs de dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = - 6x - 7$
\item $g(x) = 10x + 3$
\item $h(x) = - 4x - 3$
\item $i(x) = - 10x - 7$
\item $j(x) = - 8x - 4$
\item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$
\item $l(x) = - 10x + 6$
\item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$
\item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$
\item $o(x) = 5x^{2}$
\item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$
\item $q(x) = - 2x^{2} - 4$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = - 6x - 7$
\[
f'(x) = - 6
\]
\item $g(x) = 10x + 3$
\[
g'(x) = 10
\]
\item $h(x) = - 4x - 3$
\[
h'(x) = - 4
\]
\item $i(x) = - 10x - 7$
\[
i'(x) = - 10
\]
\item $j(x) = - 8x - 4$
\[
j'(x) = - 8
\]
\item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$
\[
k'(x) = - 6x + 8
\]
\item $l(x) = - 10x + 6$
\[
l'(x) = - 10
\]
\item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$
\[
m'(x) = 20x + 5
\]
\item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$
\[
n'(x) = - 20x + 6
\]
\item $o(x) = 5x^{2}$
\[
o'(x) = 10x
\]
\item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$
\[
p'(x) = - 18x + 4
\]
\item $q(x) = - 2x^{2} - 4$
\[
q'(x) = - 4x
\]
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = - 8x + 5$
\item $g(x) = - 9x - 6$
\item $h(x) = - 2x + 8$
\item $i(x) = - 5x - 4$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f(x) = - 8x + 5$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $f'(x) = - 8$
\item Comme $- 8 < 0$ la fonction est décroissante
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
\tkzTabLine{,-,}%
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $g(x) = - 9x - 6$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $g'(x) = - 9$
\item Comme $- 9 < 0$ la fonction est décroissante
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
\tkzTabLine{,-,}%
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $h(x) = - 2x + 8$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $h'(x) = - 2$
\item Comme $- 2 < 0$ la fonction est décroissante
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
\tkzTabLine{,-,}%
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $i(x) = - 5x - 4$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $i'(x) = - 5$
\item Comme $- 5 < 0$ la fonction est décroissante
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
\tkzTabLine{,-,}%
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
\item $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
\item $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
\item $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
\item $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
\item $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $f'(x) = 6x + 10$
\item On résout l'inéquation $f'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $f'$ est positive.
\begin{align*}
f(x) & \geq 0 \\
6x + 10 & \geq 0 \\
6x + 10 + - 10 &\geq 0 + - 10 \\
6x &\geq - 10 \\
\frac{6x}{6} &\geq \frac{- 10}{6} \\
x &\geq \dfrac{- 5}{3} \\
\end{align*}
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 5}{3}$
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 5}{3}$ ,}%
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 5}{3}) = \dfrac{- 102}{9}$ , +/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $g'(x) = 8x + 2$
\item On résout l'inéquation $g'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $g'$ est positive.
\begin{align*}
g(x) & \geq 0 \\
8x + 2 & \geq 0 \\
8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
8x &\geq - 2 \\
\frac{8x}{8} &\geq \frac{- 2}{8} \\
x &\geq \dfrac{- 1}{4} \\
\end{align*}
Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 1}{4}$
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 1}{4}$ ,}%
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 1}{4}) = \dfrac{- 36}{16}$ , +/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $h'(x) = - 8x + 2$
\item On résout l'inéquation $h'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $h'$ est positive.
\begin{align*}
h(x) & \geq 0 \\
- 8x + 2 & \geq 0 \\
- 8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
- 8x &\geq - 2 \\
\frac{- 8x}{- 8} &\leq \frac{- 2}{- 8} \\
x &\leq \dfrac{1}{4} \\
\end{align*}
Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{4}$
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{4}$ ,}%
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{4}) = \dfrac{- 108}{16}$ , -/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $i'(x) = - 18x + 9$
\item On résout l'inéquation $i'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $i'$ est positive.
\begin{align*}
i(x) & \geq 0 \\
- 18x + 9 & \geq 0 \\
- 18x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
- 18x &\geq - 9 \\
\frac{- 18x}{- 18} &\leq \frac{- 9}{- 18} \\
x &\leq \dfrac{1}{2} \\
\end{align*}
Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{2}$
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{2}$ ,}%
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{- 27}{4}$ , -/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $j'(x) = - 2x + 8$
\item On résout l'inéquation $j'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $j'$ est positive.
\begin{align*}
j(x) & \geq 0 \\
- 2x + 8 & \geq 0 \\
- 2x + 8 + - 8 &\geq 0 + - 8 \\
- 2x &\geq - 8 \\
\frac{- 2x}{- 2} &\leq \frac{- 8}{- 2} \\
x &\leq 4 \\
\end{align*}
Donc $j(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $4$
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $4$ ,}%
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(4) = 20$ , -/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item Étude de la fonction $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $k'(x) = 12x + 9$
\item On résout l'inéquation $k'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $k'$ est positive.
\begin{align*}
k(x) & \geq 0 \\
12x + 9 & \geq 0 \\
12x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
12x &\geq - 9 \\
\frac{12x}{12} &\geq \frac{- 9}{12} \\
x &\geq \dfrac{- 3}{4} \\
\end{align*}
Donc $k(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 3}{4}$
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 3}{4}$ ,}%
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 3}{4}) = \dfrac{90}{16}$ , +/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{solution}

12
1ST/05_Fonction_derivee/bopytex_config.py Normal file
View File

@ -0,0 +1,12 @@
# bopytex_config.py
from mapytex.calculus.random import expression as random_expression
from mapytex import render
import random
random.seed(0) # Controlling the seed allows to make subject reproductible
render.set_render("tex")
direct_access = {
"random_expression": random_expression,
}

164
1ST/05_Fonction_derivee/exercises.tex
View File

@ -1,15 +1,21 @@
\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction derivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
Pour chacun des graphiques ci-dessous compléter les tableaux pour trouver les nombres dérivés.
\begin{enumerate}
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-x**2}
\begin{tikzpicture}[]
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$f(x)$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-x^2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
@ -34,12 +40,18 @@
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2 - 2}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$f(x)$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{3*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
@ -60,11 +72,131 @@
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item Pour les deux fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$? $f'(0,5)$?
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid = both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$f(x)$},
ytick distance=1,
legend pos = north west,
]
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{0.5*(x-1)^2-2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item Pour chacune des fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions ? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$ ? $f'(0,5)$ ?
\end{enumerate}
\pagebreak
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Utilisation de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Ci-dessous, vous trouverez des couples de fonction avec leur dérivée.
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{2cm}c}
$f(x) = 5x^3 - x^2 + 0.3x + 1$ & & $g(x) = 0.3x^5 - 3x^2 + 5x + 1$ \\
$f'(x) = 15x^2 - 2x + 0.3$ & & $g'(x) = 1.5x^4 - 6x + 5$
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse $x=2$
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=2$?
\item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $g$ au point d'abscisse $x=5$
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=5$?
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=1$?
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=4$?
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=111$?
\item Vérifier vos résultats en traçant les fonctions $f$ et $g$ sur votre calculatrice.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={1}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
\begin{exercise}[subtitle={Calcul de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\groupMode}]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
$f(x) = 2x + 1$ & $g(x) = 3$ & $h(x) = 5x + 1$ & $i(x) = x^2 + x + 1$ & $j(x) = 3x^2 - 10x - 100$\\
$f'(x) = 2$ & $g'(x) = 0$ & $h'(x) = 5$ & $i'(x) = 2x + 1$ & $j'(x) = 6x - 10$
\end{tabular}
\end{center}
En observant les couples fonctions et dérivées précédentes, déterminer les fonctions dérivées suivantes
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
$f(x) = 4$ & $g(x) = 3x+2$ & $h(x) = -7x + 19$ & $i(x) = x^2 + 3x + 9$ & $j(x) = 4x^2 - x - 100$\\
$f'(x) = ...$ & $g'(x) = ...$ & $h'(x) = ... $ & $i'(x) = ...$ & $j'(x) = ...$
\end{tabular}
\end{center}
Expliquer votre méthode pour déterminer ces dérivées.
\end{exercise}
% ------
% Fonction de degré 1
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
On définit la fonction $f(x) = 5x - 10$ dont on veut étudier les variations.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
\item Quel est le signe de $f'(x)$? Que peut-on déduire sur la croissance de $f$?
\item Recopier et compléter le tableau suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
\tkzTabLine{,,}%
\tkzTabVar{,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exercise}
% ------
% Fonction de degré 2
\begin{exercise}[subtitle={Fonction polynôme}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
On définit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 10$ dont on veut étudier les variations.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
\item Quel est le signe de $f'(x)$?
\item Recopier et compléter le tableau suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
\tkzTabLine{,,}%
\tkzTabVar{,}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exercise}
% ------
% Mise en situations
\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
Le nombre d'offre "séjour exclusif" vendues peut être modélisé par la fonction suivante $N(x) = -0.6x + 219$ où $x$ désigne le prix de vente en euro.
\begin{enumerate}
\item On se place dans le cas où le prix de vente est de 150\euro.
@ -84,7 +216,7 @@
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={1}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
\begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
Une entreprise fabrique des flacons de crème de beauté. Cette entreprise peut fabriquer jusqu'à 60 flacons par jour.
\begin{enumerate}
\item Chaque flacon est vendu 250\euro. On note $R(x)$ les recettes des ventes journalière des flacons où $x$ désigne le nombre de flacon produit. Déterminer l'expression de $R$ en fonction de $x$.

26
1ST/05_Fonction_derivee/index.rst
View File

@ -2,7 +2,7 @@ Fonction dérivée
################
:date: 2023-01-04
:modified: 2023-01-04
:modified: 2023-01-05
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: Dérivation
:category: 1ST
@ -31,13 +31,35 @@ Capacités attendues
Progression
===========
Plan de travail
---------------
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
:height: 200px
:alt: Plan de travail
Solutions
.. image:: ./solutions.pdf
:height: 200px
:alt: Solution des exercices techniques
Étape 1: Découverte de la fonction dérivée
------------------------------------------
À partir de graphique, les élèves tracent les tangentes et détermine les nombres dérivées. Ils doivent ensuite "deviner" la transformation de x vers le nombre dérivé.
À partir de graphique, les élèves tracent les tangentes et détermine les nombres dérivés. Ils doivent ensuite "deviner" la transformation de x vers le nombre dérivé.
Ensuite, ils utilisent des fonctions dérivées pour calculer les nombres dérivés et connaître la croissance des fonctions.
Enfin, en groupe, ils vont devoir chercher une méthode pour calculer des fonctions dérivées et produire un bilan.
Bilan: notion de fonction dérivée et les formules.
Exercices techniques de dérivation.
Étape 2: Calculs de fonctions dérivées
--------------------------------------

BIN
1ST/05_Fonction_derivee/plan_de_travail.pdf Normal file
View File

Binary file not shown.

21
1ST/05_Fonction_derivee/plan_de_travail.tex
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@ -1,5 +1,7 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Fonction dérivée - Plan de travail}
@ -22,22 +24,31 @@
Savoir-faire de la séquence
\begin{itemize}
\item
\item Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente
\item Calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à deux.
\item Déterminer le sens de variation d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 2.
\end{itemize}
\bigskip
Ordre des étapes à respecter
\section{}
\section{Découverte de la fonction dérivée}
\listsectionexercises
\section{Utilisation de la fonction dérivée}
\listsectionexercises
\section{Étude de variation des fonctions}
\listsectionexercises
\pagebreak
\input{exercises.tex}
\input{1_techniques.tex}
\printcollection{banque}

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1ST/05_Fonction_derivee/solutions.pdf Normal file
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1ST/05_Fonction_derivee/solutions.tex
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@ -22,6 +22,7 @@
\maketitle
\input{exercises.tex}
\input{1_techniques.tex}
%\printcollection{banque}
%\printsolutions{exercises}

182
1ST/05_Fonction_derivee/tpl_techniques.tex Normal file
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@ -0,0 +1,182 @@
\begin{exercise}[subtitle={Calculs de dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
\Block{
set fonctions = {
"f": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"g": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"h": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"i": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"j": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"k": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
"l": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"m": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
"n": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
"o": random_expression("{a}x^2", [],),
"p": random_expression("{a}x^2 + {b}x", [],),
"q": random_expression("{a}x^2 + {c}", [],),
}
}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
%- for name, f in fonctions.items()
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
%- endfor
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
%- for name, f in fonctions.items()
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
\[
\Var{name}'(x) = \Var{f.differentiate()}
\]
%- endfor
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes:
\Block{
set functions = {
"f": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"g": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"h": random_expression("{a}x + {b}", [],),
"i": random_expression("{a}x + {b}", [],),
}
}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
%- for name, f in functions.items()
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
%- endfor
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
%- for name, f in functions.items()
\item Étude de la fonction $\Var{name}(x) = \Var{f}$
%- set f1 = f.differentiate()
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $\Var{name}'(x) = \Var{f1}$
%- if f1 > 0
\item Comme $\Var{f1} > 0$ la fonction est croissante
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
\tkzTabLine{,+,}%
\tkzTabVar{-/ ,+/ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
%- elif f1 < 0
\item Comme $\Var{f1} < 0$ la fonction est décroissante
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
\tkzTabLine{,-,}%
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
%- endif
\end{itemize}
%- endfor
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes :
\Block{
set functions = {
"f": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", ["a>0"],),
"g": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", ["a>0"],),
"h": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
"i": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
"j": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
"k": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
}
}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
%- for name, f in functions.items()
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
%- endfor
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
%- for name, f in functions.items()
\item Étude de la fonction $\Var{name}(x) = \Var{f}$
%- set f1 = f.differentiate()
\begin{itemize}
\item Fonction dérivée : $\Var{name}'(x) = \Var{f1}$
%- if f1[1] > 0
\item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
%- set cst = -f1[0]
%- set coef = f1[1]
%- set racine = cst / coef
\begin{align*}
\Var{name}(x) & \geq 0 \\
\Var{f1} & \geq 0 \\
\Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
\Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
\frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
\end{align*}
Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\Var{racine.simplify()}$
%- set racine = racine.simplify()
%- set img_racine = f(racine)
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , +/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
%- elif f1[1] < 0
\item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
%- set cst = -f1[0]
%- set coef = f1[1]
%- set racine = cst / coef
\begin{align*}
\Var{name}(x) & \geq 0 \\
\Var{f1} & \geq 0 \\
\Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
\Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
\frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\leq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
x &\leq \Var{racine.simplify()} \\
\end{align*}
Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\Var{racine.simplify()}$
%- set racine = racine.simplify()
%- set img_racine = f(racine)
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , -/}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
%- endif
\end{itemize}
%- endfor
\end{enumerate}
\end{solution}