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% Title Page
\titre{DM5}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{02 mars 2015}
%\duree{1 heure}
\sujet{1}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DM}

\printanswers

\begin{document}

\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.

\begin{questions}

    \question
    Résoudre les équations suivantes
    
    
    \begin{eqnarray*}
        6 x^{  2 } + 7 x + 7 & > &0 \\
    \end{eqnarray*}

    \begin{solution}
        On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{  2 } + 7 x + 7$.
        \begin{eqnarray*}
            \Delta & = & b^2-4ac \\
            \Delta & = & 7^{  2 } - 4 \times 6 \times 7 \\ 
\Delta & = & 49 - 4 \times 42 \\ 
\Delta & = & 49 - 168 \\ 
\Delta & = & -119
        \end{eqnarray*}

        
        Alors $\Delta = -119 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine.

        
        Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $P$
            %\begin{center}
            %    \begin{tikzpicture}
            %        \tkzTabInit[espcl=2]%
            %        {$x$/1, $P$/2}%
            %        {$-\infty$, $+\infty$}
            %        \tkzTabLine{, +,}
            %    \end{tikzpicture}
            %\end{center}
        On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
        \end{solution}

        \begin{eqnarray*}
            - 6 x^{  2 } + 10 x + 1 & \leq &0  \\
        \end{eqnarray*}
    \begin{solution}
        On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 6 x^{  2 } + 10 x + 1$.
        \begin{eqnarray*}
            \Delta & = & b^2-4ac \\
            \Delta & = & 10^{  2 } - 4 -6 \times 1 \\ 
\Delta & = & 100 - 4 \times ( -6 ) \\ 
\Delta & = & 100 - ( -24 ) \\ 
\Delta & = & 124
        \end{eqnarray*}

        
            comme $\Delta = 124 > 0$ donc $Q$ a deux racines

            \begin{eqnarray*}
                x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{10 - \sqrt{124}}{2 \times -6} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} \\
                x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{10 + \sqrt{124}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6}
            \end{eqnarray*}


        
        Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
            %\begin{center}
            %    \begin{tikzpicture}
            %        \tkzTabInit[espcl=2]%
            %        {$x$/1, $Q$/2}%
            %        {$-\infty$, - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6} , \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} , $+\infty$}
            %        \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
            %    \end{tikzpicture}
            %\end{center}
        On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
        \end{solution}

        \begin{eqnarray*}
            6 x^{  2 } + 7 x + 7 & \geq & - 6 x^{  2 } + 10 x + 1 
        \end{eqnarray*}

        

        \begin{solution}
            On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$.
        \begin{eqnarray*}
            6 x^{  2 } + 7 x + 7 \geq - 6 x^{  2 } + 10 x + 1 & \Leftrightarrow & 6 x^{  2 } + 7 x + 7 - (- 6 x^{  2 } + 10 x + 1) \geq 0 \\
             & \Leftrightarrow & 6 x^{  2 } + 7 x + 7 - ( - 6 x^{  2 } + 10 x + 1 )\geq 0 \\ 
 & \Leftrightarrow & 6 x^{  2 } + 7 x + 7 + 6 x^{  2 } - 10 x - 1\geq 0 \\ 
 & \Leftrightarrow & ( 6 + 6 ) x^{  2 } + ( 7 - 10 ) x + 7 - 1\geq 0 \\ 
 & \Leftrightarrow & 12 x^{  2 } - 3 x + 6\geq 0
        \end{eqnarray*}

        

        Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 12 x^{  2 } - 3 x + 6$.
        \begin{eqnarray*}
            \Delta & = & b^2-4ac \\
            \Delta & = & -3^{  2 } - 4 \times 12 \times 6 \\ 
\Delta & = & 9 - 4 \times 72 \\ 
\Delta & = & 9 - 288 \\ 
\Delta & = & -279
        \end{eqnarray*}

        
            Alors $\Delta = -279 < 0$ donc $R$ n'a pas de racine.

        
        Comme $a = 12$, on en déduit le tableau de signe de $R$
            %\begin{center}
            %    \begin{tikzpicture}
            %        \tkzTabInit[espcl=2]%
            %        {$x$/1, $R$/2}%
            %        {$-\infty$, $+\infty$}
            %        \tkzTabLine{, +,}
            %    \end{tikzpicture}
            %\end{center}
        On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
            

        \end{solution}


    \question
    Tracer le tableau de variation des fonctions suivantes \textit{(Vous pouvez utiliser les nombres à virgules)}
    
    
    \begin{parts}
        \part $f:x\mapsto - 2 x^{  3 } - 4 x^{  2 } + x + 8$
        \begin{solution}
            Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
            
            \begin{eqnarray*}
                f'(x) & = & 3 \times ( -2 ) x^{  2 } + 2 \times ( -4 ) x + 1 \times 1 \\ 
f'(x) & = & - 6 x^{  2 } - 8 x + 1
            \end{eqnarray*}
            
            On étudie le signe de $P'$
            
            Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 6 x^{  2 } - 8 x + 1$.
        \begin{eqnarray*}
            \Delta & = & b^2-4ac \\
            \Delta & = & -8^{  2 } - 4 -6 \times 1 \\ 
\Delta & = & 64 - 4 \times ( -6 ) \\ 
\Delta & = & 64 - ( -24 ) \\ 
\Delta & = & 88
        \end{eqnarray*}

        
            comme $\Delta = 88 > 0$ donc $f'$ a deux racines

            \begin{eqnarray*}
                x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-8 - \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} \\
                x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-8 + \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3}
            \end{eqnarray*}


        
        Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $f'$
            %\begin{center}
            %    \begin{tikzpicture}
            %        \tkzTabInit[espcl=2]%
            %        {$x$/1, Signe de $f' $/2}%
            %        {$-\infty$, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} , - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3} , $+\infty$}
            %        \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
            %    \end{tikzpicture}
            %\end{center}

        \end{solution}

        
        
        \part $g:x\mapsto - 10 x^{  3 } - 6 x^{  2 } + 8 x + 7$

        \begin{solution}
            Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
            
            \begin{eqnarray*}
                g'(x) & = & 3 \times ( -10 ) x^{  2 } + 2 \times ( -6 ) x + 1 \times 8 \\ 
g'(x) & = & - 30 x^{  2 } - 12 x + 8
            \end{eqnarray*}
            
            On étudie le signe de $P'$
            
            Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 30 x^{  2 } - 12 x + 8$.
        \begin{eqnarray*}
            \Delta & = & b^2-4ac \\
            \Delta & = & -12^{  2 } - 4 -30 \times 8 \\ 
\Delta & = & 144 - 4 \times ( -240 ) \\ 
\Delta & = & 144 - ( -960 ) \\ 
\Delta & = & 1104
        \end{eqnarray*}

        
            comme $\Delta = 1104 > 0$ donc $g'$ a deux racines

            \begin{eqnarray*}
                x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-12 - \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} \\
                x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-12 + \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5}
            \end{eqnarray*}


        
        Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $g'$
            %\begin{center}
            %    \begin{tikzpicture}
            %        \tkzTabInit[espcl=2]%
            %        {$x$/1, Signe de $g' $/2}%
            %        {$-\infty$, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} , - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5} , $+\infty$}
            %        \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
            %    \end{tikzpicture}
            %\end{center}

        \end{solution}

        
        \part $h:x\mapsto - 7 x^{  2 } - 5 x - 5 - f(x)$

        
        

        \begin{solution}
            On commence par simplifier l'expression de $h$
            \begin{eqnarray*}
                h(x) & = & - 7 x^{  2 } - 5 x - 5 - f(x) \\
                h(x) & = & - 7 x^{  2 } - 5 x - 5 - ( - 2 x^{  3 } - 4 x^{  2 } + x + 8 ) \\ 
h(x) & = & - 7 x^{  2 } - 5 x - 5 + 2 x^{  3 } + 4 x^{  2 } - x - 8 \\ 
h(x) & = & 2 x^{  3 } + ( -7 + 4 ) x^{  2 } + ( -5 - 1 ) x - 5 - 8 \\ 
h(x) & = & 2 x^{  3 } - 3 x^{  2 } - 6 x - 13
            \end{eqnarray*}
            
        
            Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
            
            \begin{eqnarray*}
                h'(x) & = & 3 \times 2 x^{  2 } + 2 \times ( -3 ) x + 1 \times ( -6 ) \\ 
h'(x) & = & 6 x^{  2 } - 6 x - 6
            \end{eqnarray*}
            
            On étudie le signe de $P'$
            
            Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 6 x^{  2 } - 6 x - 6$.
        \begin{eqnarray*}
            \Delta & = & b^2-4ac \\
            \Delta & = & -6^{  2 } - 4 \times 6 \times ( -6 ) \\ 
\Delta & = & 36 - 4 \times ( -36 ) \\ 
\Delta & = & 36 - ( -144 ) \\ 
\Delta & = & 180
        \end{eqnarray*}

        
            comme $\Delta = 180 > 0$ donc $h'$ a deux racines

            \begin{eqnarray*}
                x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-6 - \sqrt{180}}{2 \times 6} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \\
                x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-6 + \sqrt{180}}{2 \times 6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
            \end{eqnarray*}


        
        Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $h'$
            %\begin{center}
            %    \begin{tikzpicture}
            %        \tkzTabInit[espcl=2]%
            %        {$x$/1, Signe de $h' $/2}%
            %        {$-\infty$, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} , \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} , $+\infty$}
            %        \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
            %    \end{tikzpicture}
            %\end{center}

        \end{solution}
    \end{parts}

    \question
    Appliquer l'algorithme de tri vu en cours à la suite suivante
    \begin{center}
    \begin{tabular}{|*{6}{c|}}
        \hline
        6914 & 6851 & 6532 & 6884 & 6164 & 6495 \\
        \hline
    \end{tabular}
        
    \end{center}


\end{questions}
    
\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: