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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM5}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{02 mars 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{1}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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Résoudre les équations suivantes
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\begin{eqnarray*}
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6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & > &0 \\
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\end{eqnarray*}
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\begin{solution}
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On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{ 2 } + 7 x + 7$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & 7^{ 2 } - 4 \times 6 \times 7 \\
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\Delta & = & 49 - 4 \times 42 \\
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\Delta & = & 49 - 168 \\
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\Delta & = & -119
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\end{eqnarray*}
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Alors $\Delta = -119 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine.
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|
Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $P$
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%\begin{center}
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% \begin{tikzpicture}
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% \tkzTabInit[espcl=2]%
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% {$x$/1, $P$/2}%
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% {$-\infty$, $+\infty$}
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% \tkzTabLine{, +,}
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% \end{tikzpicture}
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%\end{center}
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|
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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\end{solution}
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\begin{eqnarray*}
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- 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \leq &0 \\
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\end{eqnarray*}
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\begin{solution}
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On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & 10^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\
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\Delta & = & 100 - 4 \times ( -6 ) \\
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|
\Delta & = & 100 - ( -24 ) \\
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\Delta & = & 124
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\end{eqnarray*}
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comme $\Delta = 124 > 0$ donc $Q$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{124}}{2 \times -6} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} \\
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|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{124}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6}
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|
\end{eqnarray*}
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|
Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
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%\begin{center}
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% \begin{tikzpicture}
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% \tkzTabInit[espcl=2]%
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|
% {$x$/1, $Q$/2}%
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|
% {$-\infty$, - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6} , \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} , $+\infty$}
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|
% \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
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|
% \end{tikzpicture}
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%\end{center}
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|
On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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\end{solution}
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\begin{eqnarray*}
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|
6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & \geq & - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1
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\end{eqnarray*}
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\begin{solution}
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On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$.
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\begin{eqnarray*}
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6 x^{ 2 } + 7 x + 7 \geq - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - (- 6 x^{ 2 } + 10 x + 1) \geq 0 \\
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|
& \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - ( - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 )\geq 0 \\
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|
& \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 + 6 x^{ 2 } - 10 x - 1\geq 0 \\
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|
& \Leftrightarrow & ( 6 + 6 ) x^{ 2 } + ( 7 - 10 ) x + 7 - 1\geq 0 \\
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|
& \Leftrightarrow & 12 x^{ 2 } - 3 x + 6\geq 0
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\end{eqnarray*}
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|
Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 12 x^{ 2 } - 3 x + 6$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & -3^{ 2 } - 4 \times 12 \times 6 \\
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\Delta & = & 9 - 4 \times 72 \\
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\Delta & = & 9 - 288 \\
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|
\Delta & = & -279
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\end{eqnarray*}
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|
Alors $\Delta = -279 < 0$ donc $R$ n'a pas de racine.
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Comme $a = 12$, on en déduit le tableau de signe de $R$
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%\begin{center}
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% \begin{tikzpicture}
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% \tkzTabInit[espcl=2]%
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|
% {$x$/1, $R$/2}%
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|
% {$-\infty$, $+\infty$}
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|
% \tkzTabLine{, +,}
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|
% \end{tikzpicture}
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|
%\end{center}
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|
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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\end{solution}
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|
\question
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Tracer le tableau de variation des fonctions suivantes \textit{(Vous pouvez utiliser les nombres à virgules)}
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\begin{parts}
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\part $f:x\mapsto - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8$
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\begin{solution}
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|
Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
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\begin{eqnarray*}
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|
f'(x) & = & 3 \times ( -2 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -4 ) x + 1 \times 1 \\
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|
f'(x) & = & - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1
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|
\end{eqnarray*}
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|
On étudie le signe de $P'$
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Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & -8^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\
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|
\Delta & = & 64 - 4 \times ( -6 ) \\
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\Delta & = & 64 - ( -24 ) \\
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\Delta & = & 88
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\end{eqnarray*}
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comme $\Delta = 88 > 0$ donc $f'$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} \\
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|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3}
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|
\end{eqnarray*}
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|
Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $f'$
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%\begin{center}
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% \begin{tikzpicture}
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% \tkzTabInit[espcl=2]%
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|
% {$x$/1, Signe de $f' $/2}%
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|
% {$-\infty$, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} , - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3} , $+\infty$}
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|
% \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
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|
% \end{tikzpicture}
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%\end{center}
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|
\end{solution}
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\part $g:x\mapsto - 10 x^{ 3 } - 6 x^{ 2 } + 8 x + 7$
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\begin{solution}
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|
Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
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\begin{eqnarray*}
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|
g'(x) & = & 3 \times ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -6 ) x + 1 \times 8 \\
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|
g'(x) & = & - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8
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\end{eqnarray*}
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|
On étudie le signe de $P'$
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Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8$.
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\begin{eqnarray*}
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|
\Delta & = & b^2-4ac \\
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|
\Delta & = & -12^{ 2 } - 4 -30 \times 8 \\
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\Delta & = & 144 - 4 \times ( -240 ) \\
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\Delta & = & 144 - ( -960 ) \\
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\Delta & = & 1104
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\end{eqnarray*}
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comme $\Delta = 1104 > 0$ donc $g'$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} \\
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5}
|
|
\end{eqnarray*}
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Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $g'$
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|
%\begin{center}
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% \begin{tikzpicture}
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% \tkzTabInit[espcl=2]%
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|
% {$x$/1, Signe de $g' $/2}%
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|
% {$-\infty$, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} , - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5} , $+\infty$}
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|
% \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
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|
% \end{tikzpicture}
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|
%\end{center}
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|
\end{solution}
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\part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x)$
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\begin{solution}
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On commence par simplifier l'expression de $h$
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\begin{eqnarray*}
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h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x) \\
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h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - ( - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8 ) \\
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h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 + 2 x^{ 3 } + 4 x^{ 2 } - x - 8 \\
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h(x) & = & 2 x^{ 3 } + ( -7 + 4 ) x^{ 2 } + ( -5 - 1 ) x - 5 - 8 \\
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h(x) & = & 2 x^{ 3 } - 3 x^{ 2 } - 6 x - 13
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\end{eqnarray*}
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Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
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\begin{eqnarray*}
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h'(x) & = & 3 \times 2 x^{ 2 } + 2 \times ( -3 ) x + 1 \times ( -6 ) \\
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|
h'(x) & = & 6 x^{ 2 } - 6 x - 6
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\end{eqnarray*}
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|
On étudie le signe de $P'$
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Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 6 x^{ 2 } - 6 x - 6$.
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\begin{eqnarray*}
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|
\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & -6^{ 2 } - 4 \times 6 \times ( -6 ) \\
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\Delta & = & 36 - 4 \times ( -36 ) \\
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\Delta & = & 36 - ( -144 ) \\
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\Delta & = & 180
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\end{eqnarray*}
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|
comme $\Delta = 180 > 0$ donc $h'$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{180}}{2 \times 6} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \\
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|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{180}}{2 \times 6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
|
|
\end{eqnarray*}
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Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $h'$
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%\begin{center}
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% \begin{tikzpicture}
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|
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
|
% {$x$/1, Signe de $h' $/2}%
|
|
% {$-\infty$, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} , \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} , $+\infty$}
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|
% \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
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|
% \end{tikzpicture}
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|
%\end{center}
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\end{solution}
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|
\end{parts}
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\question
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Appliquer l'algorithme de tri vu en cours à la suite suivante
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{6}{c|}}
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\hline
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|
6914 & 6851 & 6532 & 6884 & 6164 & 6495 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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|
\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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