Cours/2025-2026
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feat(2nd): seq sur racine carré et géométrie
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Géométrie et racine carré - Cours}
\date{décembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Racine carré}
\afaire{Compléter les pointillés}
\begin{definition}[$\sqrt{a}$ ]
Soit $a$ un nombre positif ou nul.
\begin{center}
La \textbf{racine carré} de $a$ noté $\sqrt{a}$ est le nombre positif tel que $\sqrt{a}^2 = a$
\end{center}
\end{definition}
\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
\item Les nombres dont le carré vaut 81 est $\ldots$ et $\ldots$. Donc $\sqrt{81} = \ldots$.
\item $\sqrt{2}$ n'a pas d'écriture décimale. On peut avoir:
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{itemize}
\item Un encadrement \hspace{2cm} $\ldots < \sqrt{2} < \ldots$
\item Une valeur approchée \hspace{2cm} $\sqrt{2} \approx \ldots$
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/encadrement}
\end{minipage}
\end{itemize}
\begin{propriete}[Règles de calculs]
Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs alors
\begin{multicols}{3}
$$\sqrt{a\times b} = \ldots$$
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \ldots $$
$$\sqrt{a^2} = \ldots $$
\end{multicols}
\medskip
\end{propriete}
\paragraph{Remarque}: Ces propriétés permettent de simplifier des expressions avec des racines
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{20} = \ldots$
\item $\sqrt{\frac{5}{9}} = \ldots$
\item $\sqrt{12} + \sqrt{27} = \ldots$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\bigskip
\begin{multicols}{2}
\begin{propriete}[Solution de $x^2 = a$]
Soit $a$ un nombre positif ou nul.
Alors l'équation $x^2 = a$ a exactement 2 solutions:
$$\sqrt{a} \qquad \mbox{ et } \qquad -\sqrt{a}$$
\end{propriete}
\columnbreak
\begin{propriete}[Longueur du côté d'un carré]
Si l'aire d'un carré est égale à $a$ alors sont côté est $\sqrt{a}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% carré avec à l'intérieur aire = a et sur un coté racine de a
\draw [fill=grey!20](0,0) rectangle (2,2);
\node at (1,1) {aire = $a$};
\draw (0,0) -- ++(0,2) node[midway,left] {$\sqrt{a}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{propriete}
\end{multicols}
\end{document}

BIN
2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/2B_geometrie.pdf Normal file
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162
2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/2B_geometrie.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,162 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Géométrie et racine carrée - Cours}
\date{décembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\afaire{compléter les pointillés}
\setcounter{section}{1}
\section{Géométrie}
\subsection*{Aire et périmètres}
\begin{propriete}[Formules du carré]
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
On note $C$ le côté d'un carré, $P$ son périmètre et $A$ son aire
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|p{5cm}|}
\hline
Description & Formule \\
\hline
Périmètre en fonction du côté & $\ldots$\\
\hline
Côté en fonction du périmètre & $\ldots$\\
\hline
Aire en fonction du côté & $\ldots$\\
\hline
Côté en fonction de l'aire & $\ldots$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[thick] (0,0) rectangle (3,3);
\draw (1.5,1.5) node {Aire = $A$};
\draw[<->] (0,-0.5) -- (3,-0.5) node[midway, below] {Côté = $C$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{propriete}
\begin{propriete}[Formules du disque]
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
On note $R$ le rayon d'un disque, $P$ son périmètre et $A$ son aire
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|p{5cm}|}
\hline
Description & Formule \\
\hline
Périmètre en fonction du rayon & $\ldots$\\
\hline
Rayon en fonction du périmètre & $\ldots$\\
\hline
Aire en fonction du rayon & $\ldots$\\
\hline
Rayon en fonction de l'aire & $\ldots$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[thick] (0,0) circle (1.5);
\draw (0,0) node [below]{Aire = $A$};
\draw[<->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway, above] {$R$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{propriete}
\subsection*{Théorème de Géométrie}
\begin{propriete}[Théorème de Pythagore]
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
\vspace{0.5cm}
Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors
\begin{center}
$\ldots$
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (0,2.5);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) rectangle (0.3,0.3);
\draw (A) node[below left] {$A$};
\draw (B) node[below right] {$B$};
\draw (C) node[above left] {$C$};
\draw (1.5,0) node[below] {$c$};
\draw (0,1.25) node[left] {$b$};
\draw (1.5,1.5) node[above right] {$a$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{propriete}
\begin{propriete}[Formules de trigonométrie]
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
Dans un triangle rectangle, on définit pour un angle aigu :
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
\item Le \textbf{cosinus} : $\cos(\widehat{ABC}) = \ldots$
\vspace{0.3cm}
\item Le \textbf{sinus} : $\sin(\widehat{ABC}) = \ldots$
\vspace{0.3cm}
\item La \textbf{tangente} : $\tan(\widehat{ABC}) = \ldots$
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (0,2.5);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) rectangle (0.3,0.3);
\draw (A) node[below left] {$A$};
\draw (B) node[below right] {$B$};
\draw (C) node[above left] {$C$};
\draw (1.5,0) node[below] {adjacent};
\draw (0,1.25) node[left] {opposé};
\draw (1.8,1.5) node[above right] {hypoténuse};
\draw[->] (2.5,0) arc (180:135:0.5);
\draw (2.2,0.3) node[above left] {$\widehat{ABC}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{propriete}
\end{document}

BIN
2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/3B_projete_orthogonal.pdf Normal file
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90
2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/3B_projete_orthogonal.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,90 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{tkz-euclide}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Produit Scalaire - projeté orthogonal - Cours}
\date{novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{2}
\section{Projeté orthogonal}
\begin{definition}[Projeté orthogonal]
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Soit une droite $(d)$ et un point $M$.
Le \textbf{projeté orthogonal} de $M$ sur $(d)$ est le point $H$ de la droite $(d)$ tel que $(MH)$ est perpendiculaire à $(d)$.
\bigskip
On dit aussi que $H$ est le pied de la hauteur issue de $M$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,rotate=15]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(5,0){B}
\tkzDefPoint(3,3){M}
\tkzDefPointBy[projection=onto A--B](M) \tkzGetPoint{H}
\tkzDrawLine[add=0.2 and 0.2](A,B)
\tkzDrawSegment[dashed](M,H)
\tkzMarkRightAngle[size=0.3](M,H,B)
\tkzDrawPoints(M,H)
\tkzLabelPoint[above](M){$M$}
\tkzLabelPoint[below](H){$H$}
\tkzLabelLine[below, pos=0.1](A,B){$(d)$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{definition}
\paragraph{Exemples}~
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Placer le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,1){B}
\tkzDefPoint(2,3){M}
\tkzDrawLine[add=0.3 and 0.3](A,B)
\tkzDrawPoints(A,B,M)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](M){$M$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Placer le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(4,0){B}
\tkzDefPoint(3,2.5){C}
\tkzDrawLine[add=0.3 and 0.3](A,B)
\tkzDrawSegments(A,C B,C)
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
\tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
\tkzLabelPoint[above](C){$C$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\afaire{Placer les projetés orthogonaux}
\end{document}

589
2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/exercises.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,589 @@
\begin{exercise}[subtitle={Aire et périmètre d'un carré}, step={1}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
Répondre aux questions suivantes, illustrer vos réponses d'un croquis.
Calculatrice interdite.
\begin{enumerate}
\item Le périmètre d'un carré est de 100cm. Quel est son côté?
\item L'aire d'un carré est de $144cm^2$. Quel est son côté?
\item L'aire d'un rectangle est de $12cm^2$. Quelle est sa longueur?
\item L'aire d'un carré est de $6.25cm^2$. Quel est son côté?
\item L'aire d'un carré est de $2cm^2$. Quel est son côté?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Valeur approchée de $\sqrt{2}$}, step={1}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
A l'aide de la calculatrice mais sans utiliser la touche $\sqrt{\cdots}$, répondre aux questions suivantes
\begin{enumerate}
\item Est-il vrai que $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$?
\item Trouver un encadrement au millième de $\sqrt{2}$.
\item Comment pourrait-on faire pour trouver toutes les décimales de $\sqrt{2}$?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Valeur exacte de $\sqrt{20}$}, step={1}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\paperMode}]
On veut expliquer pourquoi quand on tape $\sqrt{20}$ à la calculatrice, on obtient
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/racine_20}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'aire d'un carré de côté $\sqrt{20}$? Faire un croquis de ce carré en indiquant les longueurs.
\item Quel est l'aire d'un carré de côté $2\sqrt{5}$? Faire un croquis de ce carré en indiquant les longueurs.
\item Que peut-on dire de ces deux carrés? Que peut-on en déduire?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Manipulation des racines}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{2}$.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{8}$
\item $\sqrt{18}$
\item $\sqrt{162}$
\item $\sqrt{50}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ deux entiers positifs les plus petits possibles.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{32}$
\item $\sqrt{75}$
\item $\sqrt{99}$
\item $\sqrt{27}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ deux entiers positifs les plus petits possibles.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{72} + \sqrt{18}$
\item $\sqrt{27} + \sqrt{108}$
\item $4\sqrt{80} + 3\sqrt{125}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item On cherche à factoriser sous le radical pour faire apparaître $\sqrt{2}$.
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
\item $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
\item $\sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
\item $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
\end{enumerate}
\item On factorise par le plus grand carré parfait possible.
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
\item $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
\item $\sqrt{99} = \sqrt{9 \times 11} = 3\sqrt{11}$
\item $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
\end{enumerate}
\item On simplifie chaque terme puis on regroupe.
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{72} + \sqrt{18} = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{9 \times 2} = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
\item $\sqrt{27} + \sqrt{108} = \sqrt{9 \times 3} + \sqrt{36 \times 3} = 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
\item $4\sqrt{80} + 3\sqrt{125} = 4\sqrt{16 \times 5} + 3\sqrt{25 \times 5} = 4 \times 4\sqrt{5} + 3 \times 5\sqrt{5} = 16\sqrt{5} + 15\sqrt{5} = 31\sqrt{5}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Triangle rectange}, step={2}, origin={Magnard 2nd 26p123}, topics={ Démonstration Géométrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }, mode={\trainMode}]
Dans un triangle $ABC$, on a : $AB = 9$, $BC = 12$ et $AC = 15$.
\begin{enumerate}
\item Faire un croquis de la situation.
\item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
\item Calculer le périmètre puis l'aire du triangle.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Croquis du triangle $ABC$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (9,0);
\coordinate (C) at (9,12);
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$AB = 9$ cm};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right] {$BC = 12$ cm};
\draw[thick] (C) -- (A) node[midway, above left] {$AC = 15$ cm};
\draw (B) rectangle +(-0.5,0.5);
\fill (A) circle (3pt) node[below left] {$A$};
\fill (B) circle (3pt) node[below right] {$B$};
\fill (C) circle (3pt) node[above right] {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item On compare $AC^2$ et $AB^2 + BC^2$ :
\begin{itemize}
\item $AC^2 = 15^2 = 225$
\item $AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
\end{itemize}
Donc $AC^2 = AB^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
\item Le périmètre est : $\mathcal{P} = AB + BC + AC = 9 + 12 + 15 = 36$ cm.
L'aire est : $\mathcal{A} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{9 \times 12}{2} = \dfrac{108}{2} = 54$ cm$^2$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Carré inscrit}, step={2}, origin={Magnard 2nd 47p 124}, topics={ Démonstration Géométrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }, mode={\trainMode}]
On considère un carré $ABCD$ de centre $0$ et de côté $4cm$ et un disque de centre $0$ passant par les quatre sommets du carré.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Faire un croquis de la situation.
\item Calculer l'aire du carré.
\item Calculer le rayon du disque.
\item Calculer l'aire du disque.
\item En déduire la proportion de l'aire du disque qui n'est pas dans le carré.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Croquis d'un carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté 4 cm inscrit dans un disque :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (1.414,1.414);
\coordinate (B) at (-1.414,1.414);
\coordinate (C) at (-1.414,-1.414);
\coordinate (D) at (1.414,-1.414);
\draw[thick] (O) circle (2);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw[dashed] (A) -- (C);
\draw[dashed] (B) -- (D);
\draw (A) -- (B) node[midway, above] {$4$ cm};
\fill (O) circle (2pt) node[below right] {$O$};
\fill (A) circle (2pt) node[above right] {$A$};
\fill (B) circle (2pt) node[above left] {$B$};
\fill (C) circle (2pt) node[below left] {$C$};
\fill (D) circle (2pt) node[below right] {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item L'aire du carré est : $\mathcal{A}_{carré} = 4^2 = 16$ cm$^2$.
\item Le rayon du disque est la distance $OA$. Dans le triangle rectangle $OAB$ (rectangle en $O$ car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires), on a $OA = OB$ et $AB = 4$ cm.
D'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = OA^2 + OB^2 = 2 \times OA^2$
Donc $OA^2 = \dfrac{AB^2}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$, ainsi $OA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ cm.
Le rayon du disque est $r = 2\sqrt{2}$ cm.
\item L'aire du disque est : $\mathcal{A}_{disque} = \pi r^2 = \pi \times (2\sqrt{2})^2 = \pi \times 8 = 8\pi$ cm$^2$.
\item L'aire du disque qui n'est pas dans le carré est : $8\pi - 16$ cm$^2$.
La proportion est : $\dfrac{8\pi - 16}{8\pi} = \dfrac{8(\pi - 2)}{8\pi} = \dfrac{\pi - 2}{\pi} \approx 0,36$ soit environ 36\%.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Point mystère}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
$ABCD$ est un rectangle tel que $AB = 4cm$ et $BC = 6cm$. On place la point $E$ au milieu du segment $[AB]$ et $M$ est un point du segment $[BC]$
\begin{enumerate}
\item Faire un croquis de la situation.
\item Est-il possible que le triangle $EDM$ soit isocèle en $D$? Si oui, à quelle distance du point $C$ le point $M$ doit-il se trouver? Sinon pourquoi?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={DVD}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
Un DVD a la forme d'un disque de diamètre 12 cm avec un trou au centre.
Quelle est l'aire du DVD ?
NB : le trou au centre ne fait pas partie du DVD
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.2\textwidth}
\includegraphics[scale=0.07]{./fig/dvd}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
Le DVD est constitué d'un grand disque de diamètre 12 cm auquel on retire un petit disque central.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw[thick, fill=gray!20] (0,0) circle (3);
\draw[thick, fill=white] (0,0) circle (0.75);
\draw[<->] (0,0) -- (3,0) node[midway, above] {$R = 6$ cm};
\draw[<->] (0,0) -- (0.53,0.53) node[midway, above left] {$r = 1,5$ cm};
\fill (0,0) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
D'après la figure, le rayon du grand disque est $R = 6$ cm et le rayon du trou est $r = 1,5$ cm.
L'aire du DVD est :
\begin{align*}
\mathcal{A}_{DVD} &= \mathcal{A}_{grand} - \mathcal{A}_{trou} \\
&= \pi R^2 - \pi r^2 \\
&= \pi \times 6^2 - \pi \times 1,5^2 \\
&= 36\pi - 2,25\pi \\
&= 33,75\pi \text{ cm}^2 \\
&\approx 106 \text{ cm}^2
\end{align*}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Terrain de sport}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
Un terrain de sport est constitué de deux demi-disques et d'un rectangle.
La piste qui fait le tour du terrain est constitué de deux demi-cercles et de deux lignes droites de longueur de 80 m chacune.
La longueur totale de la piste est de 400 m.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la largeur du terrain de sport, c'est-à-dire la distance entre les deux lignes droites de la piste.
\item Déterminer l'aire du terrain de sport.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.15\textwidth}
\includegraphics[scale=0.15, angle=90]{./fig/terrain}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Notons $r$ le rayon des demi-cercles (qui correspond à la largeur du terrain).
Le périmètre de la piste est : $2 \times 80 + 2 \times \pi r = 400$
Donc $160 + 2\pi r = 400$, ainsi $2\pi r = 240$ et $r = \dfrac{240}{2\pi} = \dfrac{120}{\pi}$ m.
La largeur du terrain est $\dfrac{120}{\pi} \approx 38,2$ m.
\item L'aire du terrain est composée d'un rectangle de dimensions $80 \times \dfrac{120}{\pi}$ et de deux demi-disques de rayon $\dfrac{120}{\pi}$ (soit un disque complet).
\begin{align*}
\mathcal{A}_{terrain} &= 80 \times \dfrac{120}{\pi} + \pi \times \left(\dfrac{120}{\pi}\right)^2 \\
&= \dfrac{9600}{\pi} + \pi \times \dfrac{14400}{\pi^2} \\
&= \dfrac{9600}{\pi} + \dfrac{14400}{\pi} \\
&= \dfrac{24000}{\pi} \text{ m}^2 \\
&\approx 7639 \text{ m}^2
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Pavé droit}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
$ABCDEFGH$ est un pavé droit tel que $AB = 7 cm$, $BC = 6 cm$ et $AE = 4 cm$.
Quelle est la longueur de la diagonale $[AG]$ ?
Indication : on pourra appliquer le théorème de Pythagore dans les triangles $ABC$ et $ACG$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/pave}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
% Base du pavé
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3.5,0);
\coordinate (C) at (3.5,3);
\coordinate (D) at (0,3);
% Sommet du pavé
\coordinate (E) at (0.8,2);
\coordinate (F) at (4.3,2);
\coordinate (G) at (4.3,5);
\coordinate (H) at (0.8,5);
% Arêtes cachées
\draw[dashed] (A) -- (D);
\draw[dashed] (D) -- (C);
\draw[dashed] (D) -- (H);
% Arêtes visibles
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$7$ cm};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right] {$6$ cm};
\draw[thick] (A) -- (E) node[midway, left] {$4$ cm};
\draw[thick] (E) -- (F);
\draw[thick] (F) -- (G);
\draw[thick] (G) -- (H);
\draw[thick] (H) -- (E);
\draw[thick] (B) -- (F);
\draw[thick] (C) -- (G);
% Diagonale
\draw[very thick, red] (A) -- (G);
% Points
\fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
\fill (B) circle (2pt) node[below right] {$B$};
\fill (C) circle (2pt) node[right] {$C$};
\fill (G) circle (2pt) node[above right] {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On applique le théorème de Pythagore deux fois.
\textbf{Étape 1 :} Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
\begin{align*}
AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\
&= 7^2 + 6^2 \\
&= 49 + 36 \\
&= 85
\end{align*}
Donc $AC = \sqrt{85}$ cm.
\textbf{Étape 2 :} Dans le triangle $ACG$ rectangle en $C$ (car $ABCDEFGH$ est un pavé droit) :
\begin{align*}
AG^2 &= AC^2 + CG^2 \\
&= 85 + 4^2 \\
&= 85 + 16 \\
&= 101
\end{align*}
Donc $AG = \sqrt{101}$ cm $\approx 10,05$ cm.
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Terrain de sport}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
$ABCDE$ est une pyramide à base rectangulaire tel que
$$AD = 6 cm \qquad AB =7 cm \qquad AE = BE = CE = DE = 10 cm$$
$F$ est le centre du rectangle $ABCD$.
Quelle est la longueur de la hauteur $[FE]$ ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\includegraphics[scale=0.25]{./fig/pyramide}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
% Base de la pyramide
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3.5,0);
\coordinate (C) at (3.5,3);
\coordinate (D) at (0,3);
\coordinate (F) at (1.75,1.5);
% Sommet de la pyramide
\coordinate (E) at (1.75,6);
% Arêtes de la base
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$7$ cm};
\draw[thick] (B) -- (C);
\draw[thick] (C) -- (D) node[midway, above] {$7$ cm};
\draw[thick] (D) -- (A) node[midway, left] {$6$ cm};
% Diagonales (en pointillés)
\draw[dashed] (A) -- (C);
\draw[dashed] (B) -- (D);
% Hauteur
\draw[thick, red] (F) -- (E) node[midway, right] {$h$};
% Arêtes latérales
\draw[thick] (A) -- (E) node[near end, left] {$10$ cm};
\draw[thick] (B) -- (E);
\draw[thick] (C) -- (E);
\draw[thick] (D) -- (E);
% Points
\fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
\fill (B) circle (2pt) node[below right] {$B$};
\fill (C) circle (2pt) node[right] {$C$};
\fill (D) circle (2pt) node[left] {$D$};
\fill (E) circle (2pt) node[above] {$E$};
\fill (F) circle (2pt) node[below right] {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
La hauteur de la pyramide passe par le centre $F$ du rectangle $ABCD$.
\textbf{Étape 1 :} Calculons $AC$, la diagonale du rectangle $ABCD$.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
\begin{align*}
AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\
&= 7^2 + 6^2 \\
&= 49 + 36 \\
&= 85
\end{align*}
Donc $AC = \sqrt{85}$ cm.
\textbf{Étape 2 :} Le point $F$ est le milieu de $[AC]$, donc $AF = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{85}}{2}$ cm.
\textbf{Étape 3 :} Dans le triangle $AFE$ rectangle en $F$ :
\begin{align*}
AE^2 &= AF^2 + FE^2 \\
10^2 &= \left(\dfrac{\sqrt{85}}{2}\right)^2 + FE^2 \\
100 &= \dfrac{85}{4} + FE^2 \\
FE^2 &= 100 - \dfrac{85}{4} = \dfrac{400 - 85}{4} = \dfrac{315}{4}
\end{align*}
Donc $FE = \sqrt{\dfrac{315}{4}} = \dfrac{\sqrt{315}}{2} = \dfrac{3\sqrt{35}}{2}$ cm $\approx 8,87$ cm.
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Les trois villes}, step={3}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
M. et Mme Dupont habitent à Lyon. Leuf fille habite à Grenoble, et leur fils à Besançon.
M. et Mme Dupont souhaitent déménager pour habiter à égale distance de Grenoble et Besançon, mais aussi le plus près possible de Lyon !
Indiquez sur le plan ci-contre où ils peuvent essayer de s’installer :
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/villes}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Aires}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = 10,5$, $AC = 17,5$ et $BC = 14$. On nomme $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
\item Exprimer l'aire de ce triangle de deux façons différentes.
\item En déduire la longueur $BH$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (10.5,0);
\coordinate (C) at (10.5,14);
\coordinate (H) at ($(A)!(B)!(C)$);
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$AB = 10,5$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right] {$BC = 14$};
\draw[thick] (C) -- (A) node[midway, above left] {$AC = 17,5$};
\draw[thick, red] (B) -- (H) node[midway, above right] {$BH$};
\draw (B) rectangle +(-0.5,0.5);
\draw (H) +(-0.3,0.3) -- +(0,0.3) -- +(0.3,0.3);
\fill (A) circle (3pt) node[below left] {$A$};
\fill (B) circle (3pt) node[below right] {$B$};
\fill (C) circle (3pt) node[above right] {$C$};
\fill (H) circle (3pt) node[above left] {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On compare $AC^2$ et $AB^2 + BC^2$ :
\begin{itemize}
\item $AC^2 = 17,5^2 = 306,25$
\item $AB^2 + BC^2 = 10,5^2 + 14^2 = 110,25 + 196 = 306,25$
\end{itemize}
Donc $AC^2 = AB^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
\item \textbf{Première façon :} Le triangle est rectangle en $B$, donc :
$$\mathcal{A} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{10,5 \times 14}{2} = \dfrac{147}{2} = 73,5$$
\textbf{Deuxième façon :} En prenant $AC$ comme base et $BH$ comme hauteur :
$$\mathcal{A} = \dfrac{AC \times BH}{2} = \dfrac{17,5 \times BH}{2}$$
\item Les deux expressions de l'aire sont égales :
\begin{align*}
\dfrac{17,5 \times BH}{2} &= 73,5 \\
17,5 \times BH &= 147 \\
BH &= \dfrac{147}{17,5} = \dfrac{147}{\frac{35}{2}} = \dfrac{147 \times 2}{35} = \dfrac{294}{35} = \dfrac{42}{5} = 8,4
\end{align*}
Donc $BH = 8,4$ cm.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Projeté?}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
On donne la figure ci-dessous dans laquelle les points A, D et C sont alignés.
Le point D est-il le projeté orthogonal de B sur (AC) ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
% Triangle
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,3);
\coordinate (C) at (5,0);
\coordinate (D) at (2,0);
% Côtés du triangle
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, above, sloped] {12 cm};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above, sloped] {15 cm};
\draw[thick] (C) -- (A);
% Hauteur
\draw[thick] (B) -- (D) node[midway, above, sloped] {10 cm};
% Points
\fill (A) circle (2pt) node[below left] {A};
\fill (B) circle (2pt) node[above] {B};
\fill (C) circle (2pt) node[below right] {C};
\fill (D) circle (2pt) node[below] {D};
% Mesure AD
\draw[thick] (A) -- (D) node[midway, below] {7 cm};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
% Triangle
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,3);
\coordinate (C) at (5,0);
\coordinate (D) at (2,0);
% Côtés du triangle
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, above, sloped] {$12$ cm};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above, sloped] {$15$ cm};
\draw[thick] (C) -- (A);
% Segment BD
\draw[thick, red] (B) -- (D) node[midway, right] {$10$ cm};
% Points
\fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
\fill (B) circle (2pt) node[above] {$B$};
\fill (C) circle (2pt) node[below right] {$C$};
\fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
% Mesure AD
\draw[thick] (A) -- (D) node[midway, below] {$7$ cm};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour que $D$ soit le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, il faut que $(BD) \perp (AC)$, c'est-à-dire que le triangle $ABD$ soit rectangle en $D$.
Vérifions avec le théorème de Pythagore :
\begin{itemize}
\item $AB^2 = 12^2 = 144$
\item $AD^2 + BD^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$
\end{itemize}
On constate que $AB^2 \neq AD^2 + BD^2$.
Donc le triangle $ABD$ n'est pas rectangle en $D$, et par conséquent $D$ n'est pas le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
\end{solution}

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Géométrie et racine carrée
##########################
:date: 2025-12-08
:modified: 2025-12-08
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: géométrie, racine carrée, projeté orthogonal
:category: 2nd
:summary: Géométrie non repérée, racine carrée et projeté orthogonal
Éléments du programme
=====================
Contenus
--------
- Règles de calculs sur les racines carrées
- Projeté orthogonal d’un point sur une droite.
Capacités attendues
-------------------
- Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
- Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
Commentaires
------------
Il y a plein de démonstrations pour ce chapitre :
- Quels que soient les réels positifs a et b, on a produit des racines
- Si a et b sont des réels strictement positifs, inégalité avec les racines
- Le projeté orthogonal du point M sur une droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M.
- Relation trigonométrique cos2(α) + sin2(α) = 1 dans un triangle rectangle
Progression
===========
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
:height: 200px
:alt: Plan de travail
Étape 1: Racine carrée
----------------------
.. image:: ./1B_racine_carre.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur les racines carrées
- Aire et périmètre d'un carré et d'un rectangle.
- Encadrement de la racine de 2
- Valeur exacte de racine de 20 et démonstration du produit des racines
- Calculs techniques de simplification des racines
Étape 2: Démonstrations géométriques
-------------------------------------
.. image:: ./2B_geometrie.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur les démonstrations géométriques
- Exercices avec l'utilisation de Pythagore
- Enchaînements de plusieurs applications de Pythagore
- Approfondissement de l'utilisation du théorème
- Inversion de la formule de Pythagore
Étape 3: Projeté orthogonal
----------------------------
- Exercice des 3 villes
- Techniques sur le projeté orthogonal
Solutions
=========
.. image:: ./solutions.pdf
:height: 200px
:alt: Solutions des exercices

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2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/plan_de_travail.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,52 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Géométrie et racine carré - Plan de travail}
\tribe{2nd}
\date{décembre 2025}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
}
\begin{document}
\maketitle
% Résumé
\bigskip
Savoir-faire de la séquence
\begin{itemize}
\item Règles de calculs sur les racines carrées
\item Projeté orthogonal d’un point sur une droite.
\item Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
\item Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
\end{itemize}
\bigskip
\section{Racine carré}
\listsectionexercises
\section{Démonstration géométrique}
\listsectionexercises
\section{Projeté orthogonal}
\listsectionexercises
\medskip
\hline
\medskip
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
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28
2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/solutions.tex Normal file
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Géométrie et racine carré - Solutions}
\tribe{2nd}
\date{décembre 2025}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
exercise/print=false,
solution/print=true,
}
\pagestyle{empty}
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\maketitle
\input{exercises.tex}
%\printcollection{banque}
%\printsolutions{exercises}
\end{document}