feat(2nd): seq sur racine carré et géométrie

2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/1B_racine_carre.tex

@@ -0,0 +1,101 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Géométrie et racine carré - Cours}
+\date{décembre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Racine carré}
+
+\afaire{Compléter les pointillés}
+
+
+\begin{definition}[$\sqrt{a}$ ]
+
+    Soit $a$ un nombre positif ou nul.
+
+    \begin{center}
+        La \textbf{racine carré} de $a$ noté $\sqrt{a}$ est le nombre positif tel que $\sqrt{a}^2 = a$
+    \end{center}
+    
+\end{definition}
+
+
+\paragraph{Remarques}
+\begin{itemize}
+    \item Les nombres dont le carré vaut 81 est $\ldots$ et $\ldots$. Donc $\sqrt{81} = \ldots$.
+    \item $\sqrt{2}$ n'a pas d'écriture décimale. On peut avoir:
+
+        \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        \begin{itemize}
+            \item Un encadrement \hspace{2cm} $\ldots < \sqrt{2} < \ldots$ 
+            \item Une valeur approchée \hspace{2cm} $\sqrt{2} \approx \ldots$
+        \end{itemize}    
+        \end{minipage}
+        \hfill
+        \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+             \includegraphics[scale=0.3]{./fig/encadrement}
+        \end{minipage}
+        
+\end{itemize}
+
+\begin{propriete}[Règles de calculs]
+    Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs alors
+
+    \begin{multicols}{3}
+        $$\sqrt{a\times b} =  \ldots$$
+
+        $$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \ldots $$
+
+        $$\sqrt{a^2} = \ldots $$
+
+    \end{multicols}
+    \medskip
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Remarque}: Ces propriétés permettent de simplifier des expressions avec des racines
+
+\begin{multicols}{3}
+    \begin{enumerate}
+        \item $\sqrt{20} = \ldots$
+        \item $\sqrt{\frac{5}{9}} = \ldots$
+        \item $\sqrt{12} + \sqrt{27} = \ldots$
+    \end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\bigskip
+
+\begin{multicols}{2}
+    \begin{propriete}[Solution de $x^2 = a$]
+
+        Soit $a$ un nombre positif ou nul.
+
+        Alors l'équation $x^2 = a$ a exactement 2 solutions: 
+
+        $$\sqrt{a} \qquad \mbox{ et } \qquad -\sqrt{a}$$
+
+    \end{propriete}   
+    \columnbreak
+    \begin{propriete}[Longueur du côté d'un carré]
+
+        Si l'aire d'un carré est égale à $a$ alors sont côté est $\sqrt{a}$
+
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                % carré avec à l'intérieur aire = a et sur un coté racine de a 
+                \draw [fill=grey!20](0,0) rectangle (2,2);
+                \node at (1,1) {aire = $a$};
+                \draw (0,0) -- ++(0,2) node[midway,left] {$\sqrt{a}$};
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+    \end{propriete}
+\end{multicols}
+
+
+\end{document}

2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/2B_geometrie.tex

@@ -0,0 +1,162 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Géométrie et racine carrée - Cours}
+\date{décembre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\afaire{compléter les pointillés}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Géométrie}
+
+\subsection*{Aire et périmètres}
+
+\begin{propriete}[Formules du carré]
+    \begin{minipage}{0.7\textwidth}
+        On note $C$ le côté d'un carré, $P$ son périmètre et $A$ son aire
+
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{|c|p{5cm}|}
+                \hline
+                Description & Formule \\
+                \hline
+                Périmètre en fonction du côté & $\ldots$\\
+                \hline
+                Côté en fonction du périmètre & $\ldots$\\
+                \hline
+                Aire en fonction du côté & $\ldots$\\
+                \hline
+                Côté en fonction de l'aire & $\ldots$\\
+                \hline
+            \end{tabular}
+        \end{center}
+        
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            \draw[thick] (0,0) rectangle (3,3);
+            \draw (1.5,1.5) node {Aire = $A$};
+            \draw[<->] (0,-0.5) -- (3,-0.5) node[midway, below] {Côté = $C$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    
+\end{propriete}
+
+\begin{propriete}[Formules du disque]
+    \begin{minipage}{0.7\textwidth}
+        On note $R$ le rayon d'un disque, $P$ son périmètre et $A$ son aire
+
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{|c|p{5cm}|}
+                \hline
+                Description & Formule \\
+                \hline
+                Périmètre en fonction du rayon & $\ldots$\\
+                \hline
+                Rayon en fonction du périmètre & $\ldots$\\
+                \hline
+                Aire en fonction du rayon & $\ldots$\\
+                \hline
+                Rayon en fonction de l'aire & $\ldots$\\
+                \hline
+            \end{tabular}
+        \end{center}
+        
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            \draw[thick] (0,0) circle (1.5);
+            \draw (0,0) node [below]{Aire = $A$};
+            \draw[<->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway, above] {$R$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    
+\end{propriete}
+
+\subsection*{Théorème de Géométrie}
+
+\begin{propriete}[Théorème de Pythagore]
+    \begin{minipage}{0.7\textwidth}
+        Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
+        
+        \vspace{0.5cm}
+        
+        Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors
+        
+        \begin{center}
+            $\ldots$
+        \end{center}
+        
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (3,0);
+            \coordinate (C) at (0,2.5);
+            
+            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+            \draw (A) rectangle (0.3,0.3);
+            
+            \draw (A) node[below left] {$A$};
+            \draw (B) node[below right] {$B$};
+            \draw (C) node[above left] {$C$};
+            
+            \draw (1.5,0) node[below] {$c$};
+            \draw (0,1.25) node[left] {$b$};
+            \draw (1.5,1.5) node[above right] {$a$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    
+\end{propriete}
+
+\begin{propriete}[Formules de trigonométrie]
+    \begin{minipage}{0.7\textwidth}
+        Dans un triangle rectangle, on définit pour un angle aigu :
+        
+        \vspace{0.5cm}
+        
+        \begin{itemize}
+            \item Le \textbf{cosinus} : $\cos(\widehat{ABC}) = \ldots$
+            \vspace{0.3cm}
+            \item Le \textbf{sinus} : $\sin(\widehat{ABC}) = \ldots$
+            \vspace{0.3cm}
+            \item La \textbf{tangente} : $\tan(\widehat{ABC}) = \ldots$
+        \end{itemize}
+        
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (3,0);
+            \coordinate (C) at (0,2.5);
+            
+            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+            \draw (A) rectangle (0.3,0.3);
+            
+            \draw (A) node[below left] {$A$};
+            \draw (B) node[below right] {$B$};
+            \draw (C) node[above left] {$C$};
+            
+            \draw (1.5,0) node[below] {adjacent};
+            \draw (0,1.25) node[left] {opposé};
+            \draw (1.8,1.5) node[above right] {hypoténuse};
+            
+            \draw[->] (2.5,0) arc (180:135:0.5);
+            \draw (2.2,0.3) node[above left] {$\widehat{ABC}$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    
+\end{propriete}
+
+\end{document}

2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/3B_projete_orthogonal.tex

@@ -0,0 +1,90 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{tkz-euclide}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Produit Scalaire - projeté orthogonal - Cours}
+\date{novembre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+    \setcounter{section}{2}
+\section{Projeté orthogonal}
+
+\begin{definition}[Projeté orthogonal]
+    \begin{minipage}{0.55\linewidth}
+        Soit une droite $(d)$ et un point $M$.
+
+        Le \textbf{projeté orthogonal} de $M$ sur $(d)$ est le point $H$ de la droite $(d)$ tel que $(MH)$ est perpendiculaire à $(d)$.
+
+        \bigskip
+
+        On dit aussi que $H$ est le pied de la hauteur issue de $M$.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.8,rotate=15]
+                \tkzDefPoint(0,0){A}
+                \tkzDefPoint(5,0){B}
+                \tkzDefPoint(3,3){M}
+                \tkzDefPointBy[projection=onto A--B](M) \tkzGetPoint{H}
+                
+                \tkzDrawLine[add=0.2 and 0.2](A,B)
+                \tkzDrawSegment[dashed](M,H)
+                \tkzMarkRightAngle[size=0.3](M,H,B)
+                
+                \tkzDrawPoints(M,H)
+                \tkzLabelPoint[above](M){$M$}
+                \tkzLabelPoint[below](H){$H$}
+                \tkzLabelLine[below, pos=0.1](A,B){$(d)$}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+\paragraph{Exemples}~
+
+\begin{multicols}{2}
+    \begin{enumerate}
+        \item Placer le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                    \tkzDefPoint(0,0){A}
+                    \tkzDefPoint(4,1){B}
+                    \tkzDefPoint(2,3){M}
+                    
+                    \tkzDrawLine[add=0.3 and 0.3](A,B)
+                    \tkzDrawPoints(A,B,M)
+                    \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
+                    \tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
+                    \tkzLabelPoint[above](M){$M$}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+        \item Placer le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                    \tkzDefPoint(0,0){A}
+                    \tkzDefPoint(4,0){B}
+                    \tkzDefPoint(3,2.5){C}
+                    
+                    \tkzDrawLine[add=0.3 and 0.3](A,B)
+                    \tkzDrawSegments(A,C B,C)
+                    \tkzDrawPoints(A,B,C)
+                    \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
+                    \tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
+                    \tkzLabelPoint[above](C){$C$}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+    \end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\afaire{Placer les projetés orthogonaux}
+
+
+\end{document}

2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/exercises.tex

@@ -0,0 +1,589 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Aire et périmètre d'un carré}, step={1}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
+    Répondre aux questions suivantes, illustrer vos réponses d'un croquis.
+
+    Calculatrice interdite.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Le périmètre d'un carré est de 100cm. Quel est son côté?
+        \item L'aire d'un carré est de $144cm^2$. Quel est son côté?
+        \item L'aire d'un rectangle est de $12cm^2$. Quelle est sa longueur?
+        \item L'aire d'un carré est de $6.25cm^2$. Quel est son côté?
+        \item L'aire d'un carré est de $2cm^2$. Quel est son côté?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Valeur approchée de $\sqrt{2}$}, step={1}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
+    A l'aide de la calculatrice mais sans utiliser la touche $\sqrt{\cdots}$, répondre aux questions suivantes
+    \begin{enumerate}
+        \item Est-il vrai que $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$?
+        \item Trouver un encadrement au millième de $\sqrt{2}$.
+        \item Comment pourrait-on faire pour trouver toutes les décimales de $\sqrt{2}$?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Valeur exacte de $\sqrt{20}$}, step={1}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\paperMode}]
+    On veut expliquer pourquoi quand on tape $\sqrt{20}$ à la calculatrice, on obtient 
+    \begin{center}
+        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/racine_20}
+    \end{center}
+    \begin{enumerate}
+        \item Quel est l'aire d'un carré de côté $\sqrt{20}$? Faire un croquis de ce carré en indiquant les longueurs.
+        \item Quel est l'aire d'un carré de côté $2\sqrt{5}$? Faire un croquis de ce carré en indiquant les longueurs.
+        \item Que peut-on dire de ces deux carrés? Que peut-on en déduire?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Manipulation des racines}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{2}$.
+            \begin{multicols}{4}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $\sqrt{8}$
+                    \item $\sqrt{18}$
+                    \item $\sqrt{162}$
+                    \item $\sqrt{50}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ deux entiers positifs les plus petits possibles.
+            \begin{multicols}{4}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $\sqrt{32}$
+                    \item $\sqrt{75}$
+                    \item $\sqrt{99}$
+                    \item $\sqrt{27}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ deux entiers positifs les plus petits possibles.
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $\sqrt{72} + \sqrt{18}$
+                    \item $\sqrt{27} + \sqrt{108}$
+                    \item $4\sqrt{80} + 3\sqrt{125}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item On cherche à factoriser sous le radical pour faire apparaître $\sqrt{2}$.
+            \begin{enumerate}
+                \item $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
+                \item $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
+                \item $\sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{81} \times \sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
+                \item $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
+            \end{enumerate}
+        \item On factorise par le plus grand carré parfait possible.
+            \begin{enumerate}
+                \item $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
+                \item $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
+                \item $\sqrt{99} = \sqrt{9 \times 11} = 3\sqrt{11}$
+                \item $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
+            \end{enumerate}
+        \item On simplifie chaque terme puis on regroupe.
+            \begin{enumerate}
+                \item $\sqrt{72} + \sqrt{18} = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{9 \times 2} = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
+                \item $\sqrt{27} + \sqrt{108} = \sqrt{9 \times 3} + \sqrt{36 \times 3} = 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
+                \item $4\sqrt{80} + 3\sqrt{125} = 4\sqrt{16 \times 5} + 3\sqrt{25 \times 5} = 4 \times 4\sqrt{5} + 3 \times 5\sqrt{5} = 16\sqrt{5} + 15\sqrt{5} = 31\sqrt{5}$
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Triangle rectange}, step={2}, origin={Magnard 2nd 26p123}, topics={ Démonstration Géométrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }, mode={\trainMode}]
+    Dans un triangle $ABC$, on a : $AB = 9$, $BC = 12$ et $AC = 15$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un croquis de la situation.
+        \item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
+        \item Calculer le périmètre puis l'aire du triangle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Croquis du triangle $ABC$ :
+        
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
+                \coordinate (A) at (0,0);
+                \coordinate (B) at (9,0);
+                \coordinate (C) at (9,12);
+                
+                \draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$AB = 9$ cm};
+                \draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right] {$BC = 12$ cm};
+                \draw[thick] (C) -- (A) node[midway, above left] {$AC = 15$ cm};
+                
+                \draw (B) rectangle +(-0.5,0.5);
+                
+                \fill (A) circle (3pt) node[below left] {$A$};
+                \fill (B) circle (3pt) node[below right] {$B$};
+                \fill (C) circle (3pt) node[above right] {$C$};
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+        
+        \item On compare $AC^2$ et $AB^2 + BC^2$ :
+            \begin{itemize}
+                \item $AC^2 = 15^2 = 225$
+                \item $AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
+            \end{itemize}
+            Donc $AC^2 = AB^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
+        \item Le périmètre est : $\mathcal{P} = AB + BC + AC = 9 + 12 + 15 = 36$ cm.
+        
+            L'aire est : $\mathcal{A} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{9 \times 12}{2} = \dfrac{108}{2} = 54$ cm$^2$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Carré inscrit}, step={2}, origin={Magnard 2nd 47p 124}, topics={ Démonstration Géométrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }, mode={\trainMode}]
+    On considère un carré $ABCD$ de centre $0$ et de côté $4cm$ et un disque de centre $0$ passant par les quatre sommets du carré.
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item Faire un croquis de la situation.
+            \item Calculer l'aire du carré.
+            \item Calculer le rayon du disque.
+            \item Calculer l'aire du disque.
+            \item En déduire la proportion de l'aire du disque qui n'est pas dans le carré.
+        \end{enumerate}    
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Croquis d'un carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté 4 cm inscrit dans un disque :
+        
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+                \coordinate (O) at (0,0);
+                \coordinate (A) at (1.414,1.414);
+                \coordinate (B) at (-1.414,1.414);
+                \coordinate (C) at (-1.414,-1.414);
+                \coordinate (D) at (1.414,-1.414);
+                
+                \draw[thick] (O) circle (2);
+                \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
+                \draw[dashed] (A) -- (C);
+                \draw[dashed] (B) -- (D);
+                
+                \draw (A) -- (B) node[midway, above] {$4$ cm};
+                
+                \fill (O) circle (2pt) node[below right] {$O$};
+                \fill (A) circle (2pt) node[above right] {$A$};
+                \fill (B) circle (2pt) node[above left] {$B$};
+                \fill (C) circle (2pt) node[below left] {$C$};
+                \fill (D) circle (2pt) node[below right] {$D$};
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+        
+        \item L'aire du carré est : $\mathcal{A}_{carré} = 4^2 = 16$ cm$^2$.
+        \item Le rayon du disque est la distance $OA$. Dans le triangle rectangle $OAB$ (rectangle en $O$ car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires), on a $OA = OB$ et $AB = 4$ cm.
+        
+            D'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = OA^2 + OB^2 = 2 \times OA^2$
+            
+            Donc $OA^2 = \dfrac{AB^2}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$, ainsi $OA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ cm.
+            
+            Le rayon du disque est $r = 2\sqrt{2}$ cm.
+        \item L'aire du disque est : $\mathcal{A}_{disque} = \pi r^2 = \pi \times (2\sqrt{2})^2 = \pi \times 8 = 8\pi$ cm$^2$.
+        \item L'aire du disque qui n'est pas dans le carré est : $8\pi - 16$ cm$^2$.
+        
+            La proportion est : $\dfrac{8\pi - 16}{8\pi} = \dfrac{8(\pi - 2)}{8\pi} = \dfrac{\pi - 2}{\pi} \approx 0,36$ soit environ 36\%.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Point mystère}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
+    $ABCD$ est un rectangle tel que $AB = 4cm$ et $BC = 6cm$. On place la point $E$ au milieu du segment $[AB]$ et $M$ est un point du segment $[BC]$
+        \begin{enumerate}
+            \item Faire un croquis de la situation.
+            \item Est-il possible que le triangle $EDM$ soit isocèle en $D$? Si oui, à quelle distance du point $C$ le point $M$ doit-il se trouver? Sinon pourquoi?
+        \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={DVD}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
+    \begin{minipage}{0.8\textwidth}
+        Un DVD a la forme d'un disque de diamètre 12 cm avec un trou au centre.
+ 
+        Quelle est l'aire du DVD ?
+
+        NB : le trou au centre ne fait pas partie du DVD
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.2\textwidth}
+        \includegraphics[scale=0.07]{./fig/dvd} 
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    Le DVD est constitué d'un grand disque de diamètre 12 cm auquel on retire un petit disque central.
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+            \draw[thick, fill=gray!20] (0,0) circle (3);
+            \draw[thick, fill=white] (0,0) circle (0.75);
+            
+            \draw[<->] (0,0) -- (3,0) node[midway, above] {$R = 6$ cm};
+            \draw[<->] (0,0) -- (0.53,0.53) node[midway, above left] {$r = 1,5$ cm};
+            
+            \fill (0,0) circle (2pt);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    
+    D'après la figure, le rayon du grand disque est $R = 6$ cm et le rayon du trou est $r = 1,5$ cm.
+    
+    L'aire du DVD est : 
+    \begin{align*}
+        \mathcal{A}_{DVD} &= \mathcal{A}_{grand} - \mathcal{A}_{trou} \\
+        &= \pi R^2 - \pi r^2 \\
+        &= \pi \times 6^2 - \pi \times 1,5^2 \\
+        &= 36\pi - 2,25\pi \\
+        &= 33,75\pi \text{ cm}^2 \\
+        &\approx 106 \text{ cm}^2
+    \end{align*}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Terrain de sport}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
+    \begin{minipage}{0.8\textwidth}
+        Un terrain de sport est constitué de deux demi-disques et d'un rectangle.
+
+        La piste qui fait le tour du terrain est constitué de deux demi-cercles et de deux lignes droites de longueur de 80 m chacune. 
+        La longueur totale de la piste est de 400 m.
+
+        \begin{enumerate}
+            \item Déterminer la largeur du terrain de sport, c'est-à-dire la distance entre les deux lignes droites de la piste.
+            \item Déterminer l'aire du terrain de sport.
+        \end{enumerate}
+
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.15\textwidth}
+        \includegraphics[scale=0.15, angle=90]{./fig/terrain} 
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item Notons $r$ le rayon des demi-cercles (qui correspond à la largeur du terrain).
+        
+            Le périmètre de la piste est : $2 \times 80 + 2 \times \pi r = 400$
+            
+            Donc $160 + 2\pi r = 400$, ainsi $2\pi r = 240$ et $r = \dfrac{240}{2\pi} = \dfrac{120}{\pi}$ m.
+            
+            La largeur du terrain est $\dfrac{120}{\pi} \approx 38,2$ m.
+        \item L'aire du terrain est composée d'un rectangle de dimensions $80 \times \dfrac{120}{\pi}$ et de deux demi-disques de rayon $\dfrac{120}{\pi}$ (soit un disque complet).
+            \begin{align*}
+                \mathcal{A}_{terrain} &= 80 \times \dfrac{120}{\pi} + \pi \times \left(\dfrac{120}{\pi}\right)^2 \\
+                &= \dfrac{9600}{\pi} + \pi \times \dfrac{14400}{\pi^2} \\
+                &= \dfrac{9600}{\pi} + \dfrac{14400}{\pi} \\
+                &= \dfrac{24000}{\pi} \text{ m}^2 \\
+                &\approx 7639 \text{ m}^2
+            \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Pavé droit}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        $ABCDEFGH$ est un pavé droit tel que $AB = 7 cm$, $BC = 6 cm$ et $AE = 4 cm$.
+
+        Quelle est la longueur de la diagonale $[AG]$ ?
+
+        Indication : on pourra appliquer le théorème de Pythagore dans les triangles  $ABC$ et $ACG$.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/pave} 
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
+            % Base du pavé
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (3.5,0);
+            \coordinate (C) at (3.5,3);
+            \coordinate (D) at (0,3);
+            
+            % Sommet du pavé
+            \coordinate (E) at (0.8,2);
+            \coordinate (F) at (4.3,2);
+            \coordinate (G) at (4.3,5);
+            \coordinate (H) at (0.8,5);
+            
+            % Arêtes cachées
+            \draw[dashed] (A) -- (D);
+            \draw[dashed] (D) -- (C);
+            \draw[dashed] (D) -- (H);
+            
+            % Arêtes visibles
+            \draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$7$ cm};
+            \draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right] {$6$ cm};
+            \draw[thick] (A) -- (E) node[midway, left] {$4$ cm};
+            \draw[thick] (E) -- (F);
+            \draw[thick] (F) -- (G);
+            \draw[thick] (G) -- (H);
+            \draw[thick] (H) -- (E);
+            \draw[thick] (B) -- (F);
+            \draw[thick] (C) -- (G);
+            
+            % Diagonale
+            \draw[very thick, red] (A) -- (G);
+            
+            % Points
+            \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
+            \fill (B) circle (2pt) node[below right] {$B$};
+            \fill (C) circle (2pt) node[right] {$C$};
+            \fill (G) circle (2pt) node[above right] {$G$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    
+    On applique le théorème de Pythagore deux fois.
+    
+    \textbf{Étape 1 :} Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
+    \begin{align*}
+        AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\
+        &= 7^2 + 6^2 \\
+        &= 49 + 36 \\
+        &= 85
+    \end{align*}
+    Donc $AC = \sqrt{85}$ cm.
+    
+    \textbf{Étape 2 :} Dans le triangle $ACG$ rectangle en $C$ (car $ABCDEFGH$ est un pavé droit) :
+    \begin{align*}
+        AG^2 &= AC^2 + CG^2 \\
+        &= 85 + 4^2 \\
+        &= 85 + 16 \\
+        &= 101
+    \end{align*}
+    Donc $AG = \sqrt{101}$ cm $\approx 10,05$ cm.
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Terrain de sport}, step={2}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
+    \begin{minipage}{0.7\textwidth}
+        $ABCDE$ est une pyramide à base rectangulaire tel que 
+
+        $$AD = 6 cm \qquad AB =7 cm \qquad AE = BE = CE = DE = 10 cm$$
+
+        $F$ est le centre du rectangle $ABCD$.
+
+        Quelle est la longueur de la hauteur $[FE]$ ?
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \includegraphics[scale=0.25]{./fig/pyramide} 
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
+            % Base de la pyramide
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (3.5,0);
+            \coordinate (C) at (3.5,3);
+            \coordinate (D) at (0,3);
+            \coordinate (F) at (1.75,1.5);
+            
+            % Sommet de la pyramide
+            \coordinate (E) at (1.75,6);
+            
+            % Arêtes de la base
+            \draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$7$ cm};
+            \draw[thick] (B) -- (C);
+            \draw[thick] (C) -- (D) node[midway, above] {$7$ cm};
+            \draw[thick] (D) -- (A) node[midway, left] {$6$ cm};
+            
+            % Diagonales (en pointillés)
+            \draw[dashed] (A) -- (C);
+            \draw[dashed] (B) -- (D);
+            
+            % Hauteur
+            \draw[thick, red] (F) -- (E) node[midway, right] {$h$};
+            
+            % Arêtes latérales
+            \draw[thick] (A) -- (E) node[near end, left] {$10$ cm};
+            \draw[thick] (B) -- (E);
+            \draw[thick] (C) -- (E);
+            \draw[thick] (D) -- (E);
+            
+            % Points
+            \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
+            \fill (B) circle (2pt) node[below right] {$B$};
+            \fill (C) circle (2pt) node[right] {$C$};
+            \fill (D) circle (2pt) node[left] {$D$};
+            \fill (E) circle (2pt) node[above] {$E$};
+            \fill (F) circle (2pt) node[below right] {$F$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    
+    La hauteur de la pyramide passe par le centre $F$ du rectangle $ABCD$.
+    
+    \textbf{Étape 1 :} Calculons $AC$, la diagonale du rectangle $ABCD$.
+    
+    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
+    \begin{align*}
+        AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\
+        &= 7^2 + 6^2 \\
+        &= 49 + 36 \\
+        &= 85
+    \end{align*}
+    Donc $AC = \sqrt{85}$ cm.
+    
+    \textbf{Étape 2 :} Le point $F$ est le milieu de $[AC]$, donc $AF = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{85}}{2}$ cm.
+    
+    \textbf{Étape 3 :} Dans le triangle $AFE$ rectangle en $F$ :
+    \begin{align*}
+        AE^2 &= AF^2 + FE^2 \\
+        10^2 &= \left(\dfrac{\sqrt{85}}{2}\right)^2 + FE^2 \\
+        100 &= \dfrac{85}{4} + FE^2 \\
+        FE^2 &= 100 - \dfrac{85}{4} = \dfrac{400 - 85}{4} = \dfrac{315}{4}
+    \end{align*}
+    Donc $FE = \sqrt{\dfrac{315}{4}} = \dfrac{\sqrt{315}}{2} = \dfrac{3\sqrt{35}}{2}$ cm $\approx 8,87$ cm.
+\end{solution}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Les trois villes}, step={3}, origin={MEPC}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\searchMode}]
+
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+    M. et Mme Dupont habitent à Lyon. Leuf fille habite à Grenoble, et leur fils à Besançon.
+
+    M. et Mme Dupont souhaitent déménager pour habiter à égale distance de Grenoble et Besançon, mais aussi  le plus près possible de Lyon !
+
+    Indiquez sur le plan ci-contre où ils peuvent essayer de s’installer : 
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/villes}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Aires}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
+    On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = 10,5$, $AC = 17,5$ et $BC = 14$. On nomme $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
+        \item Exprimer l'aire de ce triangle de deux façons différentes.
+        \item En déduire la longueur $BH$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.4]
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (10.5,0);
+            \coordinate (C) at (10.5,14);
+            \coordinate (H) at ($(A)!(B)!(C)$);
+            
+            \draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$AB = 10,5$};
+            \draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right] {$BC = 14$};
+            \draw[thick] (C) -- (A) node[midway, above left] {$AC = 17,5$};
+            \draw[thick, red] (B) -- (H) node[midway, above right] {$BH$};
+            
+            \draw (B) rectangle +(-0.5,0.5);
+            \draw (H) +(-0.3,0.3) -- +(0,0.3) -- +(0.3,0.3);
+            
+            \fill (A) circle (3pt) node[below left] {$A$};
+            \fill (B) circle (3pt) node[below right] {$B$};
+            \fill (C) circle (3pt) node[above right] {$C$};
+            \fill (H) circle (3pt) node[above left] {$H$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item On compare $AC^2$ et $AB^2 + BC^2$ :
+            \begin{itemize}
+                \item $AC^2 = 17,5^2 = 306,25$
+                \item $AB^2 + BC^2 = 10,5^2 + 14^2 = 110,25 + 196 = 306,25$
+            \end{itemize}
+            Donc $AC^2 = AB^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
+        \item \textbf{Première façon :} Le triangle est rectangle en $B$, donc :
+            $$\mathcal{A} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{10,5 \times 14}{2} = \dfrac{147}{2} = 73,5$$
+            
+            \textbf{Deuxième façon :} En prenant $AC$ comme base et $BH$ comme hauteur :
+            $$\mathcal{A} = \dfrac{AC \times BH}{2} = \dfrac{17,5 \times BH}{2}$$
+        \item Les deux expressions de l'aire sont égales :
+            \begin{align*}
+                \dfrac{17,5 \times BH}{2} &= 73,5 \\
+                17,5 \times BH &= 147 \\
+                BH &= \dfrac{147}{17,5} = \dfrac{147}{\frac{35}{2}} = \dfrac{147 \times 2}{35} = \dfrac{294}{35} = \dfrac{42}{5} = 8,4
+            \end{align*}
+            Donc $BH = 8,4$ cm.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Projeté?}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Géométrie et racine carré }, tags={ géométrie, racine carré, projeté orthogonal }, mode={\trainMode}]
+
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On donne la figure ci-dessous dans laquelle les points A, D et C sont alignés.
+
+        Le point D est-il le projeté orthogonal de B sur (AC) ?
+
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            % Triangle
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (2,3);
+            \coordinate (C) at (5,0);
+            \coordinate (D) at (2,0);
+
+            % Côtés du triangle
+            \draw[thick] (A) -- (B) node[midway, above, sloped] {12 cm};
+            \draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above, sloped] {15 cm};
+            \draw[thick] (C) -- (A);
+
+            % Hauteur
+            \draw[thick] (B) -- (D) node[midway, above, sloped] {10 cm};
+
+            % Points
+            \fill (A) circle (2pt) node[below left] {A};
+            \fill (B) circle (2pt) node[above] {B};
+            \fill (C) circle (2pt) node[below right] {C};
+            \fill (D) circle (2pt) node[below] {D};
+
+            % Mesure AD
+            \draw[thick] (A) -- (D) node[midway, below] {7 cm};
+
+        \end{tikzpicture} 
+    \end{minipage}
+
+
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+            % Triangle
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (2,3);
+            \coordinate (C) at (5,0);
+            \coordinate (D) at (2,0);
+
+            % Côtés du triangle
+            \draw[thick] (A) -- (B) node[midway, above, sloped] {$12$ cm};
+            \draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above, sloped] {$15$ cm};
+            \draw[thick] (C) -- (A);
+
+            % Segment BD
+            \draw[thick, red] (B) -- (D) node[midway, right] {$10$ cm};
+
+            % Points
+            \fill (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
+            \fill (B) circle (2pt) node[above] {$B$};
+            \fill (C) circle (2pt) node[below right] {$C$};
+            \fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
+
+            % Mesure AD
+            \draw[thick] (A) -- (D) node[midway, below] {$7$ cm};
+        \end{tikzpicture} 
+    \end{center}
+    
+    Pour que $D$ soit le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, il faut que $(BD) \perp (AC)$, c'est-à-dire que le triangle $ABD$ soit rectangle en $D$.
+    
+    Vérifions avec le théorème de Pythagore :
+    \begin{itemize}
+        \item $AB^2 = 12^2 = 144$
+        \item $AD^2 + BD^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$
+    \end{itemize}
+    
+    On constate que $AB^2 \neq AD^2 + BD^2$.
+    
+    Donc le triangle $ABD$ n'est pas rectangle en $D$, et par conséquent $D$ n'est pas le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
+\end{solution}

2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/index.rst

@@ -0,0 +1,81 @@
+Géométrie et racine carrée
+##########################
+
+:date: 2025-12-08
+:modified: 2025-12-08
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: géométrie, racine carrée, projeté orthogonal
+:category: 2nd
+:summary: Géométrie non repérée, racine carrée et projeté orthogonal
+
+
+Éléments du programme
+=====================
+
+Contenus
+--------
+
+- Règles de calculs sur les racines carrées
+- Projeté orthogonal d’un point sur une droite. 
+
+Capacités attendues
+-------------------
+
+- Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles). 
+- Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes. 
+
+Commentaires
+------------
+
+Il y a plein de démonstrations pour ce chapitre :
+
+- Quels que soient les réels positifs a et b, on a produit des racines
+- Si a et b sont des réels strictement positifs, inégalité avec les racines
+- Le projeté orthogonal du point M sur une droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M. 
+- Relation trigonométrique cos2(α) + sin2(α) = 1 dans un triangle rectangle
+
+
+Progression
+===========
+
+.. image:: ./plan_de_travail.pdf
+   :height: 200px
+   :alt: Plan de travail
+
+Étape 1: Racine carrée
+----------------------
+
+.. image:: ./1B_racine_carre.pdf
+   :height: 200px
+   :alt: Bilan sur les racines carrées
+
+- Aire et périmètre d'un carré et d'un rectangle.
+- Encadrement de la racine de 2
+- Valeur exacte de racine de 20 et démonstration du produit des racines
+- Calculs techniques de simplification des racines
+
+Étape 2: Démonstrations géométriques
+-------------------------------------
+
+.. image:: ./2B_geometrie.pdf
+   :height: 200px
+   :alt: Bilan sur les démonstrations géométriques
+
+- Exercices avec l'utilisation de Pythagore 
+- Enchaînements de plusieurs applications de Pythagore
+- Approfondissement de l'utilisation du théorème
+- Inversion de la formule de Pythagore
+
+Étape 3: Projeté orthogonal
+----------------------------
+
+- Exercice des 3 villes
+- Techniques sur le projeté orthogonal
+
+Solutions
+=========
+
+.. image:: ./solutions.pdf
+   :height: 200px
+   :alt: Solutions des exercices
+

2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/plan_de_travail.tex

@@ -0,0 +1,52 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
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+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Géométrie et racine carré - Plan de travail}
+\tribe{2nd}
+\date{décembre 2025}
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+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
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+}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+% Résumé
+
+\bigskip
+
+Savoir-faire de la séquence
+\begin{itemize}
+    \item Règles de calculs sur les racines carrées
+    \item Projeté orthogonal d’un point sur une droite. 
+    \item Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles). 
+    \item Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes. 
+\end{itemize}
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+\bigskip
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+\section{Racine carré}
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+\listsectionexercises
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+\section{Démonstration géométrique}
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+\section{Projeté orthogonal}
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+\listsectionexercises
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+\input{exercises.tex}
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+\end{document}

2nd/08_Geometrie_et_racine_carre/solutions.tex

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+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
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+\usetikzlibrary{shapes.geometric}
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+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Géométrie et racine carré - Solutions}
+\tribe{2nd}
+\date{décembre 2025}
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+\end{document}

tools/skeleton/sequence/plan_de_travail/plan_de_travail.tex

@@ -6,8 +6,6 @@
 \tribe{${tribe}}
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tools/style/myhdr.sty

@@ -79,7 +79,7 @@
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