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Benjamin Bertrand
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{subfig}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation}
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\author{}
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\date{19 fervrier 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Acceptez vous de que je vous envoie votre note dans un mail collectif? (Le mettre sur la copie)
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\begin{Exo}(8 points)\\
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%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
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Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2(x^2-8)$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Étudier le sens de variation de $f$ (penser à factoriser la dérivée).
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||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;3]$ dans un repère orthogonal d'unité 2cm sur l'axe des abscisse et 1cm sur l'axe des ordonnées.
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||||
\item Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse -1. La tracer sur le graphique.
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||||
\item Trouver les extrema de $f$ sur $[-3,3]$. Dire si ce sont des extrema locaux ou globaux de $f$ sur $\R$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(5 points)\\
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||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
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||||
Soit $g$ la fonction suivante
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\begin{eqnarray*}
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g :x \mapsto \frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x}
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\end{eqnarray*}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Étudier le sens de variation de $g$.
|
||||
\item On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{2}x - 1$. Étudier la position de $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ par rapport à $\Delta$.
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||||
\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(4 points)\\
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% Manipulation de graphique
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La courbe $\mathcal{C}_h$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $h$ définition sur $[-3;3]$. On notera $h'$ sa dérivée.
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/Ch}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Quel est le signe de $h'(2.5)$? De $h'(1)$?
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||||
\item Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse -1.
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||||
\item Dresser le tableau de signe de $h'$.
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||||
\item Lequel de ces graphiques correspond au graph de $h'$.
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\end{enumerate}
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\begin{figure}[htpb]
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\begin{center}
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\subfloat[Choix 1]{%
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\includegraphics[scale=0.8]{fig/Chderv_bad1}}
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||||
\subfloat[Choix 2]{%
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||||
\includegraphics[scale=0.8]{fig/Chderv_bad2}}
|
||||
\subfloat[Choix 3]{%
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{fig/Chderv}}
|
||||
\end{center}
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||||
\end{figure}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(3 points)\\
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Dériver en précisant le domaine de définition et de dérivation les fonctions suivantes
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\begin{enumerate}
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||||
\item $f:x \mapsto (3x^2 + 2x - 1) \sqrt{x}$
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||||
\item $g:x \mapsto \dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}$
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||||
\item $h:x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - 1}$
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||||
\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_1.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_1.pdf
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@@ -0,0 +1,85 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{subfig}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
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\author{}
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\date{19 fervrier 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
\begin{center}
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||||
\textbf{Sujet 1}\\
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||||
Devise Shadocks: S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
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||||
\end{center}
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
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||||
\begin{Exo}(2 points) \textbf{Cours}\\
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Donner l'expression analytique du produit scalaire.
|
||||
\item Donner la définition du projeté othogonal.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo}(3 points)\\
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||||
Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver de la fonction $f$ définie de la manière suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f:x\mapsto \sqrt{x}\left( x^{30} + \frac{1}{x} \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = -x^3 - x^2 + x + 3$.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $f$.
|
||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;2]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,5cm sur l'axe des abscisse et 2cm sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Déterminer l'équation de la tangente,$T$, à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse -2. La tracer sur le graphique. Dans la suite, on notera $t(x)$ la fonction associée à $T$.
|
||||
\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $T$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - t(x)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad x^3-\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4} = (x+1)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2$
|
||||
\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item(Dure) Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=9x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\begin{Exo}(7 points)\\
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||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
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||||
On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f : x \mapsto \frac{x-1}{3-2x}
|
||||
g : x \mapsto -\frac{1}{2}x
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h :x \mapsto \frac{x^2 - \frac{1}{2}x - 1}{3-2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h'(x) = \frac{-2x^2 + 6x - \frac{7}{2}}{(3-2x)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et étudier le sens de variation de $h$.
|
||||
\item Montrer que sur $]\dfrac{3}{2} \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_2.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_2.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_2.tex
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_2.tex
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@@ -0,0 +1,88 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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||||
\usepackage{subfig}
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||||
% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
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||||
\author{}
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||||
\date{19 fervrier 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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||||
\cfoot{}
|
||||
\geometry{left=15mm,right=15mm, top=15mm}
|
||||
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||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\textbf{Sujet 2}\\
|
||||
Devise Shadocks: S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
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||||
Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
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||||
|
||||
\begin{Exo}(2 points) \textbf{Cours}\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Donner la définition du produit scalaire (la première)
|
||||
\item Donner l'expression du produit scalaire avec les angles et la norme des vecteurs.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver de la fonction $f$ définie de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%DONE
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + \dfrac{1}{3}$.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $f$.
|
||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-6;7]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,25cm sur l'axe des abscisse et 1cm sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Déterminer l'équation de la tangente, $\Delta$ à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse 2. La tracer sur le graphique. On notera $\delta(x) = mx + p$ la fonction assiciee à $\Delta$.
|
||||
\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - \delta(x)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad \dfrac{1}{3}( x^3 - 3x^2+4) = \dfrac{1}{3}\left( x-2 \right)^2\left( x+1 \right)$
|
||||
\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item(Dure) Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=-8x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}(7 points)\\
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||||
%DONE
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||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
|
||||
On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f : x &\mapsto& \frac{\frac{-13}{3}x + 1}{x-3} \\
|
||||
g : x &\mapsto& x
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h :x \mapsto \frac{-x^2 + \frac{4}{3}x + 1}{x-3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h'(x) = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(x-3)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et étudier le sens de variation de $h$.
|
||||
\item Montrer que sur $]3 \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_Finlande.pdf
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{subfig}
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% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
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\author{}
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\date{19 fervrier 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{center}
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||||
\textbf{Sujet Finlande}\\
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||||
\end{center}
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||||
Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
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||||
|
||||
\begin{Exo}(5 points)\\
|
||||
Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver des fonctions $f$ et $g$ définies de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \sqrt{x}\left( x^{30} + \frac{1}{x} \right) \\
|
||||
g:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = -x^3 - x^2 + x + 3$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $f$.
|
||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;2]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,5cm sur l'axe des abscisse et 2cm sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Déterminer l'équation de la tangente,$T$, à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse -2. La tracer sur le graphique. Dans la suite, on notera $t(x)$ la fonction associée à $T$.
|
||||
\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $T$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - t(x)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad x^3-\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4} = (x+1)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2$
|
||||
\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=9x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(7 points)\\
|
||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
|
||||
On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f : x \mapsto \frac{x-1}{3-2x} \quad
|
||||
g : x \mapsto -\frac{1}{2}x
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h :x \mapsto \frac{x^2 - \frac{1}{2}x - 1}{3-2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h'(x) = \frac{-2x^2 + 6x - \frac{7}{2}}{(3-2x)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et étudier le sens de variation de $h$.
|
||||
\item Montrer que sur $]\dfrac{3}{2} \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv_corr.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv_corr.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv_corr.tex
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@@ -0,0 +1,219 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{subfig}
|
||||
\usepackage{variations}
|
||||
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||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation correction}
|
||||
\author{}
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||||
\date{19 fervrier 2013}
|
||||
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
Tous les calculs ne sont pas explicités. Il faut les refaire, lire des calculs n'apprend pas à les faire.
|
||||
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||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2(x^2-8)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étude du sens de variation de $f$
|
||||
|
||||
$f$ est une fonction polynôme donc le domaine de définition est $\R$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
D_f = \R
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Pour dériver, on a deux solutions. Soit on développe $f(x) = \dfrac{1}{2}x^4 - 4x^2$ puis on dérive. Soit on remarque que $f(x) = u(x)\times v(x)$ et on dérive en utilisant la formule. Les deux méthodes donnent bien entendu le même résultat.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) &=& 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4)\\
|
||||
\mbox{On peut utiliser une identité remarquable} &=& 2x(x-2)(x+2)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
On étudie ensuite le signe de $f'$. Si l'on n'a pas vu que l'on pouvait factoriser en utilisant un identité remarquable, la méthode du discriminant marche très bien (je vous conseil de le faire ainsi, la méthode du discriminant marche toujours - je rédige de cette façon dans le deuxième exercice).
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||||
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{variations}
|
||||
x & \mI & & -2 & & 0 & & 2 & & \pI \\
|
||||
\filet
|
||||
2x & \ga- & \l & - & \z & + & \l & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
x+2 & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
x-2 & \ga- & \l & - & \l & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
f'(x) & \ga- & \z & + & \z & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
f(x) & & \d &\b{-8} & \c & \h0 & \d& \b{-8}& \c & \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
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||||
\item On place les points -2, 0, 2 sans oublier les \textbf{tangentes horizontales}. On calcule et on place $f(-3)$ et $f(3)$. Puis on rejoint les points en n'oubliant pas d'être proche de la tangente aux points -2, 0 et 2.
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||||
\item Équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en 1
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
y &=& f'(1)(x-1) + f(1) \\
|
||||
&=& -6(x-1) - \frac{-7}{2} \\
|
||||
y &=& -6x + \frac{5}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item D'après le tableau de variations, on remarque $f'$ s'annule en -2, 0 et 2 en changeant de signe. Nous avons donc trois extrema locaux. En -2 et 2, ce sont des minimum et ils sont globaux car d'après le tableau de variations, $f$ ne descend pas en dessous de -8. En 0, c'est un maximum mais il n'est pas global car par exemple $f(3) = \dfrac{9}{2}$ est plus grand que $f(0) = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\begin{Exo}(5 points)\\
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||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
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||||
Soit $g$ la fonction suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
g :x \mapsto \frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étude du sens de variation de $g$.
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||||
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||||
$g$ est une fonction avec un dénominateur, il y a donc peut être une valeur interdite. Cherchons quand le dénominateur s'annule.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
1-2x = 0 &\equiv& x = \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $\dfrac{1}{2}$ est une valeur interdite. Donc le domaine de définition est
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
D_g = \R \backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Dérivons $g$. On remarque $f$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$, on la dérive en utilisant la formule associée (à vous de le faire) et on trouve
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g'(x) = \frac{6x^2 - 6x - 12}{(1-2x)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\textbf{On ne développe pas le dénominateur!!}
|
||||
|
||||
On étudie le signe de $g'$. Pour cela on étudie séparément le dénominateur et le numérateur. Le dénominateur est un carré donc toujours positif.
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||||
|
||||
Pour le numérateur ($6x^2 - 6x - 12$), on utilise la méthode du discriminant.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta &=& b^2 - 4ac = \left( -6 \right)^2 - 4 \times 6 \times (-12) \\
|
||||
&=& 324
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$\Delta$ est positif, il y a donc 2 racines et le numérateur est du signe de $a$ (6 donc positif) en dehors des racines. Calculons les racines
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = -2 \\
|
||||
x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
On en déduit le signe de $g'$ puis les variations de $g$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{variations}
|
||||
x & \mI & & -2 & & \frac{1}{2} & & 1 & & \pI \\
|
||||
\filet
|
||||
(1-2x)^2 & \ga+ & \l & + & \bb & + & \l & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
6x^2-6x-12 & \ga+ & \z & - & \bb & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
g'(x) & \ga+ & \z & - & \bb & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
g(x) & & \c &\h{-3} & \d & \bb & \d & \b8 & \c & \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\item Cherchons les points où la courbe représentant $g$ est au dessus de $\Delta$ ce qui se traduit de la manière suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
g(x) \geq \frac{3}{2}x - 1 & \equiv &\frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x} \geq \frac{3}{2}x - 1 \\
|
||||
& \equiv & \frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x} - \frac{(\frac{3}{2}x - 1)(1-2x)}{1-2x} \geq 0\\
|
||||
& \equiv & \frac{-3x^2 + 2x - 7 + 3x^2 - \frac{7}{2}x + 1}{1-2x} \geq 0 \\
|
||||
& \equiv & \frac{\frac{3}{2}x - 6}{1-2x} \geq 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On établit le tableau de signe de $\dfrac{\frac{3}{2}x - 6}{1-2x}$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{variations}
|
||||
x & \mI & &\frac{1}{2} & & 4 & & \pI \\
|
||||
\filet
|
||||
1-2x & \ga+ & \bb & - & \l & \dr- \\
|
||||
\filet
|
||||
\frac{3}{2}x - 6& \ga- & \bb & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
\frac{\frac{3}{2}x - 6}{1-2x} %
|
||||
& \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
Donc $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\Delta$ sur $\left] \dfrac{1}{2} \; ; \; 4 \right]$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(4 points)\\
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||||
% Manipulation de graphique
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item On remarque que $h$ est décroissante en 2,5 donc $h'(2,5)$ est négative. De même pour $h'(1)$.
|
||||
\item Par lecture graphique, on remarque que $h(-1) = 0$ et $h'(-1) = 1$. On en déduit l'équation de la tangente en -1
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
y &=& h'(-1)(x+1) + f(-1) \\
|
||||
y &=& x + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On déduit le tableau de signe de $h'$ à partir du tableau de variations de $h$.
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{variations}
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||||
x & -3 & & -2 & & 0 & & 3 \\
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||||
\filet
|
||||
h(x) & & \d &\b{-1} & \c &\h{0.5}& \d & \\
|
||||
\filet
|
||||
h'(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item On remarque que le seul graphique qui correspond au tableau de signe trouvé dans la question précédente est le troisième. La réponse est donc la graphique c.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
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||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}(3 points)\\
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $f:x \mapsto (3x^2 + 2x - 1) \sqrt{x}$
|
||||
|
||||
$f$ est une fonction avec un racine. Donc le domaine de définition est $\left[ 0 \; ; \; +\infty \right[$ et le domaine de dérivation est $\left] 0 \; ; \; + \infty \right]$.
|
||||
|
||||
$f$ est du type $f(x) = u(x) \times v(x)$ avec
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u(x) = 3x^2 + 2x - 1 & \mbox{ donc } & u'(x) = 6x + 2 \\
|
||||
v(x) = \sqrt{x} & \mbox{ donc } & v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) &=& u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \left( 6x + 2 \right)\sqrt{x} + (3x^2 + 2x -1)\frac{1}{2\sqrt{x}}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On pourrai aller plus loin dans la simplification mais ce n'est pas le but de cet exercice.
|
||||
\item $g:x \mapsto \dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}$
|
||||
|
||||
$g$ est une fonction avec un dénominateur qui peut s'annuler et une racine. Cherchons la valeur interdite
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x-1 = 0 &\equiv& x = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On en déduit le domaine de définition $\left[ 0 ; 1 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[$. Et le domaine de dérivation est $\left] 0 ; 1 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[$.
|
||||
|
||||
On remarque que $g(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u(x) = \sqrt{x} & \mbox{ donc } & u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\
|
||||
v(x) = x-1 & \mbox{ donc } & v'(x) = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g'(x) &=& \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\
|
||||
&=& \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x-1) - \sqrt{x}}{(x-1)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On pourrai aller plus loin dans la simplification mais ce n'est pas le but de cet exercice.
|
||||
|
||||
\item $h:x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - 1}$
|
||||
|
||||
On remarque qu'il y a un dénominateur qui peut s'annuler. Cherchons les valeurs interdites.
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x^2 - 1 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On peut utiliser la méthode du discriminant ou alors utiliser une identité remarquable $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. On a alors deux solutions 1 et -1.
|
||||
|
||||
On a donc deux valeurs interdites -1 et 1. Donc le domaine de définition est $\left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] -1 ; 1 \right[ \cup \left] 1; +\infty \right[$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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||||
%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
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||||
BIN
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BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Ch.pdf
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1S/DS/DS_130219/fig/Ch.tex
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1S/DS/DS_130219/fig/Ch.tex
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@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{1/EXP((x+1)) *(x+2)*(x+2) - 1}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.pdf
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BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.pdf
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1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.tex
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1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.tex
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@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{-x*(x+2) / EXP(x+1)}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.pdf
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1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.pdf
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1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.tex
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7
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.tex
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@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{-(x-1)*(x+1) / EXP(x)}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.pdf
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BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.pdf
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1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.tex
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7
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{-(1/EXP((x+1)) *(x+2)*(x+2) - 1)}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/fonctions.ggb
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BIN
1S/DS/DS_130219/fig/fonctions.ggb
Normal file
Binary file not shown.
26
1S/DS/DS_130219/fig/pstricks.sh
Normal file
26
1S/DS/DS_130219/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-plot}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
55
1S/DS/DS_130219/index.rst
Normal file
55
1S/DS/DS_130219/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,55 @@
|
||||
Notes sur DS 130219
|
||||
###################
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||||
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||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Dérivation, Fonctions
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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||||
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`Lien vers DS_appl_derv.tex <DS_appl_derv.tex>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_2.pdf <DS_appl_dervBis_2.pdf>`_
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`Lien vers DS_appl_derv_corr.pdf <DS_appl_derv_corr.pdf>`_
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`Lien vers DS_appl_derv_corr.tex <DS_appl_derv_corr.tex>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_Finlande.pdf <DS_appl_dervBis_Finlande.pdf>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_2.tex <DS_appl_dervBis_2.tex>`_
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`Lien vers DS_appl_derv.pdf <DS_appl_derv.pdf>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_1.pdf <DS_appl_dervBis_1.pdf>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_1.tex <DS_appl_dervBis_1.tex>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_Finlande.tex <DS_appl_dervBis_Finlande.tex>`_
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||||
`Lien vers fig/Chderv_bad1.pdf <fig/Chderv_bad1.pdf>`_
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`Lien vers fig/Chderv.pdf <fig/Chderv.pdf>`_
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`Lien vers fig/Ch.tex <fig/Ch.tex>`_
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`Lien vers fig/Chderv_bad1.tex <fig/Chderv_bad1.tex>`_
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`Lien vers fig/Chderv_bad2.pdf <fig/Chderv_bad2.pdf>`_
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|
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`Lien vers fig/fonctions.ggb <fig/fonctions.ggb>`_
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`Lien vers fig/Ch.pdf <fig/Ch.pdf>`_
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`Lien vers fig/Chderv_bad2.tex <fig/Chderv_bad2.tex>`_
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`Lien vers fig/Chderv.tex <fig/Chderv.tex>`_
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DS trop long. Il faut impérativement enlever le dernier exercice.
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Beaucoup d'erreurs dans le calcul de la dérivée. Certaines personnes ne pense même pas à dériver pour étudier le sens de variation. Il faudrai peut être plus détailler les questions à propos du sens de variations. Et en particulier donner la dérivée pour qu'ils puissent faire le sens de variations correctement.
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||||
Il faudrai aussi ajouter qu'ils pensent à justifier dans l'exercice 4
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5
1S/DS/DS_130219/notes
Normal file
5
1S/DS/DS_130219/notes
Normal file
@@ -0,0 +1,5 @@
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||||
DS trop long. Il faut impérativement enlever le dernier exercice.
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Beaucoup d'erreurs dans le calcul de la dérivée. Certaines personnes ne pense même pas à dériver pour étudier le sens de variation. Il faudrai peut être plus détailler les questions à propos du sens de variations. Et en particulier donner la dérivée pour qu'ils puissent faire le sens de variations correctement.
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Il faudrai aussi ajouter qu'ils pensent à justifier dans l'exercice 4
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