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644
1S/DS/DC_02/DC_02.tex
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644
1S/DS/DC_02/DC_02.tex
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@@ -0,0 +1,644 @@
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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classExamen}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{Première S}
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\date{10 février 2015}
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\duree{3 heures}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{Devoir Commun}
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\ptpres{4}
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\printanswers
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\begin{document}
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\titlepage
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\begin{questions}
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\question[9]
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\begin{parts}
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%1
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||||
\part Tracer un repère orthonormé et placer les points $A(-3;2)$, $B(-2;-3)$ et $C(8;1)$.
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
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\draw (-5,-5) grid (10,10);
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||||
\repere{-5}{10}{-5}{10}
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\draw (-3,2) node {$\bullet$} node [above right] {$A$};
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||||
\draw (-2,-3) node {$\bullet$} node [above right] {$B$};
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||||
\draw (8,1) node {$\bullet$} node [above right] {$C$};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
\end{solution}
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%2
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||||
\part Tracer la droite $(BC)$ puis calculer une équation cartésienne de cette droite.
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||||
\begin{solution}
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||||
Pour répondre à cette question, il y a deux méthodes.
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\begin{itemize}
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||||
\item \textbf{Méthode 1} Où l'on cherche un vecteur directeur qui nous permet d'avoir la première partie de l'équation puis un point de cette droite permet de retrouver $c$.
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||||
\item \textbf{Méthode 2} Où l'on utilise 2 vecteurs directeurs dont un avec un point fixe puis la formule de la colinéarité permet de trouver l'équation.
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||||
\end{itemize}
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||||
Ces deux méthodes vont être faites ici. Les élèves de premières S2 sont invités à prendre connaissance de la 2e méthode, on l'utilisera plus tard dans un future chapitre.
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\textbf{Méthode 1}\\
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||||
Calcul de l'équation cartésienne de la droite $\left( BC \right)$.
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||||
On commence par déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de $\left( BC \right)$
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\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{BC} & = & \vectCoord{x_C - x_B}{y_C - y_B} = \vectCoord{8 - (-2)}{1 - (-3)} = \vectCoord{10}{4}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Donc on en déduit l'équation cartésienne de $\left( BC \right)$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
4x - 10y + c & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Il reste à trouver $c$ pour cela on utilise le point $C$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
C(8,1) \in \left( BC \right) &\equiv & 4\times 8 - 10 \times 1 + c = 0\\
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||||
&\equiv& c = -22
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc une équation cartésienne de $\left( BC \right)$ est
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
4x - 10y - 22 & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
On peut vérifer que l'on s'est pas trompé en vérifiant que $B$ est bien un point de cette droite
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\begin{eqnarray*}
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||||
4\times(-2) - 10\times(-3) - 22 & = & -8 + 30 - 22 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Le point $B$ est donc bien un point de cette droite.
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||||
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||||
\textbf{Méthode 2}\\
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||||
Comme pour la méthode 1, on retrouve les coordonnées du vecteur $\vec{BC} \vectCoord{10}{4}$.
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||||
On prend un point quelconque $M(x;y)$ de la droite $(BC)$ et on calcule les coordonnées de $\vec{BM}$:
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{BM} & = & \vectCoord{x_M - x_B}{y_M - y_B} = \vectCoord{x - (-2)}{y-(-3)} = \vectCoord{x + 2}{y+3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $\vec{BC}$ et $\vec{BM}$ sont colinéaires, on sait que $xy' - x'y = 0$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
4(x+2) - 10(y+3) = 0 & \equiv & 4x + 8 - 10y - 30 = 0 \\
|
||||
&\equiv& 4x - 10y - 22 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
On retrouve bien la même équation qu'avec la méthode 1. Même si ce ne sera pas fait, cette méthode s'applique aux questions suivantes.
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||||
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||||
\end{solution}
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||||
\part
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\begin{subparts}
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%1
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||||
\subpart Tracer la droite $(d_1)$ passant par $A$ et qui a pour vecteur directeur $\vec{v} \vectCoord{5}{2}$.
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%2
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||||
\subpart Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d_1)$.
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||||
\begin{solution}
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||||
Comme $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\left( d_1 \right)$, on a la première partie de son équation cartésienne
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
2x - 5y + c & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On utilise le point $A$ pour déterminer $c$
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
A(-3;2)\in \left( d_1 \right) & \equiv & 2\times(-3) - 5\times 2 + c = 0 \\
|
||||
&\equiv& c = 16
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc une équation cartésienne de $\left( d_1 \right)$ est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2x - 5y + 16 & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
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||||
\end{subparts}
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||||
%1
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||||
\part Les droites $(BC)$ et $(d_1)$ sont-elles parallèles?
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||||
\begin{solution}
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||||
Ces droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
xy' - x'y & = & 10\times2 - 4\times5 = 20-20 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Donc leurs vecteurs directeurs sont colinéaires donc les droites $\left( BC \right)$ et $\left( d_1 \right)$ sont parallèles.
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||||
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||||
\end{solution}
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||||
%2
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||||
\part Soit $(d_2)$ la droite d'équation $3x - 4y + 3 = 0$. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles?
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||||
\begin{solution}
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||||
On commence par déterminer un vecteur directeur,$\vec{w}$, de la droite $\left( d_2 \right)$:
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{w} = \vectCoord{-b}{a} = \vectCoord{4}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On vérifie si $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
xy' - x'y & = & 4\times2 - 3\times5 = 12 - 15 = -3 \neq 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Donc les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires donc les droites $\left( d_1 \right)$ et $\left( d_2 \right)$ ne sont pas parallèles.
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||||
\end{solution}
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||||
|
||||
\end{parts}
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||||
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||||
\question[4]
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||||
Soit $f$ la fonction définie par
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f:x& \mapsto & 2x^3 + 21x^2 - 180x + 6
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
Tracer le tableau de variation de cette fonction.
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||||
\begin{solution}
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||||
Pour tracer le tableau de variation de $f$, il faut commencer par la dériver.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f'(x) & = & 2\times3\times x^2 + 21\times2 \times x - 180 \\
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||||
f'(x) & = & 6 x^2 + 42 x - 180
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Ensuite on étudie le signe de $f'$, pour cela on utilise la méthode du discriminant
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2 - 4ac = 42^2 - 4\times6\times(-180) = 1764 + 4320 = 6084
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Ici $\Delta > 0$, il y a donc deux racines
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-42 - \sqrt{6084}}{2\times6} = -10 \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-42 + \sqrt{6084}}{2\times6} = 3
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Comme $a = 6 > 0$, on en déduit le tableau de signe de $f'$ puis les variations de $f$
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
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||||
{$x$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/3}%
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||||
{$-\infty$, -10, 3, $+\infty$}
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||||
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
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||||
\tkzTabVar{-/{}, +/{$f(-10)$}, -/{$f(3)$}, +/{}}
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||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Avec
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f(-10) & = & 2\times(-10)^3 + 21\times(-10)^2 - 180\times (-10) + 6 = 1906\\
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||||
f(3) & = & 2\times3^3 + 21\times3^2 - 180\times 3 + 6 = -291
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
|
||||
\question[8]
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||||
% depuis l'exo 69 p 258
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||||
Une machine déverse du caoutchouc de façon continue dans un moule pour fabriquer des joints d'étanchéité que l'on utilise dans l'industrie automobile. On veut contrôler la régularité de l'écoulement du caoutchouc dont les variations affectent les dimensions du joint. On effectue alors des mesures sur cette machine. On obtient des masses de caoutchouc en grammes, chacune étant obtenue par un écoulement de caoutchouc d'une durée de 30~secondes. On a obtenu 20 mesures.
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||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
269,7 &263,6&264,4&259,7&262,4 \\
|
||||
\hline
|
||||
263,4&260,7&265&267&265,6\\
|
||||
\hline
|
||||
268,8&260,3&263,4&267,6&264,1 \\
|
||||
\hline
|
||||
272,9&264,5&266,2&265,9&265,3 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{parts}
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||||
\part Déterminer la moyenne, l'écart-type, la médiane, les quartiles et l'écart interquartile de cette série.
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||||
\begin{solution}
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||||
Cette question pouvait être faite avec la calculatrice.
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||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/calc1}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/calc2}
|
||||
\end{center}
|
||||
Voici les résultats donnés par un tableur
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.5]{./fig/stat_corr}
|
||||
\end{center}
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||||
La seule différence entre les 2 est $Q_3$. Dans la suite, on choisira la valeur de la calculatrice.
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||||
\end{solution}
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||||
%Voir le tableur pour les valeurs
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||||
\part Construire un diagramme en boîte permettant une première analyse. \label{part:diag_boite}
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||||
\begin{solution}
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||||
Diagramme en boite de cette analyse:
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||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[xscale = 0.7]
|
||||
\tkzInit[xmin=255,xmax=274,xstep=1]
|
||||
\boxplot{1}{259.7}{263.4}{264.75}{266.6}{272.9}
|
||||
\foreach \x in {255,256,...,274} \draw(\x,0)node[rotate=90] {$-$} node[below]{\x};
|
||||
\draw[->] (255,0) -- (275,0);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Quel pourcentage des valeurs obtenues lors de ce contrôle se trouvent entre 263,4 et 266,4? %entre Q1 et Q3 vérification par le tableur.
|
||||
\begin{solution}
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||||
\textbf{Avec les valeurs du tableur} on peut répondre de cette façon:\\
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||||
On remarque que $Q_1 = 263,4$ et $Q_3 = 266,4$, donc entre ces deux valeurs, il y a 50\% des données.
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||||
|
||||
\textbf{Avec les valeurs de la calculatrice} on peut compter les données entre ces deux valeurs puis calculer la fréquence.
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||||
\end{solution}
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||||
\part Le statisticien J.W Tukey qualifiait d'aberrantes les valeurs d'une série statistique qui se situaient à l'extérieur de l'intervalle: $\intFF{Q_1 - 1,3\times I}{Q_3 + 1,3\times I}$, où \textbf{$I$ désigne l'écart interquartile}, $Q_1$ le premier quartile et $Q_3$ le troisième quartile.
|
||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart Le contrôle sur la machine fait-il apparaître des valeurs aberrantes? Lesquelles?
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||||
\begin{solution}
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||||
On commence par calculer les bornes de cet intervalle. Pour cela il faut calculer $I$ l'écart interquartile
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
I & = & Q_3 - Q_1 = 266,6 - 263,4 = 3,2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Puis les bornes
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Borne inferieur : $Q_1 - 1,3\times I = 263,4 - 1,3\times 3,2 =259,1$
|
||||
\item Borne supérieur : $Q_3 + 1,3\times I = 266,4 + 1,3\times 3,2 =270,8$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
On peut compter seulement une valeur aberrante qui est $272,9$.
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||||
\end{solution}
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||||
\subpart Quel est le pourcentage de valeurs aberrantes?
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||||
\begin{solution}
|
||||
Pourcentage de valeurs aberrantes:
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\frac{1}{20} & = & 0,05 = 5\%
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
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||||
\part Il existe plusieurs méthodes de construction d'un diagramme en boîte. Voici une forme, légèrement différente de celle vu en cours, utilisée par J.W. Tukey pour faire apparaître les valeurs qualifiées d'aberrantes:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Le rectangle central est inchangé: la limite inférieure est fixée au premier quartile, la limite supérieure au troisième quartile et une ligne, donnant la position de la médiane, coupe le rectangle.
|
||||
\item Les "moustaches" sont elles modifiées: leur longueur vaut 1,3 fois l'écart interquartile. Ainsi, les deux extrémités des "moustaches" ont pour valeurs: $Q_1 - 1,3\times I$ et $Q_3 + 1,3\times I$.
|
||||
\item Les valeurs situées hors de ces "moustaches" correspondent aux observations aberrantes et sont représentées chacune par un point.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart En utilisant la même graduation qu'à la question~\ref{part:diag_boite}, construire un tel diagramme en boîte correspondant aux valeurs de la série.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[xscale = 0.7]
|
||||
\tkzInit[xmin=255,xmax=274,xstep=1]
|
||||
\boxplotNoNames{1}{259.5}{263.4}{264.75}{266.4}{270.3}
|
||||
\draw (272.9,1) node {$\bullet$};
|
||||
\foreach \x in {255,256,...,274} \draw(\x,0)node[rotate=90] {$-$} node[below]{\x};
|
||||
\draw[->] (255,0) -- (275,0);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Comparer les deux diagrammes.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On remarque que le corps du diagramme en boite n'a pas changé. Seul la moustache de droite a été modifiée.
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||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
%\question[8]
|
||||
%Un technicien est chargé de réparer les ordinateurs. Les composants à l'origine de la panne peuvent être uniquement l'alimentation, la carte graphique ou le processeur. Une panne simultanée de deux ou trois composants est possible.
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||||
|
||||
%Le technicien établie un diagnostique d'un ordinateur à l'aide d'un triplet utilisant les initiales des composants surmonté d'une barre en cas de panne. Voici deux diagnostiques possibles:
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||||
%\begin{itemize}
|
||||
% \item $(A;CG;\bar{P})$ signifie que l'alimentation et la carte graphique marchent mais que le processeur est en panne.
|
||||
% \item $(\bar{A};CG;\bar{P})$ signifie que la carte graphique marche mais que l'alimentation et le processeur sont en panne.
|
||||
%\end{itemize}
|
||||
|
||||
%\begin{parts}
|
||||
% \part Établir la liste des diagnostiques possibles sur un ordinateur.
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||||
% \fullwidth{ Dans la suite, on supposera que ces diagnostiques ont la même probabilité d'être établis}
|
||||
% \part Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer
|
||||
% \begin{center}
|
||||
% \begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
|
||||
% \hline
|
||||
% Composant & Alimentation & Carte graphique & Processeur \\
|
||||
% \hline
|
||||
% Prix (en euros) & 80 & 160 & 80 \\
|
||||
% \hline
|
||||
% \end{tabular}
|
||||
% \end{center}
|
||||
% Il faut ajouter 25\euro de main-d'oeuvre (forfait indépendant du nombre de composants à remplacer) au coût des composants pour obtenir le coût de réparation.
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||||
|
||||
% Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation.
|
||||
|
||||
% Donner la loi de probabilité de $X$.
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||||
% \part Calculer l'espérance mathématique de $X$. Commenter le résultat.
|
||||
% \part Calculer l'écart-type de $X$.
|
||||
% \part Quel devrait être le coût du forfait de main-d'oeuvre, arrondi à l'unité, pour que le prix moyen d'une réparation soit de 200\euro?
|
||||
|
||||
|
||||
%\end{parts}
|
||||
|
||||
\clearpage
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||||
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||||
\question[10]
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||||
L'entreprise \textit{Bibuild} veut lancer une nouvelle gamme de visseuse sur le marché. Elle a fait appel à une entreprise experte qui lui a fait les rapports suivants.
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||||
|
||||
\fullwidth{
|
||||
\fbox{
|
||||
\parbox{\textwidth}{
|
||||
\textbf{Étude de marché:}\\
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||||
Dans ce rapport, $x$ représente le prix d'une visseuse. Ce prix est limité à 130\euro\; après quoi l'étude suivante perd son sens.
|
||||
|
||||
Notre étude nous a amené à modéliser l'offre et la demande par les deux fonctions suivantes:
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{.45\textwidth}
|
||||
La fonction d'offre est donnée par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
O(x) & = & -0,001x^2 + 2,3x
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
La fonction de demande est donnée par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
D(x) & = & 0,01x^2 - 2,6x + 350
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hspace{0.5cm}
|
||||
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/offre_demande}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Nous vous rappelons que pour qu'une entente soit trouvée entre l'acheteur et le vendeur, il faut que l'offre soit égale à la demande. On appelle alors \textit{prix d'équilibre du produit} le prix pour lequel l'offre est égale à la demande.
|
||||
}}}
|
||||
|
||||
|
||||
\fullwidth{
|
||||
\fbox{
|
||||
\parbox{\textwidth}{
|
||||
\textbf{Étude de la production}\\
|
||||
Ici $x$ représente la quantité de visseuses. Les capacités de l'usine font que la production est limitée à 300 visseuses.
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||||
Coût de production
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
C(x) & = & 0,3x^2 + 3x + 3000
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/cout}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Nous vous rappelons que les bénéfices se calculent de la manière suivante
|
||||
\begin{center}
|
||||
Bénéfices = Recettes - Coûts
|
||||
\end{center}
|
||||
}}}
|
||||
|
||||
\clearpage
|
||||
|
||||
|
||||
\fullwidth{
|
||||
\textbf{Analyse de l'étude de marché}
|
||||
|
||||
L'étude de marché va permettre de déterminer le prix optimal d'une visseuse.
|
||||
}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer \textbf{graphiquement} le nombre de produits offerts et le nombre de produits demandés lorsque le prix du produit est de 18\euro.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
À cette question, il est mal vu de reprendre les résultats du calcul de la question suivante surtout quand la précision du graphique ne le permet pas ou que les calculs sont faux...
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Retrouver ces résultats par le calcul.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Nombre de produits offerts
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
O(18) & = & -0,001\times18^2 + 2,3\times 18 \approx 41
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Nombre de produits demandés
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
D(18) & = & 0,01\times18^2 - 2,6\times 18 + 350 \approx 306
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Dans ce cas là, y a-t-il plus d'offre ou de demande?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Pour des visseuses à 18\euro la demande est plus forte que l'offre.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Donner un prix où la situation est inversée.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Si une visseuse coûte 110\euro, l'offre serait plus forte que la demande.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\part Pour que l'entreprise puisse vendre tout ce qu'elle produit, il faut qu'elle fixe le prix de ces visseuses au prix d'équilibre. Déterminer ce prix et la quantité échangée associée.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On cherche le prix, $x$, pour que l'offre, $O(x)$, soit égale à la demande, $D(x)$. On résout donc l'équation suivante:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
O(x) = D(x) & \equiv & -0,001x^2 + 2,3x = 0,01x^2 - 2,6x + 350 \\
|
||||
& \equiv & -0,001x^2 - 0,01x^2 + 2,3x + 2,6x - 350 = 0 \\
|
||||
& \equiv & -0,011x^2 + 4,9x - 350 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On reconnait une équation de 2nd degré.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2 - 4ac\\
|
||||
&=& 4,9^2 - 4 \times (-0,011) \times (-350) \\
|
||||
&=& 8,61
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$\Delta$ est positif, il y a donc deux solutions
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4,9 - \sqrt{8,61}}{2\times(-0,011)} = 356.10\\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4,9 + \sqrt{8,61}}{2\times(-0,011)} = 89.35\\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La première solution ne correspond pas à un prix acceptable pour l'expert car $x$ est limité entre 0 et 130.
|
||||
|
||||
Donc le prix d'équilibre est donc 89,35\euro.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\fullwidth{
|
||||
\textbf{Analyse de la production}
|
||||
|
||||
Le gérant de l'entreprise, après avoir lu l'étude de marché, fixe le prix d'une visseuse à 89,99\euro. Il doit maintenant déterminer combien de visseuses son entreprise doit produire pour maximiser ses bénéfices.
|
||||
}
|
||||
\part Déterminer la fonction $R$ qui calcule les recettes à partir du nombre de visseuses $x$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Comme chaque visseuse est vendue 89,99\euro, les recettes sont données par la fonction suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
R(x) & = & 89,99x
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Combien doit-il produire de visseuses pour que ses bénéfices soient maximaux?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On commence par déterminer la fonction bénéfice
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
B(x) &= & R(x) - C(x) \\
|
||||
&=& 89,99x - (0,3x^2 + 3x + 3000) \\
|
||||
&=& -0,3x^2 + 86,99x - 3000
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Pour déterminer le nombre de visseuses pour que les bénéfices soient maximaux il faut avoir le tableau de variation de $B$. Pour cela il y a deux méthodes.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item En dérivant $B$ puis en étudiant le signe de $B'$ pour trouver le sens de variation de $B$.
|
||||
\item En utilisant le chapitre sur la forme canonique. C'est cette méthode qui va être détaillé ici.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
On calcule les coordonnées du sommet de la parabole
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\alpha & = & \frac{-b}{2a} = \frac{-86,99}{2\times(-0,3)} \approx 144,98\\
|
||||
\beta & = & -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = 3306,05
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $a = -0,3 < 0$ on en déduit le tableau de variation
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=4,lgt=3]%
|
||||
{$x$/1, {Variation de \\ $B(x)$}/3}%
|
||||
{$-\infty$, {$\alpha = 144,98$}, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabVar{-/{}, +/{$\beta = 3306,05$}, -/{}}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Comme un nombre de visseuse est un nombre entier, il faut choisir entre $x=144$ et $x = 145$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
B(144) & = & -0,3\times144^2 + 86,99\times 144 - 3000 = 3305,76\\
|
||||
B(145) & = & -0,3\times145^2 + 86,99\times 145 - 3000 = 3306,04
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Les bénéfices sont maximaux pour 145 visseuses vendues. L'entreprise fait alors 3306,04\euro de bénéfices.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\part Combien de zavisseuses doit-il produire pour que ses bénéfices soient supérieurs à 3000\euro?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Dans cette question, toute trace de recherche était valorisée. Voici quelques possibilités pour approcher le résultat.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Faire un tableau de valeur avec la calculatrice et déterminer les quantités
|
||||
\item Faire un graphique et retrouver ces nombre.
|
||||
\item Résoudre l'inéquation $B(x) > 3000$. C'est cette méthode qui est utilisée ici.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Pour que les bénéfices soient supérieurs à 3000\euro, il faut trouver les valeurs de $x$ tels que $B(x) > 3000$ ou encore résoudre l'équation suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-0,3x^2 + 86,99x - 3000 > 3000 &\equiv & -0,3x^2 + 86,99x - 6000> 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On utilise la méthode du discriminant.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2 - 4ac = 86,99^2 - 4\times (-0,3) \times (-6000) \\
|
||||
& = & 367.26
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Ici $\Delta > 0$, il y a donc deux racines
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-86,99 - \sqrt{367,26}}{2\times(-0,3)} = 176,92 \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-86,99 + \sqrt{367,26}}{2\times(-0,3)} = 113,04 \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Ici $a = -0,3 < 0$ on en déduit le tableau de signe suivant
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=3, lgt=4]%
|
||||
{$x$/1, {Signe de \\$-0,3x^3 + 86,99x - 6000$}/2}%
|
||||
{$-\infty$, 0, 2, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
|
||||
Donc les bénéfices sont supérieurs à 3000\euro quand la production est comprise entre 114 et 176 visseuses.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\clearpage
|
||||
|
||||
\question[5]
|
||||
\begin{itshape}
|
||||
Cet exercice est un questionnaire à choix multiplies (QCM).
|
||||
|
||||
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.
|
||||
|
||||
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
|
||||
|
||||
Une réponse juste rapporte 1~point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.
|
||||
|
||||
\end{itshape}
|
||||
|
||||
\hspace{-1cm}
|
||||
\begin{tabular}{|c|m{5.5cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}m{3.5cm}|}}
|
||||
\hline
|
||||
&& A & B & C \\
|
||||
\hline
|
||||
1&Placer l'angle $\alpha = \dfrac{-5\pi}{4}$. &
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\cellcolor{green}
|
||||
\fi
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.8ex]current bounding box.center)}]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (135:1) node[rotate=135] {$-$} node[above left] {$\alpha$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.8ex]current bounding box.center)}]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (225:1) node[rotate=225] {$-$} node[below left] {$\alpha$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.8ex]current bounding box.center)}]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (90:1) node[rotate=90] {$-$} node[above right] {$\alpha$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
\hline
|
||||
2&Donner la mesure principale de l'angle $\dfrac{2015\pi}{4}$ &
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\cellcolor{green}
|
||||
\fi
|
||||
$\dfrac{-1}{4}\pi$ & %Good one
|
||||
$\dfrac{7}{4}\pi$ &
|
||||
$503,75\pi$ \\
|
||||
\hline
|
||||
3&Convertir en degrés $\frac{-5\pi}{3}$ &
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\cellcolor{green}
|
||||
\fi
|
||||
300& % Good one
|
||||
-300&
|
||||
60\\
|
||||
\hline
|
||||
4&Calculer le nombre dérivé en -3 de $f:x\mapsto x^2 - 4x - 1$ &
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\cellcolor{green}
|
||||
\fi
|
||||
-10 & %Good one
|
||||
$10 + h$&
|
||||
-2 \\
|
||||
\hline
|
||||
5&Déterminer l'équation réduite de la tangente en 1 de la fonction suivante
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
||||
\repere{-2}{4}{-1}{4}
|
||||
\draw[very thick, domain=-2:4, color=red] plot [samples=300] (\x, {cos(pi*deg(\x)/2) + 1});
|
||||
\clip (-2,-1) rectangle (4,4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\cellcolor{green}
|
||||
\fi
|
||||
$y = -x + 2$&
|
||||
$y = x + 2$&
|
||||
$y = 2x + 1$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On ne demandait de justifier le QCM mais voici les explications.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item La réponse $B$ correspond à un angle de $\frac{5\pi}{4}$ et la réponse $C$ correspond à un angle de $\frac{\pi}{2}$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{2015\pi}{4} = \frac{-\pi}{4} + \frac{2016\pi}{4} = \frac{-\pi}{4} + 252\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$252\pi$ correspond à 126 tours complets. La mesure principale de l'angle $\frac{2015\pi}{4}$ est donc $\frac{-\pi}{4}$ qui est bien dans $\intOF{-\pi}{\pi}$.
|
||||
\item Pour convertir en degré, on peut faire un produit en croix ou directement le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{-5\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} & = & \frac{-5\times 180}{3} = -300
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Or un angle en degré n'est pas orienté donc il n'a pas de signe. La réponse est donc $300$.
|
||||
\item Pour calculer le nombre dérivé, soit on utilise le tauw d'accoissement ($\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ soit on calcule la dérivé. C'est cette dernière méthode qui va être présentée.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) & = & 2x - 4 + 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On évalue en -3 la dérivé pour trouver le nombre dérivé
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(-3) & = & 2\times(-3) - 4 = -10
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On trace la tangente à la courbe en 1
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
||||
\repere{-2}{4}{-1}{4}
|
||||
\clip (-2,-1) rectangle (4,4);
|
||||
\draw[very thick, domain=-2:4, color=red] plot [samples=300] (\x, {cos(pi*deg(\x)/2) + 1});
|
||||
\draw (-2,4) -- (3,-1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
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|
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|
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259.7
|
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262.4
|
||||
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|
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260.7
|
||||
265
|
||||
267
|
||||
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|
||||
268.8
|
||||
260.3
|
||||
263.4
|
||||
267.6
|
||||
264.1
|
||||
272.9
|
||||
264.5
|
||||
266.2
|
||||
265.9
|
||||
265.3
|
||||
266.4
|
||||
255.8
|
||||
267.1
|
||||
265.5
|
||||
264.5
|
||||
266.2
|
||||
271
|
||||
264.4
|
||||
269.8
|
||||
266.1
|
||||
268.7
|
||||
261.2
|
||||
263.1
|
||||
264.6
|
||||
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|
||||
262.3
|
||||
261.2
|
||||
262.1
|
||||
261.4
|
||||
264.8
|
||||
|
BIN
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29
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|
||||
\documentclass{standalone}
|
||||
|
||||
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/tools/style/base}
|
||||
\usepackage{tkz-fct}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=0.4]
|
||||
%\repere{-0.5}{12.9}{-0.5}{15.9}
|
||||
%\draw[red] plot[samples=200,domain=-1:2] function {x**2};
|
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|
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|
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|
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\tkzDrawX[label={\textit{Quantité de visseuses}},below= -12pt]
|
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\tkzDrawY[label={\textit{Montant (en \euro)}}, below=-10pt]
|
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\tkzGrid
|
||||
|
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\tkzFct[domain=0:300,color=blue, very thick]{0.3*\x*\x + 3*\x + 3000}
|
||||
%\tkzText[above right,color=blue](24,655){$\mathcal{C}_C$}
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
2
1S/DS/DC_02/fig/cout.tkzfct.gnuplot
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2
1S/DS/DC_02/fig/cout.tkzfct.gnuplot
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@@ -0,0 +1,2 @@
|
||||
set table "cout.tkzfct.table"; set format "%.5f"
|
||||
set samples 200.0; plot [x=0:15.000000000000000000] (0.3*(x*20)*(x*20)+ 3*(x*20)+ 3000)/2000
|
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|
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BIN
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Binary file not shown.
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30
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1S/DS/DC_02/fig/offre_demande.tkzfct.gnuplot
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205
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|
||||
4.63819 12.54599 i
|
||||
4.70352 12.49158 i
|
||||
4.76884 12.43760 i
|
||||
4.83417 12.38404 i
|
||||
4.89950 12.33091 i
|
||||
4.96482 12.27820 i
|
||||
5.03015 12.22592 i
|
||||
5.09548 12.17407 i
|
||||
5.16080 12.12265 i
|
||||
5.22613 12.07165 i
|
||||
5.29146 12.02108 i
|
||||
5.35678 11.97094 i
|
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5.42211 11.92122 i
|
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5.48744 11.87193 i
|
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5.55276 11.82307 i
|
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5.61809 11.77463 i
|
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5.68342 11.72662 i
|
||||
5.74874 11.67904 i
|
||||
5.81407 11.63188 i
|
||||
5.87940 11.58515 i
|
||||
5.94472 11.53885 i
|
||||
6.01005 11.49297 i
|
||||
6.07538 11.44752 i
|
||||
6.14070 11.40250 i
|
||||
6.20603 11.35790 i
|
||||
6.27136 11.31373 i
|
||||
6.33668 11.26999 i
|
||||
6.40201 11.22667 i
|
||||
6.46734 11.18378 i
|
||||
6.53266 11.14132 i
|
||||
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|
||||
6.66332 11.05768 i
|
||||
6.72864 11.01650 i
|
||||
6.79397 10.97574 i
|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
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|
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|
||||
7.44724 10.59166 i
|
||||
7.51256 10.55560 i
|
||||
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|
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|
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|
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|
||||
7.83920 10.38169 i
|
||||
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|
||||
7.96985 10.31512 i
|
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|
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
8.55779 10.03666 i
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
8.88442 9.89690 i
|
||||
8.94975 9.87023 i
|
||||
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|
||||
9.08040 9.81816 i
|
||||
9.14573 9.79277 i
|
||||
9.21106 9.76781 i
|
||||
9.27638 9.74327 i
|
||||
9.34171 9.71915 i
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
9.86432 9.54162 i
|
||||
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|
||||
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|
||||
10.06030 9.48209 i
|
||||
10.12563 9.46310 i
|
||||
10.19095 9.44454 i
|
||||
10.25628 9.42640 i
|
||||
10.32161 9.40869 i
|
||||
10.38693 9.39141 i
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
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|
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|
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|
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11.10553 9.22945 i
|
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|
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11.23618 9.20555 i
|
||||
11.30151 9.19424 i
|
||||
11.36683 9.18336 i
|
||||
11.43216 9.17291 i
|
||||
11.49749 9.16288 i
|
||||
11.56281 9.15328 i
|
||||
11.62814 9.14410 i
|
||||
11.69347 9.13535 i
|
||||
11.75879 9.12703 i
|
||||
11.82412 9.11913 i
|
||||
11.88945 9.11167 i
|
||||
11.95477 9.10462 i
|
||||
12.02010 9.09801 i
|
||||
12.08543 9.09182 i
|
||||
12.15075 9.08606 i
|
||||
12.21608 9.08073 i
|
||||
12.28141 9.07582 i
|
||||
12.34673 9.07134 i
|
||||
12.41206 9.06728 i
|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
12.73869 9.05341 i
|
||||
12.80402 9.05192 i
|
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|
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|
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|
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|
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37
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|
||||
Notes sur le devoir commun des 1S de Février
|
||||
############################################
|
||||
|
||||
:date: 2015-07-01
|
||||
:modified: 2015-07-01
|
||||
:tags: DS, Droites, Fonctions, Stats, Dérivation
|
||||
:category: 1S
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:summary: Devoir commun des 1S.
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||||
|
||||
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|
||||
`Lien vers caoutchouc.csv <caoutchouc.csv>`_
|
||||
|
||||
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|
||||
|
||||
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|
||||
|
||||
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|
||||
|
||||
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|
||||
|
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|
||||
|
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|
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|
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|
||||
|
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`Lien vers fig/cout.tex <fig/cout.tex>`_
|
||||
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|
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|
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241
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|
||||
\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
||||
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|
||||
\usepackage{tkz-tab}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\titre{5}
|
||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
|
||||
\classe{\premiereS}
|
||||
\date{26 janvier 2015}
|
||||
\duree{1 heure}
|
||||
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|
||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
|
||||
\typedoc{DS}
|
||||
|
||||
|
||||
\printanswers
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\question[6]
|
||||
Soit $A(2;3)$, $B(6;1)$, $C(5;-9)$, $D(-2;-5)$ et $E(0;-1)$.
|
||||
\begin{parts}
|
||||
%1,5pts
|
||||
\part Donner une équation cartésienne de $(AB)$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Pour trouver l'équation cartésienne de $(AB)$, il faut calculer les coordonnées du vecteur directeur $\vec{AB}$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AB} & = & \vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \vectCoord{6 - 2}{1 - 3} = \vectCoord{4}{-2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On en déduit une équation cartésienne de $(AB)$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-2x - 4y + c & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il reste à determiner $c$. Pour cela on utilise le point $A$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
A(2;3) \in (AB) & \equiv & -2 \times 2 - 4\times 3 + c = 0 \\
|
||||
&\equiv& -16 + c = 0 \\
|
||||
&\equiv& c = 16
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Donc une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-2x - 4y + 16 & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
%1,5pts
|
||||
\subpart Donner une équation de la droite $(d)$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Comme $(d)$ et $(AB)$ sont deux droites parallèles, elles ont les mêmes vecteurs directeur. Donc $\vec{AB} = \vectCoord{4}{-2}$ est un vecteur directeur de $(d)$. On en déduit une équation cartésienne de $(d)$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-2x - 4y + c & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il reste à determiner $c$. Pour cela on utilise le point $C$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
C(5;-9) \in (d) & \equiv & -2\times 5 - 4\times(-9) + c = 0 \\
|
||||
&\equiv & 26 + c = 0 \\
|
||||
&\equiv& c = -26
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Donc une équation cartésienne de la droite $(d)$ est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-2x - 4y - 26 & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
%1pt
|
||||
\subpart La droite $(d)$ passe-t-elle par le point $D$?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On vérifie si le point $D$ est un point de la droite $(d)$. Pour cela, il faut que les coordonnées de $D$ vérifient l'équation de $(d)$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-2\times(-2) - 4\times(-5) - 26 & = & 4 + 20 - 26 = -2 \neq 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc le point $D$ n'est pas un point de $(d)$ donc $(d)$ ne passe pas par le point $D$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
%1pt
|
||||
\subpart Que peut-on en déduire concernant les droites $(AB)$ et $(CD)$?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Comme $(d)$ ne passe pas par le point $D$, les droites $(d)$ et $(CD)$ ne sont pas confondues ou parallèles, elles sont donc sécantes. Comme $(d)$ et $(AB)$ sont parallèles, $(CD)$ et $(AB)$ sont elles aussi sécantes.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
%1pts
|
||||
%\part Est-ce que les points $D$, $E$ et $A$ sont alignés?
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\question[9]
|
||||
\textit{Dans cet exercice, il est demandé de ne pas arrondir les fractions et simplifier au maximum les resultats.}
|
||||
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x & \mapsto & \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + \frac{1}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Pour étudier le signe de $f$, il faut connaître le signe de sa drérivée.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) & = & \frac{1}{3}\times 3\times x^2 - 2\times x - 8 + 0\\
|
||||
f'(x) &=& x^2 - 2x - 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On reconnait un polynôme du degré 2. Pour étudier son signe on utilise la méthode du discriminant;
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2 -4ac = (-2)^2 - 4\times 1 \times (-8) \\
|
||||
&=& 4 + 32 = 36
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Ici $\Delta$ es positif il y a donc 2 racines
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2\times 1} = \frac{2-6}{2} = -2 \\
|
||||
x_12& = & \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2\times 1} = \frac{2+6}{2} = 4 \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $a = 1$ positif, on en déduit le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variation de $f$.
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/1, $f(x)$/3}{$-\infty$, -2, 4, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +,}
|
||||
\tkzTabVar{-/{}, +/{$f(-2) = \frac{29}{3}$}, -/{$f(4) = \frac{-77}{3}$}, +/{}}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part
|
||||
On suppose que l'équation réduire de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2 est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
y & = & -8x - 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et de $T$ (savoir laquelle des deux courbes est au dessus), on pose $d(x) = -8x - 1 - f(x)$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déduire l'expression de $d$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
d(x) & = & -8x - 1 - f(x)\\
|
||||
&=& -8x - 1 - ( \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + \frac{1}{3}) \\
|
||||
&=& -8x - 1 - \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 8x - \frac{1}{3} \\
|
||||
&=& \frac{-1}{3}x^3 + x^2 - \frac{4}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Tracer le tableau de variations de $d$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On veut tracer le tableau de variation de $d$ pour ça il faut avoir le signe de sa dérivé, $d'$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
d'(x) & = & 3\times \frac{-1}{3}\times x^2 + 2\times x + 0\\
|
||||
&=& -x^2 + 2x\\
|
||||
&=& x(-x+2)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Ici on pourrait faire la méthode du discriminant comme dans la question précédente (c'était la méthode attendu). Je vais vous présenter une autre méthode qui ne marche pas dans tous les cas mais qui se rapproche de ce que l'on fera dans le prochain chapitre sur la dérivation.
|
||||
|
||||
On va utiliser le fait que l'on a factoriser $d'$ et utiliser les rêgles de multiplication de signe ($+ \times + = +$, $-\times- = +$ et $+\times- = -$)
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1,$x$/1, $-x+2$/1, $d'(x) = x(-x+2)$/1, $d(x)$/3}%
|
||||
{$-\infty$, 0, 2, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, , +,}
|
||||
\tkzTabLine{, +, , +, z, -,}
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
|
||||
\tkzTabVar{+/{}, -/{$d(2) = \frac{-1}{3}$}, +/{$d(2) = \frac{19}{3}$}, -/{}}
|
||||
\end{tikzpicture}
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||||
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||||
\end{solution}
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||||
\subpart En déduire que pour $x$ compris entre 5 et 10, $T$ est au dessus de $\mathcal{C}$.
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\begin{solution}
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||||
Pour savoir si $T$ est au dessus de $\mathcal{C}$, il faut que $d$ soit positive.
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||||
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||||
On va utiliser la tableau de variation trouvé dans la question précédente et on refait le même raisonnement que lors de l'introduction de ce chapitre pour déterminer le tableau de signe de $d$.
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||||
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||||
On commence par calculer $d(5)$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
d(5) & = & 5\times(-5 + 2) = 5\times (-3) = -15
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
Donc $d(5)$ est négatif. D'après le tableau de variation, la fonction est décroissante sur $\intFO{2}{+\infty}$ donc sur $\intFF{5}{10}$ donc toutes les valeurs prisent par $d(x)$ quand $x$ est dans l'intervalle $\intFF{5}{10}$ sont négatives (plus petite que $d(5) = -15$). Donc sur cet intervalle $f(x)$ est plus grand que $-8x - 1$ (l'équation de la tangente). Donc $\mathcal{C}$ est au dessus de $T$.
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||||
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
\end{subparts}
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||||
\end{parts}
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\vfill
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||||
\question[5]
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||||
\textit{Dans cette question tout élément de réponse ou début de raisonnement sera valorisé.}
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||||
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\vfill
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||||
Un élève affirme que "L'ensemble des solutions de $-3x^2 + 4x + 4 \geq 0$ est $\intOF{-0,7}{2}$".
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||||
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||||
Commenter cette affirmation en prenant soin de justifier ce qui est vrai et de corriger ce qui est faux.
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||||
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item On remarque une première erruer dans la forme de l'intervalle. L'inégalité est large donc les valeurs extrèmes de l'intervalles sont aussi solutions. Ce devrait donc être $\intFF{-0,7}{2}$ plutôt que $\intOF{-0,7}{2}$.
|
||||
\item
|
||||
Pour résoudre cette cette inéquation, on fait le tableau de signe de la fonction $fx\mapsto -3x^2 + 4x + 4$.
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||||
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||||
C'est un polynôme du 2nd degré on utilise la méthode du discriminant.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2 - 4ac = 4^2 - 4\times (-3)\times 4 \\
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||||
&=& 16 - 48 \\
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||||
&=& 642 - 4\times (-3)\times 4 \\
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||||
&=& 16 - 48 \\
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||||
&=& 64
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
$\Delta$ est positif donc ce polynôme a 2 racines
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 & = & \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2\times(-3)} = \frac{-4-8}{-6} = 2 \\
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||||
x_12& = & \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2\times(-3)} = \frac{-4+8}{-6} = \frac{-2}{3} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Ici $a = -3$ négatif on en déduit le tableau de signe suivant
|
||||
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{-2}{3}$, 2, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
|
||||
L'affirmation de l'élève est fausse car l'ensemble des solutions de cette équation correspond à la partie du tableau où il y a des +. Le bon ensemble solution est alors $\intFF{\frac{-2}{3}}{2}$.
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||||
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
\end{solution}
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\vfill
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||||
\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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15
1S/DS/DS_0126/index.rst
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15
1S/DS/DS_0126/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,15 @@
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||||
Notes sur DS_0126
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#################
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||||
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||||
:date: 2015-07-01
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||||
:modified: 2015-07-01
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:tags: DS, Vecteurs, Droites, Dérivation, Fonctions
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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||||
`Lien vers DS_0126.tex <DS_0126.tex>`_
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`Lien vers DS_0126.pdf <DS_0126.pdf>`_
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1365
1S/DS/DS_0323/Bilan/Bilan DS_0323.ipynb
Normal file
1365
1S/DS/DS_0323/Bilan/Bilan DS_0323.ipynb
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
BIN
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BIN
1S/DS/DS_0323/Bilan/bilan.pdf
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Binary file not shown.
3073
1S/DS/DS_0323/Bilan/bilan.tex
Normal file
3073
1S/DS/DS_0323/Bilan/bilan.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
30
1S/DS/DS_0323/Bilan/texenv.py
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30
1S/DS/DS_0323/Bilan/texenv.py
Normal file
@@ -0,0 +1,30 @@
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#!/usr/bin/env python
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# encoding: utf-8
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import jinja2, os
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# Definition of jinja syntax for latex
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texenv = jinja2.Environment(
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block_start_string = '\Block{',
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||||
# Gros WTF!! Si on le met en maj ça ne marche pas alors que c'est en maj dans le template...
|
||||
block_end_string = '}',
|
||||
variable_start_string = '\Var{',
|
||||
variable_end_string = '}',
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||||
loader = jinja2.FileSystemLoader(os.path.abspath('.')),
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||||
extensions = ['jinja2.ext.do']
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)
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# Filters
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if __name__ == '__main__':
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||||
from pymath.expression import Expression
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exp = Expression("2/4 + 18")
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print(do_calculus(exp.simplify()))
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# -----------------------------
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||||
# Reglages pour 'vim'
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||||
# vim:set autoindent expandtab tabstop=4 shiftwidth=4:
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||||
# cursor: 16 del
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79
1S/DS/DS_0323/Bilan/tpl_bilan.tex
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79
1S/DS/DS_0323/Bilan/tpl_bilan.tex
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\documentclass{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classBilan}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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\usepackage{multicol}
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% Title Page
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\classe{\premiereS}
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\date{23 mars 2015}
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\begin{document}
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||||
\Block{for (name, notes) in eleves.iterrows()}
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\maketitle
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||||
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\large
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\Var{name}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\begin{flushright}
|
||||
\Large \Var{notes['DS_0323']} / \Var{barem.DS_0323[0]}
|
||||
\end{flushright}
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||||
\end{minipage}
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\vfill
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||||
|
||||
\fbox{%
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\begin{minipage}{0.9\linewidth}
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\hfill
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\vspace{2cm}
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\end{minipage}
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}
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\vfill
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\scriptsize
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\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|}
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||||
\hline
|
||||
\rowcolor{highlightbg} Exercices & Réussite & Barème \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{for question in barem.T[1:11].T}
|
||||
\Var{question} & \Var{notes[question]} & \Var{barem[question][0]} \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{endfor}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
\rowcolor{highlightbg} Exercices & Réussite & Barème \\
|
||||
\hline
|
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\Block{for question in barem.T[11:].T}
|
||||
\Var{question} & \Var{notes[question]} & \Var{barem[question][0]} \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{endfor}
|
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\end{tabular}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
%\begin{tabular}{|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}
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||||
% \hline
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||||
% Pas de réponse & Faux & Peu juste & Partiellement juste & Juste \\
|
||||
% \hline
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||||
% \NoRep & \RepZ & \RepU & \RepD & \RepT \\
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||||
% \hline
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||||
%\end{tabular}
|
||||
\normalsize
|
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\pagebreak
|
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\Block{endfor}
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\end{document}
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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BIN
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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||||
|
||||
% Title Page
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||||
\titre{6}
|
||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
|
||||
\classe{\premiereS}
|
||||
\date{23 mars 2015}
|
||||
%\duree{1 heure}
|
||||
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
|
||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
|
||||
\typedoc{DS}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
|
||||
\question[10]
|
||||
% Exercice complet autour des suites
|
||||
En 1789, Malthus publie \textit{An Essay on the Principle of population}. Il y émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira le monde à la famine. En 1800, la population d'Angleterre était estimée à 8 millions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir 10 millions de personnes. Malthus supposa que la population augmentait d'environ 2\% chaque année et que l'amélioration de l'agriculture permettait de nourrir 500 000 personnes de plus chaque année.
|
||||
|
||||
Pour tout $n \geq 0$, on note:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $P_n$ la population l'année $1800+n$.
|
||||
\item $a_n$ le nombre de personnes que l'agriculture permet de nourrir l'année $1800 + n$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$. Interpréter ses nombres.
|
||||
\subpart Quelle est la nature de la suite $(P_n)$? Préciser la raison et donner la formule de récurrence de la suite $(P_n)$.
|
||||
\subpart Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\subpart D'après Malthus, quelle aurait été la population en 1900?
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Quelle est la nature de la suite $(a_n)$? Préciser sa raison.
|
||||
\subpart À partir de quelle année, l'agriculture pourra nourrir au moins 60 millions de personnes?
|
||||
\subpart Écrire un algorithme prenant une valeur de $n$ en argument qui renvoie la valeur de $a_n$. \textit{Vous n'ètes pas autorisé à utiliser la formule explicite de la suite $(a_n)$}.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[6]
|
||||
% Résolution d'inéquation et dérivation/variation
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Résoudre l'inéquation suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
3x^2 + 14x - 5 & < & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\part Déterminer le tableau de variation de la fonction suivante.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) & = & -x^3 + 18x^2 - 108x - 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[4]
|
||||
%exercice à prise d'initiative
|
||||
Pour le remercier Lahur Sessa d'avoir inventer le jeu d'échec, le roi de la province de Taligana lui offrit mille récompenses. Mais Sessa les refusa toutes. À force d'insister, le roi parvint à obtenir un souhait de la part de Sessa: des grains de blé. Sessa demanda au prince de déposer un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l’échiquier en doublant la quantité de grain à chacune des 64 cases.
|
||||
|
||||
Combien de grain de blé Sessa obtiendrait il en tout?
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||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice à prise d'initiative, ce n'est pas le résultat qui est important. Il sera évalué suivant les compétences suivantes: Modéliser, calculer et communiquer. Toute trace de recherche sera alors valorisée.}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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||||
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% Title Page
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\titre{6}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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||||
\classe{\premiereS}
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\date{23 mars 2015}
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||||
%\duree{1 heure}
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||||
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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||||
\typedoc{DS}
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||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
|
||||
\question[10]
|
||||
% Exercice complet autour des suites
|
||||
En 1789, Malthus publie \textit{An Essay on the Principle of population}. Il y émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira le monde à la famine. En 1800, la population d'Angleterre était estimée à 8 millions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir 10 millions de personnes. Malthus supposa que la population augmentait d'environ 2\% chaque année et que l'amélioration de l'agriculture permettait de nourrir 500 000 personnes de plus chaque année.
|
||||
|
||||
Pour tout $n \geq 0$, on note:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $P_n$ la population l'année $1800+n$.
|
||||
\item $a_n$ le nombre de personnes que l'agriculture permet de nourrir l'année $1800 + n$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$. Interpréter ses nombres.
|
||||
\subpart Quelle est la nature de la suite $(P_n)$? Préciser la raison et donner la formule de récurrence de la suite $(P_n)$.
|
||||
\subpart Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\subpart D'après Malthus, quelle aurait été la population en 1900?
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Quelle est la nature de la suite $(a_n)$? Préciser sa raison.
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||||
\subpart À partir de quelle année, l'agriculture pourra nourrir au moins 60 millions de personnes?
|
||||
\subpart Écrire un algorithme prenant une valeur de $n$ en argument qui renvoie la valeur de $a_n$. \textit{Vous n'ètes pas autorisé à utiliser la formule explicite de la suite $(a_n)$}.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{parts}
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||||
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||||
\question[6]
|
||||
% Résolution d'inéquation et dérivation/variation
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||||
\begin{parts}
|
||||
\part Résoudre l'inéquation suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
3x^2 + 14x - 5 & < & 0
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
|
||||
\part Déterminer le tableau de variation de la fonction suivante.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) & = & -x^3 + 18x^2 - 108x - 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\part Résoudre l'équation suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
-x^2 + x - 1& < &0
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\end{eqnarray*}
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||||
\end{parts}
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\end{questions}
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||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_0323/corr/corr_note_competences.pdf
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BIN
1S/DS/DS_0323/corr/corr_note_competences.pdf
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1S/DS/DS_0323/corr/corr_note_competences.tex
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69
1S/DS/DS_0323/corr/corr_note_competences.tex
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@@ -0,0 +1,69 @@
|
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\documentclass[a4paper,10pt,xcolor=table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classPres}
|
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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\author{}
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\title{}
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\date{}
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||||
\begin{document}
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\begin{frame}{Compétences}
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\begin{itemize}
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\item Chercher
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\item \textbf{Modéliser}
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\item Représenter
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\item \textbf{Calculer}
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||||
\item Raisonner
|
||||
\item \textbf{Communiquer}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modéliser}
|
||||
\vfill
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||||
\textbf{Traduire} en langage mathématique une situation réelle (à l’aide d’équations, de suites, de fonctions, de configurations géométriques, de graphes, de lois de probabilité, d’outils statistiques ...).
|
||||
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||||
\vfill
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||||
\textbf{Utiliser, comprendre, élaborer} une simulation numérique ou géométrique prenant appui sur la modélisation et utilisant un logiciel.
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\textbf{Valider ou invalider} un modèle.
|
||||
|
||||
\vfill
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||||
\end{frame}
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\begin{frame}{Calculer}
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\vfill
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\textbf{Effectuer un calcul} automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument (calculatrice, logiciel).
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\vfill
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\textbf{Mettre en œuvre} des algorithmes simples.
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\vfill
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\textbf{Exercer l’intelligence du calcul} : organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, choisir des transformations, effectuer des simplifications.
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\vfill
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||||
\textbf{Contrôler} les calculs (au moyen d’ordres de grandeur, de considérations de signe ou d’encadrement).
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\vfill
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||||
\end{frame}
|
||||
\begin{frame}{Communiquer}
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\vfill
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\textbf{Opérer la conversion} entre le langage naturel et le langage symbolique formel.
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\vfill
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\textbf{Développer} une argumentation mathématique correcte à l’écrit ou à l’oral.
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\vfill
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||||
\textbf{Critiquer} une démarche ou un résultat.
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\vfill
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\textbf{S’exprimer} avec clarté et précision à l’oral et à l’écrit.
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\vfill
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||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
21
1S/DS/DS_0323/index.rst
Normal file
21
1S/DS/DS_0323/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
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||||
Notes sur DS_0323
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#################
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||||
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:date: 2015-07-01
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||||
:modified: 2015-07-01
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||||
:tags: DS, Suites, Inéquations, Dérivation, Tache complexe
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers DS_0323_bis.tex <DS_0323_bis.tex>`_
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`Lien vers DS_0323_bis.pdf <DS_0323_bis.pdf>`_
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||||
`Lien vers DS_0323.pdf <DS_0323.pdf>`_
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||||
`Lien vers DS_0323.tex <DS_0323.tex>`_
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||||
Le dernier exercice est un exercice à prise d'initiative (ou tache complexe...).
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1915
1S/DS/DS_0413/Bilan/Bilan DM_0408.ipynb
Normal file
1915
1S/DS/DS_0413/Bilan/Bilan DM_0408.ipynb
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
2419
1S/DS/DS_0413/Bilan/Bilan DS_0408.ipynb
Normal file
2419
1S/DS/DS_0413/Bilan/Bilan DS_0408.ipynb
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
BIN
1S/DS/DS_0413/Bilan/bilan.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_0413/Bilan/bilan.pdf
Normal file
Binary file not shown.
3142
1S/DS/DS_0413/Bilan/bilan.tex
Normal file
3142
1S/DS/DS_0413/Bilan/bilan.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
30
1S/DS/DS_0413/Bilan/texenv.py
Normal file
30
1S/DS/DS_0413/Bilan/texenv.py
Normal file
@@ -0,0 +1,30 @@
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#!/usr/bin/env python
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# encoding: utf-8
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import jinja2, os
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||||
# Definition of jinja syntax for latex
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texenv = jinja2.Environment(
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block_start_string = '\Block{',
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||||
# Gros WTF!! Si on le met en maj ça ne marche pas alors que c'est en maj dans le template...
|
||||
block_end_string = '}',
|
||||
variable_start_string = '\Var{',
|
||||
variable_end_string = '}',
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||||
loader = jinja2.FileSystemLoader(os.path.abspath('.')),
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||||
extensions = ['jinja2.ext.do']
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||||
)
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# Filters
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if __name__ == '__main__':
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||||
from pymath.expression import Expression
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exp = Expression("2/4 + 18")
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||||
print(do_calculus(exp.simplify()))
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||||
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||||
# -----------------------------
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||||
# Reglages pour 'vim'
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||||
# vim:set autoindent expandtab tabstop=4 shiftwidth=4:
|
||||
# cursor: 16 del
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||||
79
1S/DS/DS_0413/Bilan/tpl_bilan.tex
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79
1S/DS/DS_0413/Bilan/tpl_bilan.tex
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@@ -0,0 +1,79 @@
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\documentclass{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classBilan}
|
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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\usepackage{multicol}
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% Title Page
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\date{13 avril 2015}
|
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\begin{document}
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\Block{for (name, notes) in eleves.iterrows()}
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\maketitle
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||||
\large
|
||||
\Var{name}
|
||||
\end{minipage}
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||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||||
\begin{flushright}
|
||||
\Large \Var{notes[ds_name]} / \Var{barem.DS_0413[0]}
|
||||
\end{flushright}
|
||||
\end{minipage}
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||||
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\vfill
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||||
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\fbox{%
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||||
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
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\hfill
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\vspace{3cm}
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||||
\end{minipage}
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||||
}
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\vfill
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||||
\scriptsize
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\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|}
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||||
\hline
|
||||
\rowcolor{highlightbg} Exercices & Réussite & Barème \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{for question in barem.T[1:11].T}
|
||||
\Var{question} & \Var{notes[question]} & \Var{barem[question][0]} \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{endfor}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
\rowcolor{highlightbg} Exercices & Réussite & Barème \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{for question in barem.T[11:].T}
|
||||
\Var{question} & \Var{notes[question]} & \Var{barem[question][0]} \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{endfor}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
%\begin{tabular}{|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}
|
||||
% \hline
|
||||
% Pas de réponse & Faux & Peu juste & Partiellement juste & Juste \\
|
||||
% \hline
|
||||
% \NoRep & \RepZ & \RepU & \RepD & \RepT \\
|
||||
% \hline
|
||||
%\end{tabular}
|
||||
\normalsize
|
||||
\pagebreak
|
||||
\Block{endfor}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
|
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BIN
1S/DS/DS_0413/DS_0413.pdf
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Binary file not shown.
122
1S/DS/DS_0413/DS_0413.tex
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122
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Normal file
@@ -0,0 +1,122 @@
|
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{13 avril 2015}
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\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
|
||||
\typedoc{DS}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\Large Calculatrice interdite
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\normalsize
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
|
||||
\question[9]
|
||||
% Suites
|
||||
À la suite d'un héritage, Maëlis dispose d'une somme de 65 000\euro qu'elle désire faire fructifier. La banque lui propose deux placements:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{Placement A (intérêts simples):} le capital (la quantité d'argent disponible sur le compte) augmente de chaque année de 3500\euro.
|
||||
\item \textbf{Placement B (intérêts composés):} le capital augmente de chaque année de 4,5\% du capital de l'année précédente.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
On note $\left( u_n \right)$ la capital acquis à la fin de la n-ième année avec le placement A et $\left( v_n \right)$ le capital acquis à la fin de la n-ième année avec le placement B.
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
%1pt
|
||||
\part Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
% 2
|
||||
\subpart Quelle est la nature de la suite$\left( u_n \right)$ (vous préciserez le premier terme et la raison)? Donner la relation explicite de $\left( u_n \right)$.
|
||||
% 2
|
||||
\subpart Quelle est la nature de la suite$\left( v_n \right)$ (vous préciserez le premier terme et la raison)? Donner la relation explicite de $\left( v_n \right)$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
%2
|
||||
\part Combien faudra-t-il d'année pour que le capital dépasse 101 000\euro avec la formule A?
|
||||
%2
|
||||
\part Écrire un algorithme prenant une valeur de $n$ en argument qui renvoie la valeur de $v_n$. Vous n'êtes pas autorisé à utiliser la formule explicite de la suite $\left( v_n \right)$.
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[11]
|
||||
%Produit scalaire.
|
||||
Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes.
|
||||
\begin{parts}
|
||||
%1pt
|
||||
\part Recopier puis compléter le tableau des valeurs de cosinus
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{5}{p{2cm}|}}
|
||||
\hline
|
||||
Angle $\alpha$ & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$\cos(\alpha)$ & & & & & \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\part Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan comme sur le dessin ci-dessous \textit{(attention le dessin ne respecte pas les longueurs et les angles)}.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\includegraphics[scale=0.4]{./fig/triangle}
|
||||
|
||||
\columnbreak
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
% 1,5
|
||||
\subpart Calculer $\vec{AC} . \vec{AB}$
|
||||
% 1,5
|
||||
\subpart On donne $\vec{BA} . \vec{BC} = 3\sqrt{3}$, en utilisant ce produit scalaire, calculer l'angle $(\vec{BA};\vec{BC})$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\part On donne $||\vec{u}|| = 2$, $||\vec{v}|| = 3$ et $\vec{u}.\vec{v} = -5$. Calculer les quantités suivantes
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
%1,5
|
||||
\subpart $A = \vec{u} . \left( \vec{v} - 2 \vec{u} \right)$
|
||||
%1,5
|
||||
\subpart $B = ||\vec{u} - \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\part Soit $ACDE$ un rectangle et $ABCL$ un carré. D'après la figure suivante \textit{(seul le codage de la figure et ce qui est dans l'énoncé a une valeur de vérité, toutes autres informations devra être non présente sur la figure devra être justifiée)} trouver le projeté orthogonal des éléments suivants
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\includegraphics[scale=0.4]{./fig/proj}
|
||||
\columnbreak
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
%1
|
||||
\subpart $A$ sur le droite $\left( CL \right)$
|
||||
%1.5
|
||||
\subpart $\vec{CL}$ sur la droite $\left( ED \right)$
|
||||
%1.5
|
||||
\subpart $\vec{AK}$ sur $\left( BH \right)$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\vfill
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[2]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\textbf{Bonus}
|
||||
\end{center}
|
||||
Calculer le nombre suivant en detaillant les calculs.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A = \frac{659330}{7}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
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Binary file not shown.
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@@ -0,0 +1,277 @@
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<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) -->
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<metadata
|
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<cc:Work
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|
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<dc:title></dc:title>
|
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</cc:Work>
|
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</rdf:RDF>
|
||||
</metadata>
|
||||
<g
|
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|
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|
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|
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<g
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|
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|
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|
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|
||||
style="opacity:1;fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:4.58413124;stroke-linecap:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1" />
|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
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width="253.8409"
|
||||
id="rect4138"
|
||||
style="opacity:1;fill:none;fill-opacity:1;stroke:#000000;stroke-width:4.76863718;stroke-linecap:round;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;stroke-opacity:1" />
|
||||
<rect
|
||||
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|
||||
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|
||||
x="-65.721474"
|
||||
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|
||||
width="124.64975"
|
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|
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|
||||
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|
||||
inkscape:connector-curvature="0"
|
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|
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|
||||
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|
||||
transform="matrix(0.59650329,-0.80261063,0.59650329,0.80261063,0,0)"
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|
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Notes sur DS_0413
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:modified: 2015-07-01
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:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Devoir sur les suites et le produit scalaire pour les 1S. Sans calculatrice!
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Devoir à faire sans calculatrice.
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||||
\Block{for question in barem.T[(nbr_questions//2) + 1:].T}
|
||||
\Var{question} & \Var{notes[question]} & \Var{barem[question][0]} \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{endfor}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
%\begin{tabular}{|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}
|
||||
% \hline
|
||||
% Pas de réponse & Faux & Peu juste & Partiellement juste & Juste \\
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||||
% \hline
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||||
% \NoRep & \RepZ & \RepU & \RepD & \RepT \\
|
||||
% \hline
|
||||
%\end{tabular}
|
||||
\normalsize
|
||||
\pagebreak
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||||
\Block{endfor}
|
||||
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||||
\end{document}
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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||||
BIN
1S/DS/DS_0601/DS_0601.pdf
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BIN
1S/DS/DS_0601/DS_0601.pdf
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Binary file not shown.
203
1S/DS/DS_0601/DS_0601.tex
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203
1S/DS/DS_0601/DS_0601.tex
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@@ -0,0 +1,203 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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||||
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||||
% Title Page
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||||
\titre{8}
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||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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||||
\classe{\premiereS}
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||||
\date{1 juin 2015}
|
||||
\duree{1 heure}
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||||
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Other
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||||
\typedoc{DS}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
|
||||
\vfill
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||||
\begin{questions}
|
||||
\question[8]
|
||||
Soit $f$ la fonction définie par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x \mapsto \frac{-3x^2 + 2x - 7}{1 - 2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
%1.5
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition de $f$.
|
||||
%1.5
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Dériver $g(x) = -3x^2 + 2x - 7$
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de la fonction $f$ est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) = \frac{6x^2 - 6x -12}{(1-2x)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
%3
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Étudier le signe de $6x^2-6x-12$
|
||||
\subpart En déduire les variations de $f$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
%1
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 2$.
|
||||
%0.5
|
||||
\subpart Que peut-on dire de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2?
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\question[6]
|
||||
% Exercice technique sur les suites
|
||||
On concidère les deux suites suivantes
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = \frac{3\times 2^n-4n+6}{2} &\mbox{ et } & v_n = \frac{3}{2}\times2^{n} + 2n - 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
%0.5
|
||||
\part Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_{10}$.
|
||||
%1
|
||||
\part La suite $v_n$ est-elle arithmétique?
|
||||
\part Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n = u_n + v_n$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
%0.5
|
||||
\subpart Simplifier l'expression de $w_n$.
|
||||
%1
|
||||
\subpart Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_n = u_n - v_n$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
%1
|
||||
\subpart Démontrer que la suite $(t_n)$ est arithmétique.
|
||||
%1
|
||||
\subpart Démontrer que la suite $(t_n)$ est décroissante.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
%1
|
||||
\part Démontrer que $u_n = \frac{1}{2}\left(w_n + t_n \right)$.
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\clearpage
|
||||
|
||||
\question[6]
|
||||
\begin{itshape}
|
||||
Cet exercice est un questionnaire à choix multiplies (QCM).
|
||||
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.
|
||||
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
|
||||
|
||||
Une réponse juste rapporte 1.5~point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
|
||||
\end{itshape}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
La courbe $\mathcal{C}_h$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $h$ définition sur $[-3;3]$. On notera $h'$ sa dérivée.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[yscale = 0.7]
|
||||
\tkzInit[xmin=-3.5,xmax=3.5,
|
||||
ymin=-3.5,ymax=3.5,
|
||||
xstep=1,ystep=1]
|
||||
\tkzAxeX[very thick, poslabel=right,label={x}]
|
||||
\tkzAxeY[very thick, poslabel=above right,label={y}]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzGrid[sub, subxstep=0.5, subystep=0.5]
|
||||
\tkzFct[domain=-3:3,color=blue, very thick]{1/exp(x+1) *(x+2)*(x+2) - 1}
|
||||
\draw (-2.5,2) node[above] {\large $\mathcal{C}_h$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part L'équation de la tangente au point d'abscisse -2 est
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $T_{-2}: y = - 2x - 1$
|
||||
\subpart $T_{-2}: y = -1$
|
||||
\subpart $T_{-2}: y = -1x -2$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\part La représentation graphique de $h'$ la dérivée de $h$ est
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale = 0.6]
|
||||
\tkzInit[xmin=-3.5,xmax=3.5,
|
||||
ymin=-3.5,ymax=3.5,
|
||||
xstep=1,ystep=1]
|
||||
\tkzAxeX[very thick, poslabel=right,label={x}]
|
||||
\tkzAxeY[very thick, poslabel=above right,label={y}]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzGrid[sub, subxstep=0.5, subystep=0.5]
|
||||
\tkzFct[domain=-3:3,color=blue, very thick]{-x*(x+2) / exp(x+1)}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\subpart
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale = 0.6]
|
||||
\tkzInit[xmin=-3.5,xmax=3.5,
|
||||
ymin=-3.5,ymax=3.5,
|
||||
xstep=1,ystep=1]
|
||||
\tkzAxeX[very thick, poslabel=right,label={x}]
|
||||
\tkzAxeY[very thick, poslabel=above right,label={y}]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzGrid[sub, subxstep=0.5, subystep=0.5]
|
||||
\tkzFct[domain=-3:3,color=blue, very thick]{-(x-1)*(x+1) / exp(x)}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\subpart
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale = 0.6]
|
||||
\tkzInit[xmin=-3.5,xmax=3.5,
|
||||
ymin=-3.5,ymax=3.5,
|
||||
xstep=1,ystep=1]
|
||||
\tkzAxeX[very thick, poslabel=right,label={x}]
|
||||
\tkzAxeY[very thick, poslabel=above right,label={y}]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzGrid[sub, subxstep=0.5, subystep=0.5]
|
||||
\tkzFct[domain=-3:3,color=blue, very thick]{-(1/exp((x+1)) *(x+2)*(x+2) - 1)}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
\part On définit la suite de \textbf{Fibonnacci} de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 1 \quad u_1 = 1 \qquad \mbox{ et pour tout $n$ entier naturel } u_{n+2} = u_{n+1} + u_n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La suite $(u_n)$ est
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Arithmétique
|
||||
\subpart Géométrique
|
||||
\subpart Ni l'un ni l'autre
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\part Soit une suite, $(u_n)$ géométrique croissante dont tous ses termes sont négatifs. Alors
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart son premier terme est négatif.
|
||||
\subpart sa raison est négative.
|
||||
\subpart une telle suite n'existe pas.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
2
1S/DS/DS_0601/DS_0601.tkzfct.gnuplot
Normal file
2
1S/DS/DS_0601/DS_0601.tkzfct.gnuplot
Normal file
@@ -0,0 +1,2 @@
|
||||
set table "DS_0601.tkzfct.table"; set format "%.5f"
|
||||
set samples 200.0; plot [x=-3.000000000000000000:3.000000000000000000] (-(1/exp((x+1)) *(x+2)*(x+2) - 1))/1
|
||||
205
1S/DS/DS_0601/DS_0601.tkzfct.table
Normal file
205
1S/DS/DS_0601/DS_0601.tkzfct.table
Normal file
@@ -0,0 +1,205 @@
|
||||
|
||||
# Curve 0 of 1, 200 points
|
||||
# Curve title: "(-(1/exp((x+1)) *(x+2)*(x+2) - 1))/1"
|
||||
# x y type
|
||||
-3.00000 -6.38906 i
|
||||
-2.96985 -5.74378 i
|
||||
-2.93970 -5.14296 i
|
||||
-2.90955 -4.58415 i
|
||||
-2.87940 -4.06503 i
|
||||
-2.84925 -3.58337 i
|
||||
-2.81910 -3.13706 i
|
||||
-2.78894 -2.72411 i
|
||||
-2.75879 -2.34258 i
|
||||
-2.72864 -1.99068 i
|
||||
-2.69849 -1.66667 i
|
||||
-2.66834 -1.36891 i
|
||||
-2.63819 -1.09584 i
|
||||
-2.60804 -0.84598 i
|
||||
-2.57789 -0.61792 i
|
||||
-2.54774 -0.41033 i
|
||||
-2.51759 -0.22194 i
|
||||
-2.48744 -0.05153 i
|
||||
-2.45729 0.10202 i
|
||||
-2.42714 0.23980 i
|
||||
-2.39698 0.36284 i
|
||||
-2.36683 0.47210 i
|
||||
-2.33668 0.56852 i
|
||||
-2.30653 0.65296 i
|
||||
-2.27638 0.72626 i
|
||||
-2.24623 0.78918 i
|
||||
-2.21608 0.84247 i
|
||||
-2.18593 0.88683 i
|
||||
-2.15578 0.92292 i
|
||||
-2.12563 0.95136 i
|
||||
-2.09548 0.97274 i
|
||||
-2.06533 0.98762 i
|
||||
-2.03518 0.99652 i
|
||||
-2.00503 0.99993 i
|
||||
-1.97487 0.99833 i
|
||||
-1.94472 0.99214 i
|
||||
-1.91457 0.98179 i
|
||||
-1.88442 0.96765 i
|
||||
-1.85427 0.95010 i
|
||||
-1.82412 0.92948 i
|
||||
-1.79397 0.90610 i
|
||||
-1.76382 0.88027 i
|
||||
-1.73367 0.85227 i
|
||||
-1.70352 0.82236 i
|
||||
-1.67337 0.79080 i
|
||||
-1.64322 0.75781 i
|
||||
-1.61307 0.72361 i
|
||||
-1.58291 0.68839 i
|
||||
-1.55276 0.65235 i
|
||||
-1.52261 0.61567 i
|
||||
-1.49246 0.57849 i
|
||||
-1.46231 0.54097 i
|
||||
-1.43216 0.50325 i
|
||||
-1.40201 0.46546 i
|
||||
-1.37186 0.42772 i
|
||||
-1.34171 0.39013 i
|
||||
-1.31156 0.35279 i
|
||||
-1.28141 0.31581 i
|
||||
-1.25126 0.27925 i
|
||||
-1.22111 0.24320 i
|
||||
-1.19095 0.20772 i
|
||||
-1.16080 0.17289 i
|
||||
-1.13065 0.13875 i
|
||||
-1.10050 0.10536 i
|
||||
-1.07035 0.07276 i
|
||||
-1.04020 0.04100 i
|
||||
-1.01005 0.01010 i
|
||||
-0.97990 -0.01990 i
|
||||
-0.94975 -0.04897 i
|
||||
-0.91960 -0.07709 i
|
||||
-0.88945 -0.10425 i
|
||||
-0.85930 -0.13042 i
|
||||
-0.82915 -0.15559 i
|
||||
-0.79899 -0.17976 i
|
||||
-0.76884 -0.20292 i
|
||||
-0.73869 -0.22506 i
|
||||
-0.70854 -0.24618 i
|
||||
-0.67839 -0.26629 i
|
||||
-0.64824 -0.28538 i
|
||||
-0.61809 -0.30346 i
|
||||
-0.58794 -0.32054 i
|
||||
-0.55779 -0.33662 i
|
||||
-0.52764 -0.35171 i
|
||||
-0.49749 -0.36583 i
|
||||
-0.46734 -0.37899 i
|
||||
-0.43719 -0.39119 i
|
||||
-0.40704 -0.40246 i
|
||||
-0.37688 -0.41281 i
|
||||
-0.34673 -0.42225 i
|
||||
-0.31658 -0.43080 i
|
||||
-0.28643 -0.43848 i
|
||||
-0.25628 -0.44531 i
|
||||
-0.22613 -0.45130 i
|
||||
-0.19598 -0.45647 i
|
||||
-0.16583 -0.46084 i
|
||||
-0.13568 -0.46444 i
|
||||
-0.10553 -0.46728 i
|
||||
-0.07538 -0.46938 i
|
||||
-0.04523 -0.47075 i
|
||||
-0.01508 -0.47143 i
|
||||
0.01508 -0.47143 i
|
||||
0.04523 -0.47078 i
|
||||
0.07538 -0.46948 i
|
||||
0.10553 -0.46756 i
|
||||
0.13568 -0.46505 i
|
||||
0.16583 -0.46196 i
|
||||
0.19598 -0.45831 i
|
||||
0.22613 -0.45412 i
|
||||
0.25628 -0.44941 i
|
||||
0.28643 -0.44420 i
|
||||
0.31658 -0.43850 i
|
||||
0.34673 -0.43235 i
|
||||
0.37688 -0.42575 i
|
||||
0.40704 -0.41872 i
|
||||
0.43719 -0.41129 i
|
||||
0.46734 -0.40346 i
|
||||
0.49749 -0.39526 i
|
||||
0.52764 -0.38671 i
|
||||
0.55779 -0.37781 i
|
||||
0.58794 -0.36859 i
|
||||
0.61809 -0.35907 i
|
||||
0.64824 -0.34925 i
|
||||
0.67839 -0.33916 i
|
||||
0.70854 -0.32880 i
|
||||
0.73869 -0.31820 i
|
||||
0.76884 -0.30737 i
|
||||
0.79899 -0.29632 i
|
||||
0.82915 -0.28506 i
|
||||
0.85930 -0.27361 i
|
||||
0.88945 -0.26198 i
|
||||
0.91960 -0.25019 i
|
||||
0.94975 -0.23824 i
|
||||
0.97990 -0.22615 i
|
||||
1.01005 -0.21393 i
|
||||
1.04020 -0.20159 i
|
||||
1.07035 -0.18914 i
|
||||
1.10050 -0.17660 i
|
||||
1.13065 -0.16396 i
|
||||
1.16080 -0.15125 i
|
||||
1.19095 -0.13847 i
|
||||
1.22111 -0.12563 i
|
||||
1.25126 -0.11274 i
|
||||
1.28141 -0.09981 i
|
||||
1.31156 -0.08685 i
|
||||
1.34171 -0.07386 i
|
||||
1.37186 -0.06085 i
|
||||
1.40201 -0.04783 i
|
||||
1.43216 -0.03481 i
|
||||
1.46231 -0.02180 i
|
||||
1.49246 -0.00879 i
|
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1.52261 0.00420 i
|
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1.55276 0.01716 i
|
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|
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|
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1.67337 0.06868 i
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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2.27638 0.30938 i
|
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2.30653 0.32041 i
|
||||
2.33668 0.33133 i
|
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2.36683 0.34214 i
|
||||
2.39698 0.35283 i
|
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2.42714 0.36341 i
|
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2.45729 0.37388 i
|
||||
2.48744 0.38423 i
|
||||
2.51759 0.39446 i
|
||||
2.54774 0.40457 i
|
||||
2.57789 0.41457 i
|
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2.60804 0.42445 i
|
||||
2.63819 0.43422 i
|
||||
2.66834 0.44386 i
|
||||
2.69849 0.45338 i
|
||||
2.72864 0.46279 i
|
||||
2.75879 0.47208 i
|
||||
2.78894 0.48125 i
|
||||
2.81910 0.49029 i
|
||||
2.84925 0.49923 i
|
||||
2.87940 0.50804 i
|
||||
2.90955 0.51673 i
|
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2.93970 0.52531 i
|
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2.96985 0.53377 i
|
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3.00000 0.54211 i
|
||||
|
||||
38
1S/DS/DS_0601/index.rst
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38
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|
||||
Notes sur DS_0601
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||||
#################
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||||
:date: 2015-07-01
|
||||
:modified: 2015-07-01
|
||||
:tags: DS, Fonctions, Dérivation, Suites
|
||||
:category: 1S
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers DS_0601.pdf <DS_0601.pdf>`_
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`Lien vers DS_0601.tex <DS_0601.tex>`_
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||||
Remarques sur le sujet
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-----------------------
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|
||||
- Beaucoup trop long
|
||||
- Le deuxième exercice trop dure quoi que... Peut être donner une indication pour la question 3.a permettrai aux élèves de savoir dans quelle direction aller.
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||||
Erreurs des élèves
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------------------
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||||
- Peu de bon tableau de variation. Beaucoup oublient la valeur interdite.
|
||||
- :math:`2^0 - 1` beaucoup ne le savent pas!
|
||||
- des erreurs de calcul loufoques autour du calcul des termes d'une suite.
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||||
Enseignement à tirer
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--------------------
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||||
- leur faire faire beaucoup trop de calcul en DM depuis de début de l'année et prévoir les chapitres avec des DM!
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||||
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||||
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||||
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||||
251
1S/DS/DS_0929/DS_0929.tex
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251
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@@ -0,0 +1,251 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{1}
|
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{29 septembre 2014}
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\duree{1 heure}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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||||
\typedoc{DS}
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||||
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||||
\printanswers
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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|
||||
\textbf{1 point} est réservé à la présentation et à la rédaction.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
|
||||
\question[5]
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw[very thin, gray] (-4,-5) grid (6,5);
|
||||
\draw[->, thick] (-4,0) -- (6,0) node[below right] {$x$};
|
||||
\draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
|
||||
\draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
|
||||
\draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
|
||||
\draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};
|
||||
|
||||
\draw[very thick] (-4,-4) -- (6,1) ;
|
||||
\draw (5,0.5) node [above ] {$\mathcal{D}$};
|
||||
\draw (2,-3) node {$\bullet$} node[below right] {$A$};
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\draw[color=red] (1,-5) -- (6,5) node[left] {$d_2$};
|
||||
\draw[color=blue] (-1,-4) -- (2,5) node[left] {$d_1$};
|
||||
\fi
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
Pour les questions qui suivent, vous tracerez sur le sujet et vous indiquerez le nom des droites.
|
||||
\\[0.5cm]
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Tracer la droite $d_2$ passant par $A$ et de coefficient directeur 2 .
|
||||
\part Tracer la droite $d_1$ d'équation $ y = 3x - 1$ .
|
||||
\part Déterminer l'équation de la droite $\mathcal{D}$.
|
||||
%\part Tracer la droite $d_2$ passant par $B(-2,3)$ et de coefficient directeur $-1$ .
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$B(0;-2)$ et $C(4;0)$ sont deux points de $\mathcal{D}$.\\
|
||||
On determine le coefficient directeur de $\mathcal{D}$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
a & = & \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C}= \frac{-2 - 0}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc l'équation de $\mathcal{D}$ est de la forme $y = \frac{1}{2}x + b$. Déterminons $b$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
B(0;-2) \in \mathcal{D} & \mbox{ donc } & -2 = \frac{1}{2} \times 0 + b \\
|
||||
&\mbox{ donc } & b = -2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
L'équation de $\mathcal{D}$ est donc $y = \frac{1}{2} - 2$
|
||||
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\question[5]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction_corr}
|
||||
\else
|
||||
\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction}
|
||||
\fi
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Tracer, sans faire de calculs, la tangente à $\mathcal{C}_g$ en -2.
|
||||
\part Déterminer graphiquement $g(1)$ et $g'(1)$ ($T$ est la tangente à $\mathcal{C}_g$ en 1).
|
||||
\part Déterminer graphiquement les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$.
|
||||
\end{parts}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Cf graphique
|
||||
\part Graphiquement on lit $g(1) = 0$.\\
|
||||
$g'(1)$ est le coefficient directeur de $T$. Les points $A(1,0)$ et $B(0,1)$ sont deux points de $T$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g'(1) & = & \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{0 - 1}{1 - 0} = -1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\part $g'(a) = 0$ correspond aux tangentes horizontales. On peut voir qu'il y a deux tangentes horizontales une au points $(-1:1)$ et une autre au point $(3;-1)$. Donc les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$ sont $-1$ et $3$.
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\pagebreak
|
||||
|
||||
\question[5]
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[yscale=0.7,xscale=1.2]
|
||||
\draw[very thin, gray] (-3,-5) grid (3,5);
|
||||
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
|
||||
\draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
|
||||
\draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
|
||||
\draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
|
||||
\draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};
|
||||
|
||||
\draw (-2,2) node {$\bullet$};
|
||||
\draw (-2.5 , 4) -- (-1.5,0);
|
||||
|
||||
\draw (1,-1) node {$\bullet$};
|
||||
\draw (2,1) -- (0,-3);
|
||||
|
||||
\ifprintanswers
|
||||
\draw[color = green, very thick] (-1,-1) node {$\bullet$};
|
||||
\draw[color = green, very thick] (-2 , 1) -- (0,-3);
|
||||
|
||||
\draw[color=green, very thick] (2,2) node {$\bullet$};
|
||||
\draw[color=green, very thick] (2.5 , 4) -- (1.5,0);
|
||||
|
||||
\draw[color=green, very thick] (0,-2) node {$\bullet$};
|
||||
\draw[color=green, very thick] (-1 , -2) -- (1,-2);
|
||||
|
||||
\draw[color = red, very thick] plot [domain= -2.5:2.5] (\x, {\x*\x - 2});
|
||||
\fi
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
On donne le tableau de valeurs correspondant à la fonction
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x & \mapsto & x^2 - 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{5}{p{.8cm}|}}
|
||||
\hline
|
||||
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
|
||||
\hline
|
||||
$f(x)$ & 2 & & -2 & -1 & \\
|
||||
\hline
|
||||
Nombre dérivé & -4 & -2 & & 2 & 4 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\vspace{1cm}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les éléments manquant du tableau
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Calcul des éléments manquants dans le tableau
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(-1) & = & (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\
|
||||
f(2) & = & 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Calcul du nombre dérivé en 0
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} &=& \frac{h^2 - 2 - -(2)}{h} = \frac{h^2}{h} = h
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc quand $h$ tend vers 0, $\frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ tend vers 0. Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(0) & = & \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\part Compléter le graphique avec les éléments du tableau.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
En vert.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Tracer précisément la courbe.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
En rouge.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\question[4]
|
||||
|
||||
Alain a mis 4 musiques en lecture aléatoire sur son lecteur de musique. Le tableau suivant indique la durée en secondes de chacun de ces morceaux.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Nom du morceau & A & B & C & D \\
|
||||
\hline
|
||||
Durée (en secondes) & 280 & 200 & 240 & 280 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
On note $T$ le durée d'écoute de deux morceaux successifs (la lecture aléatoire permet d'écouter deux fois de suite le même morceau).
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer la loi de probabilité de $T$. Justifier avec un arbre ou un tableau à double entrée.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Durée d'écoute pour deux morceaux
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
& A & B & C & D \\
|
||||
\hline
|
||||
A & 560 & 480 & 520 & 560 \\
|
||||
\hline
|
||||
B & 480 & 400 & 440 & 480 \\
|
||||
\hline
|
||||
C & 520 & 440 & 480 & 520 \\
|
||||
\hline
|
||||
D & 560 & 480 & 520 & 560 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
On en déduit la loi de probabilité de $T$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Valeurs de T & 400 & 440 & 480 & 520 & 560 \\
|
||||
\hline
|
||||
Probabilité & $\frac{1}{16}$ & $\frac{2}{16}$ & $\frac{5}{16}$ & $\frac{4}{16}$ & $\frac{4}{16}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
Car il y a 16 issues possibles et que par exemple, il y a 5 issues qui donnent 480 d'où $P(X = 480) = \frac{5}{16}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Quelle est la probabilité, $P(T>500)$, pour que les deux morceaux successifs durent plus de 500 secondes?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(T > 500) & = & P(T = 520) + P(T=560) \\
|
||||
& = & \frac{4}{16} + \frac{4}{16} \\
|
||||
& = & \frac{8}{16} = \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la probabilité pour que les deux morceaux durent plusde 500 secondes est de $\frac{1}{2}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part(Bonus) Quelle est la probabilité pour que les deux morceaux tirés au hasard soient les mêmes?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Il y a 16 issues possibles pour les choix aléatoires de deux musiques. Or il n'y a que 4 issues qui correspondent à deux fois le même. Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P( \left\{ \mbox{ Deux fois le même morceau } \right\}) & = & \frac{4}{16} = \frac{1}{4}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc une fois sur 4, il tombera sur deux fois le même morceau.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
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|
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|
||||
d="m 485.27901,1054.1093 0,-586.06769"
|
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|
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|
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Notes sur DS_0929
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:date: 2015-07-01
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:modified: 2015-07-01
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:tags: DS, Droites, Dérivation, Proba
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:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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223
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@@ -0,0 +1,223 @@
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\date{16 octobre 2010}
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\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
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||||
\begin{questions}
|
||||
|
||||
\question[3]
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
Convertir, de degré vers radian, puis placer sur le cercle trigonométrique les points suivants
|
||||
|
||||
\begin{oneparchoices}
|
||||
\choice $210^o$
|
||||
\choice $630^o$
|
||||
\end{oneparchoices}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (30:1) node[rotate=30] {|};
|
||||
\draw (45:1) node[rotate=45] {|};
|
||||
\draw (60:1) node[rotate=60] {|};
|
||||
\draw (120:1) node[rotate=120] {|};
|
||||
\draw (135:1) node[rotate=135] {|};
|
||||
\draw (150:1) node[rotate=150] {|};
|
||||
\draw (-30:1) node[rotate=-30] {|};
|
||||
\draw (-45:1) node[rotate=-45] {|};
|
||||
\draw (-60:1) node[rotate=-60] {|};
|
||||
\draw (-120:1) node[rotate=-120] {|};
|
||||
\draw (-135:1) node[rotate=-135] {|};
|
||||
\draw (-150:1) node[rotate=-150] {|};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\part
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
Convertir, de radian vers degré, puis placer sur le cercle trigonométrique les points suivants
|
||||
|
||||
\begin{oneparchoices}
|
||||
\choice $\dfrac{3\pi}{8}$
|
||||
\choice $\dfrac{-5\pi}{6}$
|
||||
\end{oneparchoices}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (30:1) node[rotate=30] {|};
|
||||
\draw (45:1) node[rotate=45] {|};
|
||||
\draw (60:1) node[rotate=60] {|};
|
||||
\draw (120:1) node[rotate=120] {|};
|
||||
\draw (135:1) node[rotate=135] {|};
|
||||
\draw (150:1) node[rotate=150] {|};
|
||||
\draw (-30:1) node[rotate=-30] {|};
|
||||
\draw (-45:1) node[rotate=-45] {|};
|
||||
\draw (-60:1) node[rotate=-60] {|};
|
||||
\draw (-120:1) node[rotate=-120] {|};
|
||||
\draw (-135:1) node[rotate=-135] {|};
|
||||
\draw (-150:1) node[rotate=-150] {|};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[5]
|
||||
Placer sur le cercle trigonométrique les angles suivants (les 2 premiers angles seront placés sur le premier cercle):
|
||||
|
||||
\begin{oneparchoices}
|
||||
\choice $-\pi$
|
||||
\choice $51\pi$
|
||||
\choice $\dfrac{13\pi}{2}$
|
||||
\choice $\dfrac{-5\pi}{6}$
|
||||
\choice $\dfrac{-13\pi}{3}$
|
||||
\end{oneparchoices}
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (30:1) node[rotate=30] {|};
|
||||
\draw (45:1) node[rotate=45] {|};
|
||||
\draw (60:1) node[rotate=60] {|};
|
||||
\draw (120:1) node[rotate=120] {|};
|
||||
\draw (135:1) node[rotate=135] {|};
|
||||
\draw (150:1) node[rotate=150] {|};
|
||||
\draw (-30:1) node[rotate=-30] {|};
|
||||
\draw (-45:1) node[rotate=-45] {|};
|
||||
\draw (-60:1) node[rotate=-60] {|};
|
||||
\draw (-120:1) node[rotate=-120] {|};
|
||||
\draw (-135:1) node[rotate=-135] {|};
|
||||
\draw (-150:1) node[rotate=-150] {|};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (30:1) node[rotate=30] {|};
|
||||
\draw (45:1) node[rotate=45] {|};
|
||||
\draw (60:1) node[rotate=60] {|};
|
||||
\draw (120:1) node[rotate=120] {|};
|
||||
\draw (135:1) node[rotate=135] {|};
|
||||
\draw (150:1) node[rotate=150] {|};
|
||||
\draw (-30:1) node[rotate=-30] {|};
|
||||
\draw (-45:1) node[rotate=-45] {|};
|
||||
\draw (-60:1) node[rotate=-60] {|};
|
||||
\draw (-120:1) node[rotate=-120] {|};
|
||||
\draw (-135:1) node[rotate=-135] {|};
|
||||
\draw (-150:1) node[rotate=-150] {|};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (30:1) node[rotate=30] {|};
|
||||
\draw (45:1) node[rotate=45] {|};
|
||||
\draw (60:1) node[rotate=60] {|};
|
||||
\draw (120:1) node[rotate=120] {|};
|
||||
\draw (135:1) node[rotate=135] {|};
|
||||
\draw (150:1) node[rotate=150] {|};
|
||||
\draw (-30:1) node[rotate=-30] {|};
|
||||
\draw (-45:1) node[rotate=-45] {|};
|
||||
\draw (-60:1) node[rotate=-60] {|};
|
||||
\draw (-120:1) node[rotate=-120] {|};
|
||||
\draw (-135:1) node[rotate=-135] {|};
|
||||
\draw (-150:1) node[rotate=-150] {|};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (30:1) node[rotate=30] {|};
|
||||
\draw (45:1) node[rotate=45] {|};
|
||||
\draw (60:1) node[rotate=60] {|};
|
||||
\draw (120:1) node[rotate=120] {|};
|
||||
\draw (135:1) node[rotate=135] {|};
|
||||
\draw (150:1) node[rotate=150] {|};
|
||||
\draw (-30:1) node[rotate=-30] {|};
|
||||
\draw (-45:1) node[rotate=-45] {|};
|
||||
\draw (-60:1) node[rotate=-60] {|};
|
||||
\draw (-120:1) node[rotate=-120] {|};
|
||||
\draw (-135:1) node[rotate=-135] {|};
|
||||
\draw (-150:1) node[rotate=-150] {|};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\question[5]
|
||||
On place dans une urne 7 boules bleues et 3 boules vertes.
|
||||
|
||||
La partie coûte 5\euro. On tire deux boules aléatoirement avec remise. Une boule bleue rapporte 1 \euro\; et une boule verte rapporte 5 \euro. On note $X$ les gains à ce jeu.
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer la loi de probabilité de $X$.
|
||||
\part A-t-on intérêt à jouer à ce jeu?
|
||||
\end{parts}
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\question[8]
|
||||
% Loi de proba, calcul de E et V et décalage des éléments
|
||||
À force de confisquer les téléphones portables de ses élèves, un professeur a pu établir le tableau suivant
|
||||
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite \\ \hline
|
||||
Fréquence (en \%)& 20 & 10 & 15 & 50 & 5 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
Il décide alors de ne plus les rendre en fin de cours mais de les vendre au marché noir. Il se renseigne alors sur les prix de vente:
|
||||
|
||||
\hspace{-1.5cm}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c| *{6}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette \\ \hline
|
||||
Prix de revente (en \euro) & 10 & 40 & 70 & 150 & 200 & 250 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
On note $X$ la variable aléatoire désignant le prix de revente d'un téléphone confisqué.
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Donner le loi de probabilité de $X$
|
||||
\part Montrer que l'espérance de $X$ vaut 101,5\euro. Que signifie cette valeur?
|
||||
\part Calculer l'écart-type de $X$.
|
||||
\part Il estime qu'il confisque en moyenne 10 téléphones par jour. Malheureusement, son revendeur lui prend une commission de 100 \euro{} par jour. On note $Y$ la variable aléatoire désignant le bénéfice du professeur par jour.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
|
||||
\subpart Calculer l'espérance de $Y$.
|
||||
\subpart S'il travaille 200 jours par an, combien aura-t-il gagné à la fin de l'année? Peut-il devenir riche de cette manière?
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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15
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15
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@@ -0,0 +1,15 @@
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||||
Notes sur DS_1016
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||||
#################
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||||
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||||
:date: 2015-07-01
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||||
:modified: 2015-07-01
|
||||
:tags: DS, Angles, Proba
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers DS_1016.tex <DS_1016.tex>`_
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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||||
\titre{DS 3}
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||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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||||
\classe{\premiereS}
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||||
\date{23 novembre 2014}
|
||||
\duree{1 heure}
|
||||
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
|
||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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||||
\typedoc{DS}
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||||
\renewcommand\choicelabel{\ovalbox{\thechoice}}
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||||
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||||
\printanswers
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||||
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||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\vfill
|
||||
\question[4]
|
||||
Soit $f:x\mapsto -4x^2 + x - 3$ une fonction polynôme du second degré.
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Mettre $f$ sous la forme canonique.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On reconnait les coéfficients de $f$: $a = -4$, $b = 1$ et $c= -3$
|
||||
Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\alpha & = & \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}\\
|
||||
\beta &=& - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = - \frac{1^2 - 4\times (-4) \times (-3)}{4\times (-4)} \\
|
||||
&=& -\frac{1 - 48}{-16} = \frac{-47}{16}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la forme canonique de $f$ est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) & = & a(x-\alpha)^2 + \beta \\
|
||||
f(x) & = & -3(x-\frac{1}{8})^2 + \frac{-47}{16}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Quel est le nom de la courbe représentative de $f$? Quels sont les coordonnées de son sommet?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Comme $f$ est un polynôme du 2nd degré, sa courbe représentative est une \textbf{parabole}. Les coordonnées de son sommet sont $(\alpha;\beta) = (\frac{1}{8};\frac{-47}{16})$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
...
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Donner le tableau de variation de $f$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
...
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\question[4]
|
||||
Voici 3 fonctions polynôme du second degré.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) &=& x^2 - 4x + 5\\
|
||||
g(x) &=& -2x^2 + 8x - 7 \\
|
||||
h(x) &=& 2x^2 + 8x + 6
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Voici 3 courbes $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$.
|
||||
|
||||
\hspace{-1cm}
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\repere{-4}{4}{-4}{4}
|
||||
\draw[very thick, domain=-3.7:-0.3, color=red] plot (\x, {2*\x*\x + 8*\x + 6});
|
||||
\draw (-3,3) node [above right] {$\mathcal{P}_1$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hspace{0.5cm}
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\repere{-4}{4}{-4}{4}
|
||||
\draw[very thick, domain=0.3:3.7, color=red] plot (\x, {\x*\x - 4*\x + 5});
|
||||
\draw (1,3) node [above right]{$\mathcal{P}_2$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hspace{0.5cm}
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\repere{-4}{4}{-4}{4}
|
||||
\draw[very thick, domain=0.5:3.5, color=red] plot (\x, {-2*\x*\x + 8*\x - 7});
|
||||
\draw (1,-3) node [above right]{$\mathcal{P}_3$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
|
||||
Retrouver à quelle fonction correspond chaque courbe, en justifiant.
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
La courbe $\mathcal{P}_3$ ne peut être que la courbe représentatve de $g$ car elle a ses branches vers le bas et c'est la seule fonction qui a pour premier coéfficient ($a)$ un nombre négatif.
|
||||
|
||||
Pour distinguer les deux autres, on peut calculer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de $f$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\alpha & = & \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2\\
|
||||
\beta & = & -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{(-4)^2 - 4\times 1\times 5}{4\times 1}\\
|
||||
\beta & = & -\frac{16 - 20}{4} = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc le sommet de la courbe représentative de $f$ a pour coordonnées $(2;1)$ c'est donc la courbe $\mathcal{P}_2$.
|
||||
|
||||
Par élimination, la courbe représentative de $h$ est $\mathcal{P}_1$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\question[6]
|
||||
Deux vaches sont confortablement installées dans un champ au bord d'une route peu fréquentée. Aujourd'hui, elles ont décidé de compter les voitures rouges qui passent devant elles. Leurs longues ruminations des mois précédents leur ont appris que la couleur d'une voiture était indépendante de la couleur de la voiture précédente et qu'il y avait environ 30\% de voitures rouges. Elles ont vu 3 voitures.
|
||||
|
||||
On nomme $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures rouges qui passent devant les deux vaches.
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$X$ suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,3. En effet, on répète 3 fois une expérience de Bernoulli (passage d'une voiture) de façon indépendante. Dans chacune de ces expériences, un succès est le passage d'une voiture rouge (avec probabilité 30\% = 0,3) et un échec est le passage d'une voiture d'une autre couleur.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Calculer $P(X = 0)$, $P(X = 1)$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
faire le graphique
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X=0) & = & 0.7 \times 0.7 \times 0.7 = 0.343 \\
|
||||
P(X = 1) & = & 3 \times 0.3 \times 0.7 \times 0.7 = 0.441
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Quelle est la probabilité pour que les deux vaches aient vu au moins deux voitures rouges?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Calcul de la probabilité que les vaches voient au moins 2 voitures rouges:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\{\mbox{Au moins deux voitures rouges}\}) & = & P(X \geq 2) \\
|
||||
& = & P(X = 2) + P(X = 3) \\
|
||||
& = & 3 \times 0.7 \times 0.3 \times 0.3 + 0.3 \times 0.3 \times 0.3 \\
|
||||
& = & 0.216
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\clearpage
|
||||
|
||||
\question[6]
|
||||
\begin{itshape}
|
||||
Cet exercice est une questionnaire à choix multiples (QCM).
|
||||
|
||||
Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte.
|
||||
|
||||
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
|
||||
|
||||
Une réponse juste apporte 1,5point, une réponse fausse enlève 0,5 point et l'absence de réponse ne rapport ni n'enlève de points. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.
|
||||
|
||||
\end{itshape}
|
||||
\vfill
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Un panier contient 20 fraises et 30 framboises. On prend simultanément 5 fruits. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de fraises. X suit alors une loi binomiale de paramètres $5$ et $\frac{20}{50}$.
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\begin{oneparchoices}
|
||||
\choice Vrai
|
||||
\CorrectChoice Faux
|
||||
\end{oneparchoices}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
C'est faux, car il les tirages sont sans remises donc ils ne sont pas indépendants.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\part Le coefficient binomial $\coefBino{9}{8}$ est égal à
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\begin{oneparchoices}
|
||||
\choice $\coefBino{8}{7}$
|
||||
\CorrectChoice $9$
|
||||
\choice $\coefBino{9}{0}$
|
||||
\end{oneparchoices}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On sait que $\coefBino{n}{n-1}=n$ donc $\coefBino{9}{8} = 9$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\part Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et 0.7, $\coefBino{n}{k}$ est le nombre de chemins avec $k$ succès.
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\begin{oneparchoices}
|
||||
\CorrectChoice Vrai
|
||||
\choice Faux
|
||||
\end{oneparchoices}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
C'est la définition de $\coefBino{n}{k}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\part On considère $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 5 et $\frac{3}{11}$ . $X$ peut alors prendre les valeurs entières comprises entre 1 et 5.
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
\begin{oneparchoices}
|
||||
\choice Vrai
|
||||
\CorrectChoice Faux
|
||||
\end{oneparchoices}
|
||||
\vfill
|
||||
\begin{solution}
|
||||
C'est faux car $X$ peut aussi valoir 0.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@@ -0,0 +1,17 @@
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||||
Notes sur DS_1123
|
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#################
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||||
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||||
:date: 2015-07-01
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||||
:modified: 2015-07-01
|
||||
:tags: DS, Fonctions, Proba
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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\usepackage{tkz-tab}
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% Title Page
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\titre{DS 4}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{15 décembre 2014}
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\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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||||
\typedoc{DS}
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||||
|
||||
\printanswers
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||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\question[5]
|
||||
|
||||
\includegraphics[scale=0.35]{./fig/dessin}
|
||||
|
||||
$ABCD$ est un carré de centre $O$. Les points $E$, $F$, $G$ et $H$ sont les milieux respectifs des cotés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$.
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Citer deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$: $\vec{HF}$ et $\vec{DC}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Donner un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ mais qui ne lui soit pas égal.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$\vec{BD}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ car il a la même direction mais pas la même norme.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part En laissant les traits de construction, placer le point $M$ tel que $\vec{AM} = \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$.
|
||||
\part On suppose que l'origine du repère est $O$ et que $D$ a pour coordonnées $(1;1)$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les coordonnées de $\vec{ED}$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Coordonnée de $\vec{ED}$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{ED} & = & \vectCoord{x_D - x_E}{y_D - y_E} \\
|
||||
&=& \vectCoord{1 - (-1)}{1 - 0}\\
|
||||
&=& \vectCoord{2}{1}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Calculer les coordonnées de $M$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC} & = & \vectCoord{2}{1} - \vectCoord{1}{1} + 3\vectCoord{0}{-1} \\
|
||||
&=& \vectCoord{2 - 1 + 3\times 0}{1 - 1 + 3 \times (-1)} \\
|
||||
&=& \vectCoord{1}{-3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc quand on fait subir la transformation $\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$ au point $A$, on obtient les coordonnées sur points $M$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_M & = & x_A + 1 = -1 + 1 = 0\\
|
||||
y_M & = & y_A - 3 = 1 - 3= -2\\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Les coordonnées de $M$ sont alors $(0;-2)$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[4]
|
||||
Soit $f$ la fonction $f:x\mapsto - 4x^2 + 5x - 12$
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part En passant par la dérivée, tracer le tableau de variation de $f$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Calcul de la dérivé de $f$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) & = & -4 \times 2\times x + 5 + 0 = -8x + 5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On cherche les valeurs de $x$ tels que $f'$ soit positive
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) > 0 & \equiv & -8x + 5 > 0 \\
|
||||
&\equiv& -8x > -5 \\
|
||||
&\equiv& x > \frac{5}{8}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Car $-8$ est négatif donc on a changé le sens de l'inégalité.
|
||||
|
||||
Ici $a$ est négatif donc les branches sont orientées vers le bas.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{5}{8}$, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, + , z, -,}
|
||||
\tkzTabVar{-/{}, +/{$\frac{-167}{16}$}, -/{} }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(\frac{5}{8}) & = & -4\times\left( \frac{5}{8} \right)^2 + 5\times \frac{5}{8} - 12 \\
|
||||
&=& \frac{-668}{64} = \frac{-167}{16}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Combien de solution l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle?
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||||
\begin{solution}
|
||||
D'après le tableau de variations de la question précédente, on remarque que la maximum de $f$ est un nombre négatif. Donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solutions.
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||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[8]
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||||
Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3km de son domicile à une vitesse constante de 15km/h. Sur son parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est de $\dfrac{2}{3}$ et celle qu'il soit à l'orange ou au rouge est de $\dfrac{1}{3}$. Un feu rouge ou orange lui font perdre une minute et demi.
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||||
|
||||
On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours.
|
||||
|
||||
On appelle $T$ la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée.
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer la loi de probabilité de $X$. Justifier.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$X$ suit une loi binomiale de paramètre 6 et $\frac{2}{3}$. En effet, chaque feu correspond à un épreuve de Bernouilli avec comme succès que le feu soit vert avec probabilité $\frac{2}{3}$. Chacune de ces expériences sont indépendantes (les feux ne sont pas synchronisés). Et on la répète 6 fois.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Est-ce que $T$ suit une loi binomiale? Justifier.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
$T$ ne suit pas une loi binomiale car elle mesure un temps et ne compte pas le nombre de succès ou d'échecs.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer la probabilité qu'il rencontre exactement 4 feux verts.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Probabilité d'avoir exactement 4 feux verts:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X = 4) & = & \coefBino{6}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
|
||||
&\approx& 0.33
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La probabilité qu'il ai exactement 4 feux vert est de 0,33.
|
||||
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Combien de temps mettra-t-il alors pour aller au lycée?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
15km/h correspond à $15:60 = 0,25km/min$.
|
||||
|
||||
Si le parcourt se fait sans rencontrer de feu rouge (temps minimal de trajet pour parcourir les 3km)
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{3}{0,25} & = & 12 min
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Donc s'il rencontre 4 feux vert soit 2 feux rouges ou oranges
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
12 + 2\times1,5 & = & 15min
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Il mettra 15 minutes s'il rencontre 2 feux rouges ou oranges.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Espérance de $X$: Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\frac{2}{3}$, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] & = & 6\times \frac{2}{3} = 4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
En moyenne, il rencontrera 4 feux verts.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Exprimer $T$ en fonction de $X$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
D'après la question 2.b, s'il ne rencontre pas de feux rouges ou orange il met 12 minutes. Chaque feu rouge rencontré lui fait perdre 1,5minutes de plus. Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
T & = & 12 + (6-X)\times1,5\\
|
||||
T &=& 12 + 9 - 1,5X \\
|
||||
T &=& 21 - 1,5X
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\subpart Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Espérance de $T$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[T] & = & 21 - 1,5\times E[X]\\
|
||||
E[T] & = & 21 - 1,5\times 4\\
|
||||
E[T] &=& 21 - 6 = 15
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il mettra en moyenne 15 minutes pour aller au lycée.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part L'élève part 17 minutes avant le début des cours. Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure?
|
||||
\begin{solution}
|
||||
S'il y a que 2 feux verts, son parcours durera 18 minutes. S'il en a 3, son parcours durera 16,5min. Donc il sera en retard, dès que $X \leq 2$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X\leq 2) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\
|
||||
&=& 0,1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il a environ une chance sur 10 d'arriver en retard.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question[3]
|
||||
On suppose que $\coefBino{6}{2} = 15$. Vous répondrez aux questions suivantes sans utiliser la calculatrice.
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Détailler le calcul de $\coefBino{6}{4}$ en rappelant la formule utilisée.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On utilise la formule: $\coefBino{n}{k} = \coefBino{n}{n-k}$. Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\coefBino{6}{4} & = & \coefBino{6}{6-4} = \coefBino{6}{2} = 15
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Combien vaut $\coefBino{6}{1}$.
|
||||
\begin{solution}
|
||||
D'après le cours
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\coefBino{6}{1} & = & 6
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\subpart Détailler le calcul de $\coefBino{7}{2}$ en rappelant la formule utilisée.t
|
||||
\begin{solution}
|
||||
On utilise la formule de Pascale: $\coefBino{n+1}{k+1} = \coefBino{n}{k} + \coefBino{n}{k+1}$.
|
||||
|
||||
Donc en remplaçant $n$ par 6 et $k$ par 1 on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\coefBino{7}{2} & = & \coefBino{6}{1} + \coefBino{6}{2} = 6 + 15 = 21
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
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Notes sur DS_1215
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:date: 2015-07-01
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||||
:modified: 2015-07-01
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:tags: DS, Vecteurs, Dérivation, Proba
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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