2019-2020/TES/Logarithme/Etude_fonction/banque.tex

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\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Éléments remarquables du logarithme}, step={1}, topics={Logarithme}]
\begin{enumerate}
\item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
\item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
\item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
\item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={1}, topics={Logarithme}]
Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = x-2-\ln(x)$
\item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
\item $f(x) = x\ln(x)$
\item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
\item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
\item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions - Bis}, step={1}, topics={Logarithme}]
Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 2x - \ln(x) + 2$
\item $f(x) = x^3 - 4\ln(x)$
\item $f(x) = e^{3x} + 2 $
\item $f(x) = (2x - 2)\ln(x)$
\item(*) $f(x) = (\ln(x) + 1)(3x+2)$
\item(*) $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
2020-05-06 06:24:11 +00:00
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
\[
f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
\[
f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
\]
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
\[
f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
\[
f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
\]
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Recherche par dichotomie}, step={2}, topics={Logarithme}]
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{5}$ par
\[
f(x) = 3x -10 + 4\ln(x)
\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
\[
f'(x) = \frac{3x + 4}{x}
\]
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{5}$.
\end{enumerate}
\item On souhaite trouver un encadrement de $\alpha$ par la méthode de dichotomie.
Pour cela, on propose l'algorithme suivant:
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
$a \leftarrow 1$ \;
$b \leftarrow 5$ \;
\Tq{$b-a \leq 0.01$}{
$m \leftarrow \dfrac{b+a}{2}$ \;
\eSi{f(m) > 0}{
$a \leftarrow m$\;
}{
$b \leftarrow m$\;
}
}
\Retour{$a, b$}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item En vous aidant du tableau ci-dessous (vous pouvez ajouter des lignes si nécessaire) exécuter l'algorithme pour trouver un encadrement d'amplitude 0.01 de $\alpha$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{p{2cm}|}}
\hline
$a$ & $b$ & $(b-a) \leq 0.01$ & $m$ & $f(m) > 0$ \\
\hline
& & & & \\
\hline
& & & & \\
\hline
& & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Expliquer le fonctionnement de cet algorithme en quelques phrases.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Primitives}, step={3}, topics={Logarithme}]
Calculer les primitives des fonctions suivantes
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \dfrac{1}{x} + x$
\item $g(x) = -\dfrac{4}{x}$
\item $h(x) = 5x + \dfrac{10}{x}$
\item $i(t) = 2t + \dfrac{4}{t} - 2\dfrac{1}{t^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Coût de fabrication}, step={3}, topics={Logarithme}]
Un usine fabrique entre \np{1000} et \np{7000} objets pas semaines.
Un étude des moyens de productions a permis de modéliser les coûts de production par la fonction $C$ définie sur $\intFF{1}{7}$ par
\[
c(x) = 1,5x^2 - 9x + 24 + \dfrac{48}{x}
\]
$x$ représente la production hebdomadaire en milliers d'objets.
\begin{enumerate}
\item Étude des variations des coûts.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la dérivée de $c$ est
\[
c'(x) = \frac{3(x-4)(x^2+x+4)}{x^2}
\]
\item Étudier le signe de $c'$ et en déduire les variations de $c$
\item Pour quelle production les coûts de productions sont-ils minimal?
\end{enumerate}
\item Étude des coûts de productions moyen.
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'une primitive de $c$ est
\[
C(x) = 0.5x^3 - 4,5x^2 + 24x + 1 + 48\ln(x)
\]
\item Calculer la valeur moyenne de $c$ sur $\intFF{1}{7}$.
\item Interpréter le résultat précédent.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}