2019-2020/TES/Logarithme/Etude_fonction/banque.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Éléments remarquables du logarithme}, step={1}, topics={Logarithme}]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
        \item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
        \item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
        \item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={1}, topics={Logarithme}]
    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
            \item $f(x) = x\ln(x)$
            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
            \item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions - Bis}, step={1}, topics={Logarithme}]
    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2x - \ln(x) + 2$
            \item $f(x) = x^3 - 4\ln(x)$
            \item $f(x) = e^{3x} + 2 $
            \item $f(x) = (2x - 2)\ln(x)$
            \item(*) $f(x) = (\ln(x) + 1)(3x+2)$
            \item(*) $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
    \[
        f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
            \[
                f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
            \]
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
        \item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
    \[
        f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
            \[
                f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
            \]
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Recherche par dichotomie}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{5}$ par
    \[
        f(x) = 3x -10 + 4\ln(x)
    \]
    \begin{enumerate}
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
                    \[
                        f'(x) = \frac{3x + 4}{x}
                    \]
                \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
                \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{5}$.
            \end{enumerate}
        \item On souhaite trouver un encadrement de $\alpha$ par la méthode de dichotomie.

            Pour cela, on propose l'algorithme suivant:
            \begin{center}
                \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                    \begin{algorithm}[H]
                        \SetAlgoLined
                        $a \leftarrow 1$ \;
                        $b \leftarrow 5$ \;
                        \Tq{$b-a \leq 0.01$}{
                            $m \leftarrow \dfrac{b+a}{2}$ \;
                            \eSi{f(m) > 0}{
                                $a \leftarrow m$\;
                                }{
                                $b \leftarrow m$\;
                            }
                        }
                        \Retour{$a, b$}
                    \end{algorithm}
                \end{minipage}
            \end{center}
            \begin{enumerate}
                \item En vous aidant du tableau ci-dessous (vous pouvez ajouter des lignes si nécessaire) exécuter l'algorithme pour trouver un encadrement d'amplitude 0.01 de $\alpha$.

                    \begin{center}
                    \begin{tabular}{|*{5}{p{2cm}|}}
                        \hline
                        $a$ & $b$ & $(b-a) \leq 0.01$ & $m$ & $f(m) > 0$ \\
                        \hline
                            & & & & \\
                        \hline
                            & & & & \\
                        \hline
                            & & & & \\
                        \hline
                    \end{tabular}
                    \end{center}
                \item Expliquer le fonctionnement de cet algorithme en quelques phrases.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Primitives}, step={3}, topics={Logarithme}]
    Calculer les primitives des fonctions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = \dfrac{1}{x} + x$
            \item $g(x) = -\dfrac{4}{x}$
            \item $h(x) = 5x + \dfrac{10}{x}$
            \item $i(t) = 2t + \dfrac{4}{t} - 2\dfrac{1}{t^2}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Coût de fabrication}, step={3}, topics={Logarithme}]
    Un usine fabrique entre \np{1000} et \np{7000} objets pas semaines.

    Un étude des moyens de productions a permis de modéliser les coûts de production par la fonction $C$ définie sur $\intFF{1}{7}$ par
    \[
        c(x) = 1,5x^2 - 9x + 24 + \dfrac{48}{x}
    \]
    où $x$ représente la production hebdomadaire en milliers d'objets.
    \begin{enumerate}
        \item Étude des variations des coûts.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que la dérivée de $c$ est
                    \[
                        c'(x) = \frac{3(x-4)(x^2+x+4)}{x^2}
                    \]
                \item Étudier le signe de $c'$ et en déduire les variations de $c$
                \item Pour quelle production les coûts de productions sont-ils minimal?
            \end{enumerate}
        \item Étude des coûts de productions moyen.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer qu'une primitive de $c$ est
                    \[
                        C(x) = 0.5x^3 - 4,5x^2 + 24x + 1 + 48\ln(x)
                    \]
                \item Calculer la valeur moyenne de $c$ sur $\intFF{1}{7}$.
                \item Interpréter le résultat précédent.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}