lafrite/2019-2020
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Bertrand Benjamin
2020-05-05 09:53:14 +02:00
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26
1ST/Derivation/Nombre_derive/1B_vitesse_instantannee.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,26 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - vitesse instantannée}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\section{Vitesse instantannée}
Dans l'activité sur l'étude de la vitesse d'un hamster, on a calculer la vitesse moyenne grâce au taux de variation de la position (notée $posi$) vu en début d'année
\[
\mbox{Vitesse moyenne } = \frac{posi(t_2) - posi(t_1)}{t_2-t_1}
\]
Pour connaître la \textbf{vitesse instantannée}, il faut rendre l'écart entre $t_2$ et $t_1$ le plus petit possible. "Rendre le plus petit possible" se note de la façon suivante en mathématique
\[
\mbox{Vitesse instannée } = \lim_{t_2 \rightarrow t_1} \frac{posi(t_2) - posi(t_1)}{t_2-t_1}
\]
\end{document}

431
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1ST/Derivation/Nombre_derive/2B_nombre_derive.pdf Normal file
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109
1ST/Derivation/Nombre_derive/2B_nombre_derive.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,109 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - Nombre dérivé}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
%\setcounter{section}{1}
\section{Tangente}
\subsection*{Définition}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
La \textbf{tangente} à une courbe au point $A$ d'abscisse $x$ est la \textbf{droite} qui passe par $A$ et qui vient se \textit{coller} le plus possible à la courbe en ce point.
Pour calculer son équation il faut:
\begin{itemize}
\item Le coefficient directeur ($a$)
\item L'ordonnée à l'origine ($b$)
\end{itemize}
Elle est de la forme
\[
y = ax + b
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
Dans le graphique ci-dessus, on a tracé la tangente en $x=2$ et son équation est:
\afaire{Tracer la tangente en $x=2$ et trouver son équation}
\section{Nombre dérivé}
\subsection*{Définition}
Soit $f$ une fonction et $T$ la tangente à la courbe représentative de $f$ en un point $x_0$.
On appelle \textbf{Nombre dérivé à $f$ en $x_0$} le coefficient directeur de la tangente $T$. On note ce nombre $f'(x_0)$.
\bigskip
Dans l'exemple précédent, on peut dire
\[
f'(2) = ...
\]
\afaire{à compléter}
\bigskip
On peut faire l'analogie avec la vitesse:
\begin{center}
\begin{tabular}{C{0.3\textwidth}|C{0.3\textwidth}|C{0.3\textwidth}}
\textbf{Position} & \textbf{Une fonction} & \textbf{Les coûts}\\
Vitesse Moyenne & Taux de variation & Variation des coûts\\
\[
v_m = \frac{posi(t_2) - posi(t_1)}{t_2-t_1}
\] &
\[
Tx = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}
\] &
\[
Var = \frac{cout(t_2) - cout(t_1)}{t_2-t_1}
\]
\\
Vitesse instantanée & Nombre dérivée & Coût marginal \\
\[
v(t_0) = \lim_{t \rightarrow t_0} \frac{posi(t_0) - posi(t)}{t_0-t}
\] &
\[
f'(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}
\] &
\[
C_m(t_0) = \lim_{t \rightarrow t_0} \frac{cout(t_0) - cout(t)}{t_0-t}
\]
\end{tabular}
\end{center}
La limite se traduit graphiquement comme les droites qui se rapprochent de la tangente.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/2E_tangente.pdf Normal file
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81
1ST/Derivation/Nombre_derive/2E_tangente.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,81 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Tangente}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Graphique}]
Pour chacun des graphiques ci-dessous, tracer les tangentes aux points d'abscisses donnés dans le tableau puis déterminer l'équation des droites.
\begin{enumerate}
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|c|}
\hline
x & Coéfficient directeur & Équation tangente \\
\hline
-2 & & \\
\hline
-1 & & \\
\hline
0 & & \\
\hline
1 & & \\
\hline
2 & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3 - 2*x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|c|}
\hline
x & Coéfficient directeur & Équation tangente \\
\hline
-2 & & \\
\hline
-1 & & \\
\hline
0 & & \\
\hline
1 & & \\
\hline
2 & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\printexercise{exercise}{1}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/3B_equation_tangente.pdf Normal file
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53
1ST/Derivation/Nombre_derive/3B_equation_tangente.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,53 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - Nombre dérivé}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\setcounter{section}{2}
\section{Équation de la tangente}
Lire l'équation d'une tangente est peu précis à cause de l'utilisation d'un graphique et parfois difficile car l'ordonnée à l'origine se trouve en dehors du graphique. Cette équation peut être calculée grâce à la propriété suivante.
\subsection*{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable, $T$ la tangente à la représentation graphique de $f$ au point $a$. On note $f(a)$ l'image de $a$ par la fonction $f$ et $f'(a)$ le nombre dérivé en $a$.
Alors l'équation de la tangente est
\[
y = f'(a)(x-a) + f(a)
\]
\subsection*{Exemple}
\begin{minipage}[b]{0.6\textwidth}
On veut calculer l'équation de la tangente en $2$. On peut lire graphiquement
\[
f(2) = ... \qquad \qquad f'(2) = ...
\]
On en déduit l'équation de l'équation
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=10,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**2}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt, color=red]{4*x-4}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\afaire{Terminer l'exemple}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/3E_nombre_derive.pdf Normal file
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140
1ST/Derivation/Nombre_derive/3E_nombre_derive.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,140 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Graphique}]
Pour chacun des graphiques ci-dessous compléter les tableaux pour trouver les nombres dérivés.
\begin{enumerate}
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2 - 2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item Pour les deux fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$? $f'(0,5)$?
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{2*x+1}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\item ~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{4}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/3E_nombre_derive_bis.pdf Normal file
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123
1ST/Derivation/Nombre_derive/3E_nombre_derive_bis.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,123 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Échauffement}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Soit $f$ la fonction représenté graphiquement ci-contre. On a tracé les tangentes à $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement $f(4)$.
\item Lire graphiquement $f'(4)$
\item Déterminer l'équation de la tangente en $A$.
\end{enumerate}
\item On admet que la tangente au point $B$ d'abscisse 0 a pour équation $y = -2x+5$.
\begin{enumerate}
\item Combien vaut $f(0)$?
\item Combien vaut $f'(0)$?
\item Tracer la tangente au point $B$ à $\mathcal{C}_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=0.6]
\tkzInit[xmin=-7,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=8,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -7:2, line width=1pt]{-0.5*(x+2)**2+7}
\draw (-4,5) node {$\times$} node [above left] {$A$};
\draw (0,5) node {$\times$} node [above right] {$B$};
\tkzFct[domain = -7:-2, line width=1pt,color=red]{2*x+13}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Position et Vitesse - Sti2d}]
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
On a représenté, ci-contre, la trajectoire d'une balle tirée verticalement. On appelle $z(t)$ la fonction qui décrit la hauteur (en m) de la balle en fonction du temps (en s).
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $z(6)$? Que signifie cette valeur?
\item Quelle est la hauteur de la balle au bout de 3s?
\end{enumerate}
\item On a tracé sur le graphique la tangente à la courbe en $t=2$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'équation de la tangente?
\item Combien vaut $z'(2)$? Que signifie cette valeur?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur maximal de la balle? En combien de temps est-elle atteint?
\item Tracer la tangente en ce point et calculer la nombre dérivé correspondant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.7, xscale=0.5]
\tkzInit[xmin=0,xmax=10,xstep=1,
ymin=-0.5,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
%\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzAxeX[right space=.5, label=$t$, poslabel=above]
\tkzAxeY[up space=.5, label=$z$, poslabel=above]
\tkzFct[domain = 0:10, line width=1pt]{-0.25*x*(x-10)}
%\draw (-4,5) node {$\times$} node [above left] {$A$};
%\draw (0,5) node {$\times$} node [above right] {$B$};
\tkzFct[domain = 0:4, line width=1pt,color=red]{1.5*x+1}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\vfill
\printexercise{exercise}{1}
\begin{exercise}[subtitle={Coût et coût marginal- STMG}]
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
On a représenté, ci-contre, les coûts $C$ (en milliers d'euros) en fonction de la quantité $x$ (en L) de mascara produit.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $C(6)$? Que signifie cette valeur?
\item Quelle est le coût pour produire 3L de mascara?
\end{enumerate}
\item On a tracé sur le graphique la tangente à la courbe en $x=2$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'équation de la tangente?
\item Combien vaut $C'(2)$? Cette quantité est appelée \textbf{coût marginal}. C'est l'évolution instantanée du coût pour une quantité (ici 2L).
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item À quelle endroit de la tangente à la courbe est horizontale? Tracer cette tangente puis calculer son équation.
\item Combien vaut le coût marginal à cet endroit?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.7, xscale=0.5]
\tkzInit[xmin=0,xmax=10,xstep=1,
ymin=-0.5,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
%\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzAxeX[right space=.5, label=$x$, poslabel=above]
\tkzAxeY[up space=.5, label=$C$, poslabel=above]
\tkzFct[domain = 0:10, line width=1pt]{0.04*(x-5)**3 + 5}
%\draw (-4,5) node {$\times$} node [above left] {$A$};
%\draw (0,5) node {$\times$} node [above right] {$B$};
\tkzFct[domain = 0:5, line width=1pt,color=red]{x+2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/4B_fonction_derivee.pdf Normal file
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46
1ST/Derivation/Nombre_derive/4B_fonction_derivee.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,46 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - Nombre dérivé}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\setcounter{section}{3}
\section{Fonction dérivée}
On a vu en exercice que l'on pourrait trouver une fonction qui calculait les nombres dérivées d'une fonction $f$. On appelle cette fonction \textbf{fonction dérivée de $f$} et on la note $f'$.
Pour calculer une fonction dérivée, on pourra utiliser le formulaire suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
\hline
Fonction $f$ & Fonction dérivée $f'$ \\
\hline
$a$ & $0$ \\
\hline
$ax$ & $a$ \\
\hline
$ax^2$ & $2ax$ \\
\hline
$ax^3$ & $3ax^2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsection*{Exemple}
On veut calculer la fonction dérivée de $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$
\begin{flalign*}
f'(x) &=&
\end{flalign*}
\afaire{Dériver la fonction}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/4E_fonction_derivee.pdf Normal file
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574
1ST/Derivation/Nombre_derive/4E_fonction_derivee.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,574 @@
\documentclass[a5paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Fonctions dérivée}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
\setlength{\mathindent}{0cm}
\geometry{left=5mm,right=10mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Une fonction dérivée?}]
\begin{enumerate}[wide]
\item $f(x) = 2x^2$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=9,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{2*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
f'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $g(x) = -4x$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-4*x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $g'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
g'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $h(x) = 2x^2-4x+1$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=10,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{2*x**2-4*x+1}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $h'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
h'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\clearpage
\begin{exercise}[subtitle={Une fonction dérivée?}]
\begin{enumerate}[wide]
\item $f(x) = -2x^2$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-9,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-2*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
f'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $g(x) = 3x$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{3*x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $g'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
g'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $h(x) = -2x^2+3x+1$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=3,xstep=1,
ymin=-10,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-2*x**2+3*x-1}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $h'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
h'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\clearpage
\begin{exercise}[subtitle={Une fonction dérivée?}]
\begin{enumerate}[wide]
\item $f(x) = 8x^2$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=20,ystep=2]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{4*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
f'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $g(x) = -6x$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-14,ymax=14,ystep=2]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-3*x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $g'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
g'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $h(x) = 8x^2-6x+10$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=20,ystep=2]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{4*x**2-3*x+5}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $h'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
h'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\clearpage
\begin{exercise}[subtitle={Une fonction dérivée?}]
\begin{enumerate}[wide]
\item $f(x) = -0.5x^2$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-6,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-0.5*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
f'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $g(x) = 2x$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{2*x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $g'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
g'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $h(x) = -0.5x^2+2x+1$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=4,xstep=1,
ymin=-8,ymax=2,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:4, line width=1pt]{-0.5*x**2+2*x-1}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $h'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
h'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\clearpage
\begin{exercise}[subtitle={Une fonction dérivée?}]
\begin{enumerate}[wide]
\item $f(x) = 50x^2$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=50,ystep=10]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{5*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
f'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $g(x) = -100x$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-300,ymax=300,ystep=50]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-100*x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $g'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
g'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\vfill
\item $h(x) = 50x^2-100x+20$
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=4,xstep=1,
ymin=-40,ymax=200,ystep=20]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:4, line width=1pt]{50*x**2-100*x+20}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|m{1cm}|c|}
\hline
x & Nombre dérivé $h'(x)$\\
\hline
-2 & \\
\hline
-1 & \\
\hline
0 & \\
\hline
1 & \\
\hline
2 & \\
\hline
\end{tabular}
Fonction dérivée:
\begin{flalign*}
h'(x) &=&
\end{flalign*}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/5B_variations_min_max.pdf Normal file
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30
1ST/Derivation/Nombre_derive/5B_variations_min_max.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,30 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - Nombre dérivé}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\setcounter{section}{4}
\section{Variation de la fonction}
Connaître la dérivée et étudier son signe permet de connaître les variations de la fonction.
\subsection*{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $f'$ sa dérivée.
\begin{itemize}
\item Si $f'(x) > 0$ (positif) pour tout $x$ dans $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
\item Si $f'(x) < 0$ (négatif) pour tout $x$ dans $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
\end{itemize}
\subsection*{Exemple}
Étude des variations de la fonction $f(x) = -4x^2 + 5x -1$
\afaire{Dériver $f$ puis tracer le tableau de variations}
\end{document}

BIN
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56
1ST/Derivation/Nombre_derive/5E_etude_cas.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,56 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - Utilisation de la dérivée}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}]
Le nombre d'offre "séjour exclusif" vendues peut être modélisé par la fonction suivante $N(x) = -0.6x + 219$ où $x$ désigne le prix de vente en euro.
\begin{enumerate}
\item On se place dans le cas où le prix de vente est de 150\euro.
\begin{enumerate}
\item Combien d'offres seront vendues dans ce cas?
\item Quel sera alors les recettes pour cette vente?
\end{enumerate}
\item Mêmes questions dans le cas où le prix est de 200\euro? 300\euro.
\item Est-il vrai que plus le nombre d'offres vendues est élévé plus les recettes le seront aussi?
\item On veut étudier ces recettes. On note $R(x)$ la fonction qui modélise les recettes et où $x$ représente le prix de vente.
\begin{enumerate}
\item Expliquer que l'on a $R(x) = -0.6x^2 + 219x$
\item Calculer la dérivée de $R$.
\item Dresser le tableau de variations de $R$.
\item En déduire le prix de vente qui permet d'avoir une recette maximale. Combien vaut alors cette recette?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Coûts et recettes}]
Une entreprise fabrique des flacons de crème de beauté. Cette entreprise peut fabriquer jusqu'à 60 flacons par jour.
\begin{enumerate}
\item Chaque flacon est vendu 250\euro. On note $R(x)$ les recettes des ventes journalière des flacons où $x$ désigne le nombre de flacon produit. Déterminer l'expression de $R$ en fonction de $x$.
\item L'étude des coûts a mené à les modéliser par la fonction $C(x) = x^2 + 160x +800$. On note $B(x)$ la fonction qui modélise les bénéfices (recettes moins les coûts).
\begin{enumerate}
\item Est-il vrai que plus l'entreprise produit et vend plus elle fait des bénéfices?
\item Démontrer que $B(x) = -x^2 + 90x -800$
\item Calculer la dérivée $B'$ de $B$.
\item En déduire le tableau de variations de $B$
\item Combien de flacons doivent être produit pour maximiser les bénéfices? Quels seront alors ces bénéfices?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\end{document}

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59
1ST/Derivation/Nombre_derive/6E_enclos.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,59 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - Tache complexe}
\tribe{1ST}
\date{Février 2020}
\pagestyle{empty}
\newcommand{\enclos}[1]{%
Dans son garage, Jean a trouvé #1m de grillage. \\
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
\end{center}
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible?
}
\begin{document}
\enclos{33}
\vfill
\enclos{30}
\vfill
\enclos{27}
\vfill
\enclos{25}
\pagebreak
\enclos{23}
\vfill
\enclos{21}
\vfill
\enclos{19}
\vfill
\enclos{17}
\vfill
\pagebreak
\enclos{15}
\vfill
\enclos{13}
\vfill
\enclos{11}
\vfill
\enclos{9}
\vfill
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

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1ST/Derivation/Nombre_derive/6P_enclos_notation.pdf Normal file
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39
1ST/Derivation/Nombre_derive/6P_enclos_notation.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,39 @@
\documentclass[10pt]{classPres}
%\usepackage{myXsim}
\title{Enclos - Exercices}
\date{Février 2020}
\begin{document}
\begin{frame}{Travail de groupe - Évaluation}
\begin{itemize}
\item \textbf{Rechercher}:
expérimenter, émettre des conjectures
\item \textbf{Modéliser}:
réaliser des simulations numériques d’un modèle, valider ou invalider un modèle
\item \textbf{Représenter}:
choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique...), changer de registre (algébrique, graphique...)
\item \textbf{Raisonner}:
démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective
\item \textbf{Calculs}:
appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes
\item \textbf{Communication}:
communiquer un résultat par oral ou par écrit, expliquer une démarche
\end{itemize}
\vfill
\end{frame}
\end{document}

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1ST/Derivation/Nombre_derive/fig/enclos.png Normal file
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After

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32
1ST/Derivation/Nombre_derive/hamster.py Normal file
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@@ -0,0 +1,32 @@
from math import sin
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def position(t):
if t < 0:
raise ValueError("t trop petit, le hamster n'est pas encore réveillé avant 8h!")
elif t < 2:
return sin(t)
elif t < 3:
return sin(2) + (t-2)*2
elif t < 5:
return (sin(2) + 2) + sin(2*(t-3)) - (t-3)
elif t < 5.5:
return sin(2) + 2 + sin(4) - 2
elif t <= 8:
return (sin(2) + 2 + sin(4) - 2) + sin(3*(t-5.5))/(t-4)
else:
raise ValueError("t trop grand, le hamster dort après 16h!")
def graph():
t = np.arange(0, 8, 0.1)
s = np.vectorize(position)(t)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, s)
ax.set(xlabel="Temps (en h)", ylabel="Position (en m)",
title="Position de la roue")
ax.grid()
return ax

141
1ST/Derivation/Nombre_derive/index.rst Normal file
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@@ -0,0 +1,141 @@
Découverte du nombre dérivé pour l'année 2019-2020 avec les premières technologiques
####################################################################################
:date: 2020-03-07
:modified: 2020-03-07
:authors: Bertrand Benjamin
:tags: Fonctions, Nombre dérivé
:category: 1techno
:summary: Du taux de variation au nombre dérivé avec les premières technologiques pour l'année 2019-2020.
Étape 1: Taux de variation au nombre dérivé
===========================================
On calcule des taux de variation sur des écarts de plus en plus petit pour gagner en précision.
On parle alors de vitesse instantanée ou de coût marginal.
Étape 2: Tangente à une courbe
==============================
Grâce à Géogébra, on montre graphiquement à quoi correspond les calculs fait dans l'étape précédente. On cherchera alors à formaliser la notion de tangente.
.. image:: 2E_tangente.pdf
:height: 200px
:alt: Tracer des tangentes et calculer coefficient directeur.
Les élèves vont ensuite travailler à tracer des tangentes pour ensuite trouver les équations des droites et en particulier leur coefficient directeur.
On formalisera le fait que le coefficient directeur est appelé nombre dérivé et on donnera la notation.
À la suite de cette activité, on posera les deux questions suivantes:
- Y a-t-il un lien entre le coefficient directeur de la tangente et la croissance de la fonction.
- Pour la première fonction peut-on trouver une fonction qui décrit le passage de x au coefficient directeur?
Étape 3: Nombre dérivé
======================
Calculer de plein plein de nombre dérivés et recherche de formule pour calculer les nombres dérivés.
.. image:: 3E_nombre_derive.pdf
:height: 200px
:alt: Lire graphiquement des nombres dérivés et trouver une formule pour les calculer.
Exercices contextualisés sur le nombre dérivé. On partagera la classe en 2 en fonction des spécialités de chacun. Chaque élève fera les exercices de sa spécialité puis ils présenteront aux autres leur exercice.
.. image:: 3E_nombre_derive_bis.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices sur le nombre dérivé avec contextualisation
Dans ces exercices certaines ordonnées à l'origine sont en dehors du graphique. C'est l'occasion de parler de la formule pour calculer l'équation de la tangente.
.. image:: 3B_equation_tangente.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur l'équation de la tangente
Étape 4: Fonction dérivée
=========================
On va pouvoir faire une étape "classe puzzle" (ou jigsaw classroom)! Chaque groupe aura une série de 3 fonctions dont ils devront chercher les nombres dérivés et intuiter une fonction dérivée. Ensuite on recompose les groupes qui devront faire un bilan des formules de tous les membres et commencer à constituer un formulaire de formule de dérivation.
.. image:: 4E_fonction_derivee.pdf
:height: 200px
:alt: Fonctions pour intuiter des dérivés.
Tous les sets de fonctions ne sont pas de difficulté équivalente. En particulier, l'exercice 3 et 5 sont plus compliqués.
On fera ensuite un bilan en pleinière sur ce formulaire.
.. image:: 4B_fonction_derivee.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur la fonction dérivée
Étape 5: Étude des variations d'une fonction
============================================
Un exemple au tableau où l'on dérive, étudie le signe de la dérivée puis en déduit les variations. Suivent pleins de fonction où l'on reproduit ce schéma.
.. image:: 5B_variations_min_max.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur l'étude des variations d'une fonction
.. image:: 5E_etude_cas.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices de mise en contexte de la dérivée
Étape 6: Tache complexe
=======================
.. image:: 6E_enclos.pdf
:height: 200px
:alt: Énoncé de la tache complexe (les valeurs sont différentes pour chaque groupe)
Tache complexe à faire sur 2h en salle informatique. Elle n'est pas faite juste après cette séquence mais distante de quelques semaine.
Les élèves sont par deux, ils sont autorisés à communiquer entre groupe. Le rendu final peut être manuscrit ou numérique et il sera évalué à travers les 6 compétences.
.. image:: 6P_enclos_notation.pdf
:height: 200px
:alt: Explication des critères d'évaluations
Notation (3points par compétences):
- Rechercher:
- Expérimenter plusieurs configurations
- Voir le cheminement des 2 séances
- Illustrer plusieurs niveaux de réponses
- Modéliser:
- Distinction aire et périmètre
- Dépendance entre longueur et largeur
- Fonction calculant l'aire
- Représenter:
- exprimer la situation avec une formule tableur
- exprimer la situation avec un calcul algébrique
- repérer le max avec un graphique
- Raisonner:
- approximer le max
- pleins de calculs ne sont pas assez pour démontrer qu'on atteint le max
- utilisation de la dérivée pour démontrer
- Calcul:
- les calculs d'air
- calcul de la dérivée
- Communication:
- clarté de la réponse
- calculs décrits par une phrase
- explications pertinentes