2020-2021/TST/04_Formalisation_des_suites/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Continuer une suite}, step={1}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Ci-dessous, vous trouverez des débuts de suites de nombre.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $u_0 = 10$, $u_1 = 15$, $u_2 = 22.5$
            \item $v_0 = 10$, $v_1 = 15$, $v_2 = 20$

            \item $w_0 = 90$, $w_1 = 108$, $w_2 = 129,6$
            \item $x_0 = 90$, $x_1 = 54$, $x_2 = 32.4$

            \item $y_0 = 5$, $y_1 = 2$, $y_2 = -1$
            \item $z_0 = 5$, $z_1 = 25$, $z_2 = 125$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \begin{enumerate}
        \item Identifier la nature et les paramètres des suites.
        \item Pour chaque suites, calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'un véhicule}, step={1}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Un transporteur a acheté en 2006 un véhicule fourgon de 9 tonnes au prix de \np{50200}\euro, taxes comprises. Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus, le véhicule a perdu 20\% de sa valeur chaque année.

    \begin{enumerate}
        \item Calculer la valeur du véhicule après 1an puis après 3 ans.
        \item Pour tout entier $n$, on note $u_n$, la valeur résiduelle du véhicule l'année "2006+n".
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $u_2$. Interpréter le résultat.
                \item Écrire une formule qui modélise le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$.
                \item En déduire la nature et les paramètres de la suite $(u_n)$.
                \item Écrire une formule qui calcule $u_n$ pour n'importe quelle valeur de $n$.
            \end{enumerate}
        \item Calculer la valeur résiduelle du véhicule en 2012. Puis en 2050. Arrondir à l'euro.
        \item Écrire un programme Python qui calcul la valeur du véhicule en 2100.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Placement banquaire}, step={1}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    On veut placer sur un compte en banque 1000\euro. Le banquier propose deux solutions.

    \begin{itemize}
        \item Placement à rendement fixe: la valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année.
        \item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 4\% chaque année.
    \end{itemize}

    \begin{enumerate}
        \item Pour chaque placement, calculer le solde du compte après 1an, 2ans puis 3ans.
        \item Combien de temps doit-on attendre avant que le placement avec intérêt composés devienne plus rentable que l'autre placement?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Chiffre d'afaire}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Deux entreprises viennent demander conseil à TST-consulting. Elles ont apporté un graphique suivant représentant leur chiffre d'affaire (en milliers d'euros) des années précédentes. Elles souhaites que vous lui fassiez une estimation de leur chiffre d'affaire en 2022 et que vous les aidiez à retrouver leur chiffre d'affaire en 2017 et 2019.

        \includegraphics[scale=0.5]{./fig/CA_lineaire}
        \hfill
        \includegraphics[scale=0.5]{./fig/CA_expo}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Divers autour des moyennes}, step={3}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la moyenne géométrique des couples de nombres suivants
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                        \item $a = 3$ et $b = 10$
                        \item $a = 15$ et $b = 50$
                        \item $a = 2,6$ et $b = 3$
                    \end{enumerate}    
            \end{multicols}
        \item (*)  Soit $(u_n)$ une suite géométrique dont on connait $u_0 = 1$ et $u_8 = 20$.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer la moyenne géométrique de $u_0$ et $u_8$. Cette valeur est $u_4$.
                \item Calculer la moyenne géométrique de $u_0$ et $u_4$. Cette valeur est $u_2$.
                \item Calculer $u_1$ et déterminer la raison de cette suite géométrique.
            \end{enumerate}
        \item (*) Une quantité a augmenté de 10\% en deux ans. Quel a été le taux d'évolution de cette quantité sur un an?
    \end{enumerate}

\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Évaluation de suites}, step={3}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Pour chacune des suites suivantes, calculer 3 premiers termes, identifier la nature et les paramètres de la suite, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $u_{n+1} = u_n + 6$ et $u_0 = 10$
            \item $u_{n+1} = -0.5 + u_n$ et $u_0 = 15$
            \item $u_{n+1} = 1.3u_n$ et $u_0 = 2$

            \item $u_{n+1} = 0.95u_n$ et $u_0 = 10$
            \item $u_{n} = 2n + 5$
            \item $u_{n} = 10\times0.5^n$

            \item (*) $u_{n} = 2u_n-5$ et $u_0 = 10$
            \item (*) $u_{n} = 0.3\times 4^n$
            \item (*) $u_{n} = 2n^2 - n + 2$ 
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Retrouver ce qui manque}, step={3}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Pour chacune des suites suivantes retrouver la raison et le premier terme, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $(u_n)$ suite arithmétique telle que $u_2 = 10$ et $u_4=20$.
            \item $(v_n)$ suite arithmétique telle que $u_{10} = 5$ et $u_{15} = 6$.

            \item $(w_n)$ suite géométrique telle que $u_2 = 5$ et $u_3 = 6$.
            \item $(x_n)$ suite géométrique telle que $u_3 = 10$ et $u_5 = 20$.
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={TYPE E3C}, step={4}, origin={T1CMATH03609}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    \noindent
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Le nuage de point ci-contre représente les 6 premières valeurs de la suite $u$.
        \begin{enumerate}
            \item Lire graphiquement la valeur de $u(3)$
            \item La suite $u$ peut-elle être arithmétique? Justifier
            \item Dans la suite, on admet  que $u(4) = 2$ et $u(5) = 4$. On suppose que la suite est géométrique.
                \begin{enumerate}
                    \item Calculer la raison  de la suite $u$.
                    \item Exprimer, pour tout $n$ positif ou nul, $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$.
                    \item Donner par le calcul la valeur exacte de $u(7)$.
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/T1CMATH03609_graph}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={TYPE E3C}, step={4}, origin={T1CMATH03610}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    En 2019, une entreprise souhaite réaliser une campagne de publicité pour promouvoir ses produits. 

    Elle prend alors contact avec une agence de publicité, nommée A, qui lui indique qu’en 2019, selon ses tarifs, le coût d’une campagne de publicité s’élève à 10000euros pour 2019 mais que celui-ci augmentera ensuite de 750€ par an.

    On note $u_n$le coût d’une campagne publicitaire pour l’entreprise suivant les tarifs de l’agence A pour l’année $(2019+n)$.Ainsi $u_0$=10000.

    \begin{enumerate}
        \item Quel sera le coût d’une campagne de publicité pour l’entreprise en 2025 si elle choisit l’agence A?
        \item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$? Argumenter la réponse.
        \item Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$. Justifier la réponse.
        \item L’entreprise contacte une agence de publicité B qui lui dit que le coût d’une campagne de publicité pour l’année $(2019+n)$ est donné par: $v_n = n^2+200n+\np{10000}$
            \begin{enumerate}
                \item  Déterminer la valeur de $v_2$.
                \item Quel sera le coût d’une campagne de publicité pour l’entreprise en 2025 si elle choisit l’agence B?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={TYPE E3C}, step={4}, origin={T1CMATH03614}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    \noindent
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        On considère la suite $u$ de premier terme $u(0) = 200$ et telle que pour tout entier positif $n$:
        \[
            u(n+1) = u(n) + 20
        \]
        \begin{enumerate}
            \item Calculer $u(1)$.
            \item
                \begin{enumerate}
                    \item Quelle est la nature de la suite $u$? Argumenter la réponse.
                    \item Quel est le sens de variation de la suite $u$? Justifier la réponse.
                \end{enumerate}
            \item Compléter le repère ci-contre, en y représentant le terme $u(2)$ de la suite.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/T1CMATH03614_graph}    
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{3}
        \item Parmi les situations suivantes, laquelle pourrait être modélisée grâce à la suite $u$? Justifier votre réponse.
            \begin{itemize}
                \item Situation A : une entreprise a vendu 200 unités d'un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 10\% de plus que l'année précédente.
                \item Situation B : une entreprise a vendu 200 unités d'un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20\% de plus que l'année précédente
                \item Situation C : une entreprise a vendu 200 unités d'un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 de plus que l'année précédente.
            \end{itemize}
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}