On choisit au hasard un jeune parmi ceux interrogés. On note $A =\left\{\mbox{Fumeur}\right\}$ et $B =\left\{\mbox{Au moins un parent fumeur}\right\}$.
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'il soit fumeur est de plus de 30\%.
\item La probabilité qu'il soit fumeur et qu'aucun parent ne soit fumeur est de moins de 0.1.
\item La probabilité qu'au moins un de ses parents soit fumeur et qu'il ne le soit pas est de $\frac{1}{5}$.
\item La probabilité qu'il soit fumeur ou qu'un de ses parents le soit est de plus de 70\%.
\item Sachant qu'il est fumeur, la probabilité que ses parents le soit aussi est de 0.6.
\item Sachant qu'aucun de ses parents ne soit fumeur, la probabilité qu'il ne soit pas aussi est de 50\%.
\begin{exercise}[subtitle={Moyen de paiement}, step={2}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
Le gérant d'une grande enseigne de distribution a commandé une étude statistique des moyens de paiement de ses clients. Les résultats ont été représenté dans l'arbre ci-dessous.
\begin{exercise}[subtitle={Neuf ou occasion?}, step={3}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
Un concessionnaire automobile vend chaque année 65\% de véhicules neufs. Une étude montre que parmi les acheteurs de véhicules neufs, 40\% adhèrent à un contrat d'assurance. Par ailleurs, 7\% des acheteurs qui ont acquis un véhicule d'occasion, ont adhéré à un contrat de maintenance.
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
On choisit un client au hasard parmi les clients de ce concessionnaire et on considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item$N =\left\{\mbox{ Le client achète un véhicule neuf }\right\}$
\item$M =\left\{\mbox{ Le client souscrit à un contrat de maintenance }\right\}$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé en terme de probabilité en utilisant les évènements $N$ et $M$.
\item À partir des données de l'énoncé, compléter l'arbre de probabilité traduisant la situation.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[sloped]
\node{.}
child {node {$N$}
child {node {$M$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{M}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
}
child[missing] {}
child { node {$\overline{N}$}
child {node {$M$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{M}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Traduire en français les probabilités suivantes, les calculer puis les placer sur l'arbre.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. Et on note $S$ l'événement "le voyageur fait sonner le portique" , $M$ l'événement " le voyageur porte un objet métallique"
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{itemize}
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale.
Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que 38\,\% des clients voyagent en France, que 83\,\% des clients voyageant en France sont satisfaits et que 78\,\% des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits.
\smallskip
\noindent
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On interroge un client au hasard. On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[\textbullet]$F$ : \og le client a voyagé en France \fg;
\item[\textbullet]$E$ : \og le client a voyagé à l’étranger \fg ;
\item[\textbullet]$S$ : \og le client est satisfait du voyage \fg.
\end{itemize}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-contre.
\item Définir par une phrase l’évènement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.
\item Montrer que $P(S)=0,799$ .
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[sloped]
\node{.}
child {node {$F$}
child {node {$S$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{S}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
}
child[missing] {}
child { node {$E$}
child {node {$S$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{S}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait voyagé à l’étranger ?
\emph{On arrondira pour cette question le résultat au millième.}
Parmi les étudiants de l'enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, 26\,\% sont
inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement
d'\^{I}le-de-France, 51\,\% le sont dans une université.
Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, 62\,\% sont inscrits dans une université.
\emph{Source : Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation.}
\noindent
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Dans la base recensant l'INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon
équiprobable un identifiant.
On considère les évènements suivants :
\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[]$A $: \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'\^{I}le-de-France \fg
\item[]$B$ : \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université\fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilité représentant la situation de l'énoncé.
\item Traduire l'évènement $A \cap\overline{B}$ par une phrase et calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à \np{0,5914}.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[sloped]
\node{.}
child {node {$A$}
child {node {$B$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{B}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
}
child[missing] {}
child { node {$\overline{A}$}
child {node {$B$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{B}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Un responsable du ministère déclare : \og Parmi les étudiants inscrits à l'université, moins d'un sur quatre et plus d'un sur cinq sont inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France\fg. Que peut-on penser de cette affirmation ?
L'entreprise \emph{Gadgets En Stock} vend des \emph{hand spinners}. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame. Advanceplay et Betterspin fournissent chacun 30\,\% des hand spinners de \emph{Gadgets En Stock}. Coolgame fournit les 40\,\% restant.
Les données de ces trois entreprises indiquent que :
\begin{itemize}
\item 1\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ;
\item 4\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ;
\item 2\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux.
\end{itemize}
On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l'entreprise \emph{Gadgets En Stock} et
on définit les évènements suivants :
$A$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Advanceplay \fg
$B$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Betterspin \fg
$C$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Coolgame \fg
$D$ : \og le \emph{hand spinner} est défectueux\fg
\noindent
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
\item Calculer la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux.
\item Montrer que la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi soit défectueux est égale à $0,023$.
\item On achète un \emph{hand spinner} chez \emph{Gadgets En Stock}. On constate que celui-ci est défectueux.
Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur Coolgame ?
Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; 55\,\% d'entre elles sont fabriquées dans l'atelier Arobase et le reste dans l'atelier Bestphone.
À l'issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées.
Ces contrôles permettent d'affirmer que:
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Arobase, 94\,\% ne présentent aucun défaut;
\item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Bestphone, 4\,\% présentent au moins un défaut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers.
On considère les évènements suivants :
\begin{center}
\hfill
$A$ : \og la batterie provient de l'atelier Arobase \fg\hfill
$B$ : \og la batterie provient de l'atelier Bestphone\fg\hfill
\\
$D$ : \og la batterie présente au moins un défaut\fg
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
\item Calculer la probabilité que la batterie provienne de l'atelier Bestphone et présente au moins un défaut.
\item Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
\item Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu'il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l'atelier Arobase ?
