La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t)= N_0\times e^{-\frac{t}{\tau}}$
On fixe $\tau=2$.
\begin{enumerate}
\item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
\item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
\item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
\item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t)=22-22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
\begin{enumerate}
\item Calculer et interpréter $c(0)$.
\item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
\item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
\item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
\item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
L'image suivante illustre le lien entre le volume d'une solution données et son pH (une mesure de l'acidité).
\begin{enumerate}
\item À partir de l'image calculer le volume de la solution pour avoir un pH de 6, de 3 et de 2.
\item Représenter sur un graphique le lien entre le pH (en abscisse) et le volume de la solution (en ordonnée). À quelle problème êtes vous confronté?
\item Refaire le graphique mais cette fois-ci vous mettrez en ordonnée non pas le volume de la solution mais le logarithme du volume. Que peut-on dire de ce graphique?
\item On peut donc faire le lien entre le pH et le volume de la solution: $pH =\log(V)$. Comme la concentration, à quantité de $H_3O^+$ constante, est l'inverse de la concentration, on obtient la formule
