2020-2021/TST/04_Formalisation_des_suites/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Continuer une suite}, step={1}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Ci-dessous, vous trouverez des débuts de suites de nombre.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $u_0 = 10$, $u_1 = 15$, $u_2 = 22.5$
            \item $v_0 = 10$, $v_1 = 15$, $v_2 = 20$

            \item $w_0 = 90$, $w_1 = 108$, $w_2 = 129,6$
            \item $x_0 = 90$, $x_1 = 54$, $x_2 = 32.4$

            \item $y_0 = 5$, $y_1 = 2$, $y_2 = -1$
            \item $z_0 = 5$, $z_1 = 25$, $z_2 = 125$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \begin{enumerate}
        \item Identifier la nature et les paramètres des suites.
        \item Pour chaque suites, calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Placement banquaire}, step={1}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    On veut placer sur un compte en banque 1000\euro. Le banquier propose deux solutions.

    \begin{itemize}
        \item Placement à rendement fixe: la valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année.
        \item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 4\% chaque année.
    \end{itemize}

    \begin{enumerate}
        \item Pour chaque placement, calculer le solde du compte après 1an, 2ans puis 3ans.
        \item Combien de temps doit-on attendre avant que le placement avec intérêt composés devienne plus rentable que l'autre placement?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'un véhicule}, step={1}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Un transporteur a acheté en 2006 un véhicule fourgon de 9 tonnes au prix de \np{50200}\euro, taxes comprises. Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus, le véhicule a perdu 20\% de sa valeur chaque année.

    \begin{enumerate}
        \item Calculer la valeur du véhicule après 1an puis après 3 ans.
        \item Pour tout entier $n$, on note $u_n$, la valeur résiduelle du véhicule l'année "2006+n".
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $u_2$. Interpréter le résultat.
                \item Écrire une formule qui modélise le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$.
                \item En déduire la nature et les paramètres de la suite $(u_n)$.
                \item Écrire une formule qui calcule $u_n$ pour n'importe quelle valeur de $n$.
            \end{enumerate}
        \item Calculer la valeur résiduelle du véhicule en 2012. Puis en 2050. Arrondir à l'euro.
        \item Écrire un programme Python qui calcul la valeur du véhicule en 2100.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Évaluation de suites}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Pour chacune des suites suivantes, calculer 3 premiers termes, identifier la nature et les paramètres de la suite, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $u_{n+1} = u_n + 6$ et $u_0 = 10$
            \item $u_{n+1} = -0.5 + u_n$ et $u_0 = 15$
            \item $u_{n+1} = 1.3u_n$ et $u_0 = 2$

            \item $u_{n+1} = 0.95u_n$ et $u_0 = 10$
            \item $u_{n} = 2n + 5$
            \item $u_{n} = 10\times0.5^n$

            \item $u_{n} = 2u_n-5$ et $u_0 = 10$
            \item $u_{n} = 0.3\times 4^n$
            \item $u_{n} = 2n^2 - n + 2$ 
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Retrouver ce qui manque}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
    Pour chacune des suites suivantes retrouver la raison et le premier terme, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $(u_n)$ suite arithmétique telle que $u_2 = 10$ et $u_4=20$.
            \item $(v_n)$ suite arithmétique telle que $u_{10} = 5$ et $u_{15} = 6$.

            \item $(w_n)$ suite géométrique telle que $u_2 = 5$ et $u_3 = 6$.
            \item $(x_n)$ suite géométrique telle que $u_3 = 10$ et $u_5 = 20$.
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}


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