Feat: fin du chapitre sur les limites pour les sti2d

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/3B_limite_frac_rationnelle.tex

@@ -0,0 +1,76 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Limites de fonctions - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Limites des fractions rationnelles en $+\infty$ et $-\infty$}
+
+\begin{propriete}[Limites des fractions rationnelles]
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        Soit $n$ un nombre entier positif alors
+
+        \[
+            \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = 0
+        \]
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
+                \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
+                ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+                \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
+                \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
+                \tkzText[draw,fill = brown!20](3,4){$f(x)=\frac{1}{x}$}
+
+                \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)}
+                \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)}
+                \tkzText[draw,fill = red!20](-3,4){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}
+
+                \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)}
+                \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)}
+                \tkzText[draw,fill = green!20](-3,-4){$f(x)=\frac{1}{x^3}$}
+            \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples} Calculs de limites
+\begin{multicols}{2}
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^2} =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{1}{x^5} =  $
+
+
+    \columnbreak
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-2}{x^2} =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -3\dfrac{1}{x^5} =  $
+
+
+\end{multicols}
+\afaire{Calculer les limites}
+
+\begin{propriete}[Simplification des limites de fractions rationnelles]
+    Pour calculer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ d'une fraction rationnelles, on peut conserver uniquement les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur puis simplifier.
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemple} Calculs des limites
+\begin{multicols}{2}
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2 + 2x + 1}{x + 1} =  $
+
+    \columnbreak
+    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-2x^3 + 10x^2 - 100}{x^4 + x^2} =  $
+\end{multicols}
+
+
+\end{document}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4B_compa_exp.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Limites de fonctions - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{3}
+\section{Limites comparés entre polynômes et exponentielle}
+
+\begin{propriete}
+    Soit $n$ un entier naturel alors
+    \[
+        \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty
+    \]
+    \[
+        \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} x^n e^{-x} = 0
+    \]
+
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples} Calculs de limites
+\begin{multicols}{2}
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^2} =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^4 e^{-x} =  $
+
+
+    \columnbreak
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^3 + 3x +1} =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (x^5 + 2x^4)e^{-x} =  $
+
+\end{multicols}
+
+
+\end{document}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4E_compa_exp.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Limites de fonctions - Exercices}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=4,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex

@@ -157,7 +157,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limtes de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
     Calculer les limites suites
     \begin{multicols}{3}
         \begin{enumerate}
@@ -175,4 +175,114 @@
         \end{enumerate}
     \end{multicols}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites avec polynômes et exponentielle}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    Calculer les limites suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 3e^x$
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -5e^x$
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2e^x + x + 1$
+
+                \columnbreak
+
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 e^x$
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (-3x + 1)e^x$
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (x^5 + 3x^2 + 5x) e^x$
+
+                \columnbreak
+
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x}{e^x}$
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{5x^2 + 4x + 1}{e^x}$
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-2x}{e^x} + 1$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Taux de $CO_2$}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle 
+
+    \[ y' + 0, 01y = 4,5\] 
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$. 
+        \item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$. 
+        \item Déterminer la limite de $V(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure.
+
+    Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie.
+
+    On dispose des renseignements suivants :
+
+    \framebox{%
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+        \textbf{Document 1:\\ Caractéristiques des bornes de recharge}
+
+        {\small
+        \begin{tabular}{|*{3}{p{1.3cm}|}}
+            \hline
+            Recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\
+            \hline
+            Normal & 230 & 16 \\
+            \hline
+            Semi-rapide & 400 & 16\\
+            \hline
+            Rapide & 400 & 63\\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    }
+    \end{minipage}}
+    \hfill
+    \framebox{%
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+    \textbf{Document 2: \\
+    Exemple de capacités de batterie}
+
+        {\small
+            \begin{itemize}
+                \item Marque A: 22kWh
+                \item Marque B: 24kWh
+                \item Marque C: 33kWh
+                \item Marque D: 60kWh
+            \end{itemize}
+    }
+    \end{minipage}}
+    \hfill
+    \framebox{%
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+        \textbf{Document 3: \\Bon à savoir pour une batterie vide}
+
+        {\small
+            Après 50\% de temps de charge complète, la batterie est à environ 80\% de sa capacité de charge
+    }
+    \end{minipage}}
+
+
+    \begin{enumerate}
+        \item La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A).
+
+            Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW).
+
+            On considère une batterie de la marque D.
+
+            Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes.
+
+        \item  Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ solution de l'équation différentielle: 
+
+            \[
+                y' + 0,55y = 12,1
+            \]
+
+            \begin{enumerate}
+                \item Résoudre l'équation différentielle sur $\intOF{0}{+\infty}$
+                \item Justifier que $f(0)=0$.
+                \item Montrer que la fonction $f$ est définie par $f(x) = -22e^{-0,55t} + 22$
+                \item Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat dans le cadre de cet exercice.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Limites de fonctions
 ####################
 
 :date: 2021-04-22
-:modified: 2021-05-03
+:modified: 2021-05-04
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Fonctions, Limites
 :category: TST_sti2d
@@ -42,7 +42,29 @@ Cours:
     :height: 200px
     :alt: Cours sur les limites de polynômes
 
-Étape 3: Croissances comparés avec l'exponentielle
+Étape 3: limite des fractions rationnelles
+==========================================
+
+Exercices techniques de résolution (écrit en live au tableau)
+
+Cours:
+
+.. image:: ./3B_limite_frac_rationnelle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: limite des fractions rationnelles
+
+
+Étape 4: Croissances comparés avec l'exponentielle
 ==================================================
 
+Exercices techniques de résolution puis exercices type bac qui reprend un peu tout.
 
+.. image:: ./4B_compa_exp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices avec des annales
+
+Cours:
+
+.. image:: ./4B_compa_exp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: limites comparées entre polynômes et exponentielle