2021-2022/2nd/10_Geometrie_reperee/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Milieu d'un segment}, step={1}, origin={Création}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, milieu}, mode={\faIcon{search}}]
    On définit les points suivants
    \begin{multicols}{5}
        \begin{enumerate}[label={$\Alph* =$}]
            \item $(2, 4)$
            \item $(-1, 4)$
            \item $(2, -1)$
            \item $(0, 3)$
            \item $(-2, -3)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \begin{enumerate}
        \item Tracer un repère orthonormé et y placer les points.
        \item Déterminer les coordonnées des points suivants
            \begin{multicols}{4}
               \begin{enumerate}
                    \item $W$ milieu de $[AB]$
                    \item $X$ milieu de $[AC]$
                    \item $Y$ milieu de $[AD]$
                    \item $Z$ milieu de $[BE]$
                \end{enumerate} 
            \end{multicols}
        \item Proposer une méthode pour déterminer les coordonnées du milieu d'un segment avoir à faire un dessin.
        \item Appliquer cette méthode pour déterminer les coordonnées du milieu du segment $[MN]$ où $M(456, 289)$ et $N (251, - 20)$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{tikzpicture}
        \draw (-3, -4) grid (3, 5);
        \draw[->, very thick] (-3, 0) -- (3, 0);
        \draw[->, very thick] (0, -4) -- (0, 5);
        \draw (0, 0) node [below left] {0};
        \draw (1, 0) node [below left] {1};
        \draw (0, 1) node [below left] {1};

        \draw (2, 4) node {x} node [below left] {$A$};
        \draw (-1, 4) node {x} node [below left] {$B$};
        \draw (2, -1) node {x} node [below left] {$C$};
        \draw (0, 3) node {x} node [below left] {$D$};
        \draw (-2, -3) node {x} node [below left] {$E$};
    \end{tikzpicture}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Bilan sur les coordonnées le milieu d'un segment}, step={1}, origin={Création}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, milieu}, mode={\faIcon{users}}]
    En groupe, écrire expliquer votre méthode pour déterminer les coordonnées du milieu d'un segment en connaissant les coordonnées de ses extrémités. Vous illustrerez votre méthode en traitant un exemple que vous vérifierez avec un dessin.
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Exercice technique}, step={1}, origin={Création}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, milieu}, mode={\faIcon{tools}}]
    On définit les points suivants
    \begin{multicols}{5}
        \begin{enumerate}[label={$\Alph* =$}]
            \item $(2; 6)$
            \item $(-4; 0)$
            \item $(0; 3)$
            \item $(-2; -2)$
            \item $(23; 95)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    Calculer les coordonnées du milieu des segments suivants
    \begin{multicols}{6}
        \begin{enumerate}
            \item $[AB]$
            \item $[CD]$
            \item $[AD]$

            \item $[CE]$
            \item $[EA]$
            \item $[EB]$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
        \draw (-5, -3) grid (3, 6);
        \draw[->, very thick] (-5, 0) -- (3, 0);
        \draw[->, very thick] (0, -3) -- (0, 6);
        \draw (0, 0) node [below left] {0};
        \draw (1, 0) node [below left] {1};
        \draw (0, 1) node [below left] {1};

        \draw (2, 6) node {x} node [below left] {$A$};
        \draw (-4, 0) node {x} node [below left] {$B$};
        \draw (0, 3) node {x} node [below left] {$C$};
        \draw (-2, -2) node {x} node [below left] {$D$};
    \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item Coordonnées du milieu du segment $[AB]$
            \[
                x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \qquad
                y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{6 + 0}{2} = \frac{6}{2} = 3 
            \]
            Les coordonnées du milieu sont $\left(-1; 3\right)$

        \item Coordonnées du milieu du segment $[CD]$
            \[
                x = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \qquad
                y = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2}
            \]
            Les coordonnées du milieu sont $\left(-1; \dfrac{1}{2}\right)$

        \item Coordonnées du milieu du segment $[AD]$
            \[
                x = \frac{x_A + x_D}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0 \qquad
                y = \frac{y_A + y_D}{2} = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2
            \]
            Les coordonnées du milieu sont $\left(0; 2\right)$

        \item Coordonnées du milieu du segment $[CE]$
            \[
                x = \frac{x_C + x_E}{2} = \frac{0 + 23}{2} = 11.5 \qquad
                y = \frac{y_C + y_E}{2} = \frac{3 + 95}{2} = 49
            \]
            Les coordonnées du milieu sont $\left(11.5; 49\right)$


        \item Coordonnées du milieu du segment $[EA]$
            \[
                x = \frac{x_A + x_E}{2} = \frac{2 + 23}{2} = 25 \qquad
                y = \frac{y_A + y_E}{2} = \frac{6 + 95}{2} = 50.5
            \]
            Les coordonnées du milieu sont $\left(25; 50.5\right)$

        \item Coordonnées du milieu du segment $[EB]$
            \[
                x = \frac{x_B + x_E}{2} = \frac{-4 + 23}{2} = 9.5 \qquad
                y = \frac{y_B + y_E}{2} = \frac{0 + 95}{2} = 47.5
            \]
            Les coordonnées du milieu sont $\left(9.5; 47.5 \right)$
    \end{enumerate} 
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Exercice technique}, step={1}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, milieu}, mode={\faIcon{tools}}]
    On considère les points $E(1; -1)$, $F(5; 3)$, $C(3; 1)$ et $H(1; 3)$.
    \begin{enumerate}
        \item Construire un repère puis y placer les points.
        \item Démontrer que $C$ est le milieu du segment $[EF]$.
        \item Quelles sont les coordonnées du point $G$ tel que $C$ soit le milieu de $[HG]$?
        \item Quelle est la nature du quadrilatère $EGFH$?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item ~
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}
                    \draw (0, -2) grid (6, 4);
                    \draw[->, very thick] (0, 0) -- (6, 0);
                    \draw[->, very thick] (0, -2) -- (0, 4);
                    \draw (0, 0) node [below left] {0};
                    \draw (1, 0) node [below left] {1};
                    \draw (0, 1) node [below left] {1};

                    \draw (1, -1) node {x} node [below left] {$E$};
                    \draw (5, 3) node {x} node [below left] {$F$};
                    \draw (3, 1) node {x} node [below left] {$C$};
                    \draw (1, 3) node {x} node [below left] {$H$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item \textbf{On sait que} $E(1; -1)$, $F(5; 3)$ et que $C(3; 1)$

            \textbf{Or} le milieu du segment $[EF]$ se calcule de la manière suivante
            \[
                x = \frac{x_E + x_F}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \qquad
                y = \frac{y_E + y_F}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1
            \]
            \textbf{Donc} $C$ est bien le milieu du segment $[EF]$.
        \item On note $(x_G; y_G)$ les coordonnées du point $G$.

            \textbf{On sait que} $C$ est le milieu de $HG$

            \textbf{Or} d'après la formule du milieu
            \begin{align*}
                x_C = \frac{x_H + x_G}{2} &\qquad y_C = \frac{y_H + y_G}{2} \\
                3 = \frac{1 + x_G}{2} & \qquad 1 = \frac{3 + y_G}{2} \\
                6 = 1 + x_G & \qquad 2 = 3 + y_G \\
                5 = x_G & \qquad -1 = y_G \\
            \end{align*}
            \textbf{Donc} $G(5; -1)$
        \item On sait que $C$ est le milieu des diagonales de $EGFH$

            Or un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

            Donc $EGFH$ est un parallélogramme.


            \textit{Remarque:} On voit que c'est aussi un carré mais il faudrait encore du travail pour démontrer que s'en est un.
    \end{enumerate}
\end{solution}


% ---- étape 2
\begin{exercise}[subtitle={Distance sur une droite}, step={2}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, distance}, mode={\faIcon{search}}]
   On considère une droite munie d'un repère et deux points $A$ et $B$ de cette droite.

   Comme la droite est munie d'un repère, on peut considérer les abscisses $x_A$ et $x_B$ de ces deux points.

   \begin{enumerate}
       \item Dans cette question, on suppose que $x_A = 2$ et $x_B = 9$.
           \begin{center}
               \begin{tikzpicture}
                   \foreach \x in {0, 1, ..., 10} {%
                       \draw (\x, 0.1)  -- (\x, -0.1) node [below] {\x};
                   }
                   \draw[->] (-0.5, 0) -- (10.5, 0);
                   \draw (2, 0) node {x} node [above] {$A$};
                   \draw (9, 0) node {x} node [above] {$B$};
               \end{tikzpicture}
           \end{center}
           Proposer une formule utilisant $x_A$ et $x_B$ pour calculer la distance $AB$.
       \item Même question pour $x_A = 58$ et $x_B = 9$.
       \item Même question pour $x_A = 3$ et $x_B = -2$.
       \item On suppose que $x_A$ et $x_B$ peuvent prendre n'importe quelle valeur. Déterminer une façon de calculer la distance $AB$ en utilisant $x_A$ et $x_B$.
   \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Bilan sur distance sur une droite}, mode={\faIcon{users}}, step={2}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, distance}]
    Faire le bilan des méthodes trouvée dans l'exercice précédent puis rédiger en groupe une méthode commune pour calculer la distance entre deux points placés sur l'axe des abscisses.
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Distance entre deux points}, step={2}, origin={Création}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, distance}, mode={\faIcon{search}}]
    On définit les points suivants
    \begin{multicols}{5}
        \begin{enumerate}[label={$\Alph* =$}]
            \item $(1, 1)$
            \item $(-1, 1)$
            \item $(2, 4)$
            \item $(-1, 3)$
            \item $(2, -1)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \begin{enumerate}
        \item Tracer un repère orthonormé et y placer les points.
        \item Calculer les distances suivantes
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $AB$
                    \item $BD$
                    \item $DE$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item On souhaite calculer la longueur $AC$
            \begin{enumerate}
                \item On note $P$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Placer ce point.
                \item Quelle est la nature du triangle $APC$?
                \item Calculer les longueurs $AP$ et $CP$.
                \item En déduire la longueur $AC$.
            \end{enumerate}
        \item En utilisant le même procédé, calculer les distances
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $BC$
                    \item $EA$
                    \item $DA$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{tikzpicture}
        \draw (-2, -1) grid (5, 5);
        \draw[->, very thick] (-2, 0) -- (5, 0);
        \draw[->, very thick] (0, -1) -- (0, 5);
        \draw (0, 0) node [below left] {0};
        \draw (1, 0) node [below left] {1};
        \draw (0, 1) node [below left] {1};

        \draw (4, 1) node {x} node [below left] {$A$};
        \draw (-1, 1) node {x} node [below left] {$B$};
        \draw (2, 4) node {x} node [below left] {$C$};
        \draw (-1, 3) node {x} node [below left] {$D$};
        \draw (2, -1) node {x} node [below left] {$E$};
    \end{tikzpicture}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Bilan sur distance entre deux points}, step={2}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, distance}, mode={\faIcon{users}}]
    Proposer une formule pour calculer le distance entre deux points du plan. Vous illustrerez la formule avec un dessin et vous l'appliquerez à un exemple de votre choix.

\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Exercice technique}, step={2}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, distance}, mode={\faIcon{tools}}]
    Soit les points $M(3; -2)$, $N(-2; -3)$ et $P(-4; 3)$. 
    \begin{enumerate}
        \item Placer ces points dans un repère. 
        \item Calculer les distance $MN$, $MP$ et $NP$. 
        \item Le triangle $MNP$ est-il rectangle? 
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Quadrilatère}, step={2}, origin={Sesamath 60p125}, topics={Géométrie Repérée}, tags={Coordonnées, distance}, mode={\faIcon{tools}}]
    On considère les points $A(1; 2)$, $B(-6; 3)$, $C(6;7)$ et $D(-1; 8)$.

    Déterminer la nature du quadrilatère $BACD$.
\end{exercise}

% ---- étape 3

\begin{exercise}[subtitle={BEAU triangle}, step={3}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, milieu, distance}, mode={\faIcon{tools}}]
    Soit $B(3; 2)$, $E(-1; -2)$, $A(-3; 0)$ et $U(1; 4)$ quatre points du plan.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les coordonnées du milieu de $[BA]$
        \item Calculer les coordonnées du milieu de $[EU]$
        \item Déterminer la nature du triangle $BEA$.
        \item En déduire que $BEAU$ est un rectangle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Presque}, step={3}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, milieu, distance}, mode={\faIcon{tools}}]
    On a tracer la figure ci-dessous avec géogébra.

    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.5]{./fig/deux_triangles}
    \end{center}
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item Démontrer que $AC = \sqrt{\np{50 000}}$
            \item Le triangle $ABC$ est-il rectangle?
            \item Le triangle $ACD$ est-il rectangle?
            \item Peut on affirmer que $ABCD$ est un carré?
        \end{enumerate}    
    \end{multicols}
\end{exercise}

% ---- étape 4

\begin{exercise}[subtitle={Ensemble de points}, step={4}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnée, équation, ensemble}, mode={\faIcon{search}}]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer un repère orthonormé.
        \item Représenter sur le repère les ensembles suivants
            \begin{enumerate}
                \item L'ensemble $(a)$ constitué des points dont l'abscisse vaut 2.
                \item L'ensemble des points dont l'ordonnée faut 3, on l'appelle $(b)$
                \item $(c) = \left\{ \mbox{points dont l'abscisse vaut -2} \right\}$
                \item $(d) = \left\{ \mbox{points dont l'ordonnée vaut 0} \right\}$
                \item L'ensemble $(e)$ des points dont l'ordonnée est égal à l'abscisse.
            \end{enumerate}
        \item  À quels ensembles appartiennent les points suivants:
            \[
                U(2, 4) \qquad \qquad
                V(0, 4) \qquad \qquad
                W(-2, -2) \qquad \qquad
                X(2, 2)
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Décrire un ensemble}, step={4}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnée, équation, ensemble}, mode={\faIcon{users}}]
   Soit un $M$ un point du plan quelconque. On note $(x, y)$ ses coordonnées. 
   \begin{enumerate}
       \item À quelle condition sur $x$ et $y$, le point $M$ est un point de la droite $(a)$?
       \item Même question pour les ensembles $(b)$, $(c)$, $(d)$ et $(e)$.
   \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Ensemble $y = 2x$}, step={4}, origin={Création}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnée, équation, ensemble}, mode={\faIcon{tools}}]
    On note $(a)$ l'ensemble des points tel que $y = 2x$. Cette ensemble est une droite.
    \begin{enumerate}
        \item Lesquels des points suivants sont dans cet ensemble.
            \[
                U(2, 4) \qquad \qquad
                V(1, -1) \qquad \qquad
                W(-1, -2) \qquad \qquad
                X(0, 0)
            \]
        \item Placer les points qui sont dans cet ensemble dans un repère puis tracer la droite $(a)$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Ensemble $y = -x$}, step={4}, origin={Création}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnée, équation, ensemble}, mode={\faIcon{tools}}]
    On note $(b)$ l'ensemble des points tel que $y = -x$. Cette ensemble est une droite.
    \begin{enumerate}
        \item Lesquels des points suivants sont dans cet ensemble.
            \[
                U(2, 4) \qquad \qquad
                V(1, -1) \qquad \qquad
                W(-1, -2) \qquad \qquad
                X(0, 0)
            \]
        \item Placer les points qui sont dans cet ensemble dans un repère puis tracer la droite $(b)$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}