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Feat: template du DM4 pour les 2nd avec la correction

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Bertrand Benjamin 2022-03-27 12:03:12 +02:00
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81
2nd/Evaluations/DM_2022-04-01/tpl_DM4.tex
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@ -147,7 +147,7 @@
\frac{\Var{a}}{\Var{a}}x &< \frac{-\Var{b}}{\Var{a}} \\
x &< \frac{-\Var{b}}{\Var{a}}
\end{align*}
Donc $x = \intOO{-\infty}{\frac{-\Var{b}}{\Var{a}}}$
Donc $x \in \intOO{-\infty}{\frac{-\Var{b}}{\Var{a}}}$
\begin{align*}
\Var{a1}x + \Var{b1} &\leq \Var{c1} \\
%- set d1 = c1 - b1
@ -155,14 +155,91 @@
\frac{\Var{a1}}{\Var{a1}}x &\geq \frac{\Var{d1}}{\Var{a1}} \\
x &\geq \frac{\Var{d1}}{\Var{a1}}
\end{align*}
Donc $x = \intFO{\frac{\Var{d1}}{\Var{a1}}}{+\infty}$
Donc $x \in \intFO{\frac{\Var{d1}}{\Var{a1}}}{+\infty}$
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Géométrie repérée}, points=2]
%- set xA, yA = random.randint(-10, -1), random.randint(-10, 10)
%- set xB, yB = random.randint(1, 10), random.randint(-10, 10)
%- set xI, yI = (xA + xB)/2, (yA + yB)/2
%- set xC, yC = (yA - yB + xA + xB)/2, (xB - xA + yA + yB)/2
%- set xD, yD = (yB - yA + xA + xB)/2, (xA - xB + yA + yB)/2
%- set xJ, yJ = (xC + xD)/2, (yC + yD)/2
Soient $A(\Var{xA}, \Var{yA})$, $B(\Var{xB}, \Var{yB})$, $C(\Var{xC}, \Var{yC})$ et $D(\Var{xD}, \Var{yD})$ quatre points du plan.
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $I$ le milieu du segment $[AB]$ et de $J$ le milieu de du segment $[CD]$.
\item En déduire la nature du quadrilatère $ACBD$.
\item Quelle est la nature du triangle $ACB$?
\item En déduire une caractérisation du quadrilatère $ACBD$ plus précise qu'à la question 2.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
%- set xmin, xmax = min(xA, xB, xI, xC, xD) - 1, max(xA, xB, xI, xC, xD) + 1
%- set ymin, ymay = min(yA, yB, yI, yC, yD) - 1, max(yA, yB, yI, yC, yD) + 1
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere{\Var{xmin}}{\Var{xmax}}{\Var{ymin}}{\Var{xmax}}
\draw (\Var{xA}, \Var{yA}) node {x} node [below left] {$A$};
\draw (\Var{xB}, \Var{yB}) node {x} node [below left] {$B$};
\draw (\Var{xI}, \Var{yI}) node {x} node [below left] {$I$};
\draw (\Var{xC}, \Var{yC}) node {x} node [below left] {$C$};
\draw (\Var{xD}, \Var{yD}) node {x} node [below left] {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Coordonnées de $I$ milieu de $[AB]$.
\[
x_I = \frac{\Var{xA} + \Var{xB}}{2} = \Var{xI} \qquad
y_I = \frac{\Var{yA} + \Var{yB}}{2} = \Var{yI} \qquad
\]
Coordonnées de $J$ milieu de $[CD]$.
\[
x_J = \frac{\Var{xC} + \Var{xD}}{2} = \Var{xJ} \qquad
y_J = \frac{\Var{yC} + \Var{yD}}{2} = \Var{yJ} \qquad
\]
\item D'après la question précédente, les segments $[AB]$ et $[CD]$, les diagonales du quadrilatère $ACBD$ on le même milieu.
Or un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Donc $ACBD$ est un parallélogramme.
\item Calculons les longueurs $AC$ et $CB$
%- set AC2 = (xA- xC)**2 + (yA - yC)**2
\[
AC = \sqrt{(\Var{xA} - \Var{xC})^2 + (\Var{yA} - \Var{yC})^2} = \sqrt{(\Var{xA - xC})^2 + (\Var{xA - xC})^2} = \sqrt{\Var{(xA - xC)**2} + \Var{(yA - yC)**2}} = \sqrt{\Var{AC2}}
\]
%- set BC2 = (xB- xC)**2 + (yB - yC)**2
\[
BC = \sqrt{(\Var{xB} - \Var{xC})^2 + (\Var{yB} - \Var{yC})^2} = \sqrt{(\Var{xB - xC})^2 + (\Var{xB - xC})^2} = \sqrt{\Var{(xB - xC)**2} + \Var{(yB - yC)**2}} = \sqrt{\Var{BC2}}
\]
Donc le triangle $ABC$ est un triangle isocèle.
Calculons la longueur $AB$
%- set AB2 = (xA- xB)**2 + (yA - yB)**2
\[
AB = \sqrt{(\Var{xA} - \Var{xB})^2 + (\Var{yA} - \Var{yB})^2} = \sqrt{(\Var{xA - xB})^2 + (\Var{xA - xB})^2} = \sqrt{\Var{(xA - xB)**2} + \Var{(yA - yB)**2}} = \sqrt{\Var{AB2}}
\]
On sait que $AC = \sqrt{\Var{AC2}}$, $BC = \sqrt{\Var{BC2}}$ et $AB = \sqrt{\Var{AB2}}$
Or
\[AC^2 + BC^2 = \sqrt{\Var{AC2}}^2 + \sqrt{\Var{BC2}}^2 = \Var{AC2} + \Var{BC2} = \Var{AC2 + BC2}\]
\[AB^2 = \sqrt{\Var{AB2}}^2= \Var{AB2}\]
donc $AC^2 + BC^2 = AB^2$ donc d'après le théorème de Pythagore, $ABC$ est un triangle rectangle en $C$.
On en déduit donc que le triangle $ABC$ est un triangle isocèle et rectangle en $C$.
\item On sait que le parallélogramme $ACBD$ a donc deux côtés consécutifs de même longueur donc c'est un losange.
De plus on sait que le parallélogramme $ACBD$ a un angle droit, c'est donc un rectangle.
Comme le parallélogramme $ACBD$ est un losange et un rectangle, c'est donc un carré.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}