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% Title Page
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\title{}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\begin{multicols}{2}
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Nom - Prénom:
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\section{Connaissance}
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\begin{Exo}
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Écrire les derivées de fonctions suivantes:
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
k \rightarrow \cdots \hspace{3cm} \frac{1}{x} \rightarrow \cdots \hspace{3cm} -3x^4 \rightarrow \cdots
|
||||
\end{eqnarray*}
|
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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||||
Soient $u$ et $v$ deux fonctions. Compléter les formules suivantes:
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||||
\begin{eqnarray*}
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(u+v)' = \cdots \hspace{5cm} \left( \frac{u}{v} \right)' = \cdots
|
||||
\end{eqnarray*}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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Donner la definition d'un maximum sur $I$ un intervalle.
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\end{Exo}
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\columnbreak
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Nom - Prénom
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\section{Connaissance}
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\begin{Exo}
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Écrire les derivées de fonctions suivantes:
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\begin{eqnarray*}
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||||
x \rightarrow \cdots \hspace{3cm} \sqrt{x} \rightarrow \cdots \hspace{3cm} -2x^5 \rightarrow \cdots
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo}
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||||
Soient $u$ et $v$ deux fonctions. Compléter les formules suivantes:
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
(u \times v)' = \cdots \hspace{5cm} \left( \frac{1}{v} \right)' = \cdots
|
||||
\end{eqnarray*}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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Completer les phrases suivantes
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Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $f$ est \hspace{3cm} sur $I$ ssi \hspace{3cm} sur $I$
|
||||
\item $f$ est \hspace{3cm} sur $I$ ssi \hspace{3cm} sur $I$
|
||||
\item $f$ est \hspace{3cm} sur $I$ ssi \hspace{3cm} sur $I$
|
||||
\end{itemize}
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\end{Exo}
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\end{multicols}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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\documentclass{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classConn}
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% Title Page
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\title{}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\begin{multicols}{2}
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Nom - Prénom:
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\section{Connaissance}
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\begin{Exo}
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||||
Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire de Bernoulli
|
||||
\end{Exo}
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\vspace{2cm}
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\begin{Exo}
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||||
Donner la définition du coefficient binomiale $\left( \begin{array}{c}n \\ p \end{array}\right)$.
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||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{2cm}
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Faire le triangle de Pascal pour $n$ et $k$ variant de 0 à 4.
|
||||
\end{Exo}
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||||
\vspace{3cm}
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Quelle est l'éspérance mathématique d'un variable aléatoire binomiale de paramètre $n$, $p$.
|
||||
\end{Exo}
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||||
\vspace{2cm}
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Comment définit-on une suite par récurence? Donner un exemple.
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||||
\end{Exo}
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\vspace{2cm}
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\columnbreak
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Nom - Prénom
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\section{Connaissance}
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\begin{Exo}
|
||||
Quelle est l'éspérance d'une variable aléatoire de Bernoulli?
|
||||
\end{Exo}
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||||
\vspace{2cm}
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Completer les formules suivantes
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \begin{array}{c} n \\ 0\end{array} \right) = \hspace{5cm} \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right) =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Faire le triangle de Pascal pour $n$ et $k$ variant de 0 à 4.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{3cm}
|
||||
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||||
\begin{Exo}
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||||
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$. Soit $k$ un entier compris entre 0 et $n$. Completer la formule suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X=k) =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Comment définit-on une suite de manière explicite? Donner un exemple.
|
||||
\end{Exo}
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||||
\end{multicols}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classConn}
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% Title Page
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\title{}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\begin{multicols}{2}
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||||
Nom - Prénom:
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\section{Connaissance}
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\begin{Exo}
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||||
Donner la relation de récurence d'une suite géométrique.
|
||||
\end{Exo}
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\vspace{2cm}
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la relation explicite d'une suite arithmétique.
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||||
\end{Exo}
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\vspace{2cm}
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition d'une suite croissante.
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||||
\end{Exo}
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\vspace{2cm}
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||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
À quelles conditions la suite géométrique $u$ de raison $q$ est elle croissante.
|
||||
\end{Exo}
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||||
\vspace{3cm}
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Completer la formule suivante dans le cas où $u$ est une suite géométrique.
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\sum_{k=0}^{n} u_k =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
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\columnbreak
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||||
Nom - Prénom
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||||
\section{Connaissance}
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\begin{Exo}
|
||||
Donner la relation de récurence d'une suite arithmétique.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la relation explicite d'une suite géométrique.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition d'une suite décroissante.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
À quelles conditions la suite géométrique $u$ de raison $q$ est elle décroissante.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{3cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Completer la formule suivante dans le cas où $u$ est une suite géométrique.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\sum_{k=0}^{n} u_k =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
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||||
\end{multicols}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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||||
\title{Devoir Maison: Produit scalaire}
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||||
\author{}
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||||
\date{}
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||||
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}
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||||
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||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(58 p 202)
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrons que $||\vec{u} + \vec{v}||^2 + ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = 2\left( ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 \right)$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
||\vec{u} + \vec{v}||^2 + ||\vec{u} - \vec{v}||^2 &=& ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2 \\
|
||||
&& \quad ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2 \\
|
||||
&=& 2||\vec{u}||^2 + 2||\vec{v}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} - 2\vec{u}.\vec{v}\\
|
||||
&=& 2\left( ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Montrons l'identité d'Apollonius. Pour cela on va appliquer le résultat de la question précédente à $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$.
|
||||
|
||||
Comme on a $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ par la relation de Chasles.
|
||||
|
||||
Et que $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DB}$ par la relation de Chasles et en utilisant le fait que $ABCD$ soit un parallélogramme et donc que $\vec{CB} = \vec{DA}$.
|
||||
|
||||
La relation montrée à la question précédente donne
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
||\vec{AC}||^2 + ||\vec{BD}||^2 = 2\left( ||\vec{AB}||^2 + ||\vec{BC}||^2 \right)\\
|
||||
AC^2 + BD^2 = 2\left( AB^2 + BC^2 \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Calculons la longueur de la diagonale $[BD]$. Par la question précédente, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
BD^2 &=& 2(AB^2 + BC^2) - AC^2 \\
|
||||
&=& 2(6^2 + 4^2) - 8^2 \\
|
||||
BD^2 &=& 40 \\
|
||||
BD &=& \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(70 p 203)
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $ABF$ est un triangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ dont le coté $[AF]$ est une diagonale de ce cercle. On en déduit donc que $ABF$ est un triangle rectangle en $B$. Ainsi $B$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$. On peut donc simplifier le produit scalaire
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AB}.\vec{AF} = \vec{AB}.\vec{AB} = AB^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
De la même façon, $C$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AC)$ et donc le produit scalaire se simplifie
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AC}.\vec{AF} = \vec{AC}.\vec{AC} = AC^2
|
||||
\end{eqnarray*}o
|
||||
\item Montrons que $AB^2 + AC^2 = 2 \vec{AI}.\vec{AF}$.
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
AB^2 + AC^2 &=& \vec{AB}.\vec{AF} + \vec{AC}.\vec{AF} \\
|
||||
&=& \left( \vec{AI} + \vec{IB}\right).\vec{AF} + \left( \vec{AI} + \vec{IC} \right).\vec{AF} \\
|
||||
&=& \vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IB}.\vec{AF} + \vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IC}.\vec{AF} \\
|
||||
&=& 2\vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IB}.\vec{AF} + \vec{IC}.\vec{AF} \\
|
||||
\mbox{or } \vec{IB} = -\vec{IC} &=& 2\vec{AI}.\vec{AF}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(95 p 205)
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculons les produits scalaires.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{BA}.\vec{AC} &=& \frac{1}{2}\left( ||\vec{BA} + \vec{AC}||^2 - ||\vec{BA}||^2 - ||\vec{AC}||^2 \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{2}\left( BC^2 - BA^2 - AC^2 \right)\\
|
||||
&=& \frac{1}{2} \left( 4^2 - 7^2 - 5^2 \right) \\
|
||||
&=& -29 \\
|
||||
\vec{AB}.\vec{BC} = -20 \\
|
||||
\vec{CA}.\vec{BC} = 4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AB}.\vec{AC} &=& -\vec{BA}.\vec{AC} = 29 \\
|
||||
\vec{BA}.\vec{BC} &=& -\vec{AB}.\vec{BC} = 20
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Calculons la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. On sait que $\vec{BA}.\vec{BC} = ||\vec{BA}||\; ||\vec{BC}|| \cos(\vec{BA},\vec{BC})$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\cos(\vec{BA},\vec{BC}) &=& \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{||\vec{BA}||\;||\vec{BC}||} \\
|
||||
&=& \frac{-20}{7 \times 4}\\
|
||||
\widehat{ABC} &=& \cos^{-1} \left( \frac{20}{28} \right)\\
|
||||
&=& 44.4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On fait de la même manière pour l'angle $\widehat{BAC}$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\widehat{BAC} = \cos^{-1} (\frac{29}{35}) = 34.0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et on déduit le dernier angle
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\widehat{ACB} = 180 - \widehat{ABC} - \widehat{BAC} = 180 - 44 - 34 = 101.6
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir Maison: Probabilité}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{20 mai 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
67 p 283
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
55 p 281
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
% Arbre de proba
|
||||
On place dans une urne 3 boules bleues, 5 boules vertes et 2 boules jaunes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Premier jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire une boule que l'on replace ensuite dans l'urne. Une boule bleue rapporte 1 \euro{}, une boule verte rapporte 2 \euro{} et une boule jaune rapporte 6 \euro{}. On note $X$ les gains à ce jeu.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
|
||||
\item A-t-on intérêt à jouer à ce jeu?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Deuxième jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire successivement 2 boules en les replaçant à chaque fois dans l'urne. Et chaque boule rapporte autant que dans le jeu précédent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Justifier que l'on peut faire un arbre pondéré pour modéliser ce jeu.
|
||||
\item Réaliser l'arbre modélisant ce jeu.
|
||||
\item Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule bleue?
|
||||
\item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge et une boule verte?
|
||||
\item On note $Y$ les gains à ce jeu. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
|
||||
\item Ce jeu est-il équitable?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
% Arbre et loi de proba
|
||||
On lance un dé équilibré cinq fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 nombres pairs?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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BIN
1S/DM/DM_130520/DM_corr.pdf
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1S/DM/DM_130520/DM_corr.pdf
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Binary file not shown.
130
1S/DM/DM_130520/DM_corr.tex
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130
1S/DM/DM_130520/DM_corr.tex
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@@ -0,0 +1,130 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir Maison: Probabilité - Correction }
|
||||
\author{}
|
||||
\date{19 Avril 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(63 p 282) \\
|
||||
L'expérience consiste à lancer 5 fois de suite un dé équilibré. Cette expérience correspond à la répétition de 5 expériences identiques et indépendantes. Nous allons donc pouvoir faire un arbre pondéré.
|
||||
|
||||
Lors de chaque ``petite'' expérience, on s'intéresse à l'évènement $P = \left\{ \mbox{le chiffre est paire} \right\}$ et à son évènement contraire $\bar{P} = \left\{ \mbox{le chiffre est impaire} \right\}$. Comme le dé est équilibré, les résultats sont équiprobables donc à chaque lancer on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(P) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \qquad P(\bar{P}) = \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On obtient alors l'arbre suivant.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/63p282}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Donc la probabilité d'obtenir que des nombres paires est de
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(PPPPP)= 0.5 \times0.5 \times0.5 \times0.5 \times0.5 = 0.03125
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(92 p 289)\\
|
||||
Ce n'est pas dit dans l'énoncé mais comme on ne nous donne aucune information sur l'équilibrage de la pièce, on peut supposer qu'elle est équilibrée. Et donc qu'à chaque lancer, les évènements $P = \left\{ \mbox{pile} \right\}$ et $\bar{P} = \left\{ \mbox{face} \right\}$ sont équiprobables.
|
||||
|
||||
Le fait de répéter cette expérience jusqu'à obtenir un pile, permet de dire que l'on fait au plus 5 expériences identiques et indépendantes. Nous pouvons donc faire l'arbre de probabilité suivant.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/92p289}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
La probabilité de lancer moins de 5 fois la pièce correspond à la somme des probabilité des feuilles en bleu, ce qui donne
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{lancer la pièce moins de 5 fois}) &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\
|
||||
&=& \frac{15}{16}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(79 p 286)\\
|
||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item Loi de probabilité de $X$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
Défauts & 0 & A & B & A et B \\
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & 950 & 1050 & 1100 & 1200 \\
|
||||
\hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & 0.9 & 0.04 & 0.02 & 0.04\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\item Espérance de $X$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n \\
|
||||
&=& 0.9 \times 950 + 0.04 \times 1050 + 0.02 \times 1100 + 0.04 \times 0.04\\
|
||||
&=& 967
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $E[X]$ est de 967 \euro. Cette valeur correspond au coût moyen de production d'un objet.
|
||||
|
||||
Variance de $X$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V(X) &=& p_1 \left( x_1 - E[X] \right)^2 + p_2 \left( x_2 - E[X] \right)^2 + \cdots + p_n \left( x_n - E[X] \right)^2\\
|
||||
&=& 0.9 (950 - 967)^2 + 0.04 (1050 - 967)^2 + 0.02 (1100 - 967)^2 + 0.04 (1200 - 967)^2\\
|
||||
&=& 3061
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Écart-type de $X$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\sigma(X) &=& \sqrt{V(X)} = \sqrt{3061} = 55
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}[a.]
|
||||
\item D'après la valeur de $E[X]$, l'usine peut "espérer" que chaque objet lui coûte 967 \euro. Donc en les vendant à 960 \euro elle ne peut pas réaliser de bénéfices.
|
||||
\item Si elle veut un bénéfice moyen de 100 \euro, il faut qu'elle les objets 100 \euro plus cher que l'espérance de coût soit 1060 \euro.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(84 p 286)\\
|
||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item $B$ est la variable aléatoire comptant le nombre d'ordinateurs loués. Comme cette société ne dispose que de 5 ordinateurs, si on lui en demande 5, 6 ou 7, elle ne pourra en louer que 5. On en déduit donc la loi de probabilité de $B$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|l|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
Ordinateurs loués & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
\hline
|
||||
Bénéfices & -250 & -160 & -70 & 20 & 110 & 200 \\
|
||||
\hline
|
||||
probabilité & 0.05 & 0.1 & 0.1 & 0.15 & 0.25 & 0.35\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\item Espérance de $B$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[B] &=& p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n \\
|
||||
&=& 0.05 \times (-250) + 0.1 \times (-160) + 0.2 \times (-70) + 0.15 \times 20 + 0.25 \times 110 + 0.35 \times 200 \\
|
||||
&=& 65
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La société peut donc espérer gagner 65 \euro par jour.
|
||||
\item On en déduit l'espérance des bénéfices sur une année
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[365\times B] = 365 \times E[B] = 23 725
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La société peut donc espérer gagner 23 725 \euro par an.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
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||||
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1S/DM/DM_130520/fig/63p282.pdf
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@@ -0,0 +1,17 @@
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\psset{nodesep=1mm,levelsep=2cm,treesep=1cm, nrot=:U}
|
||||
\pstree[treemode=R, xbbh = 10pt, xbbd=10pt]{\TC}{%
|
||||
\pstree{\TR{\blue $P$} \naput{\blue 0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{\blue $P$} \naput{\blue 0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{\blue $P$} \naput{\blue 0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{\blue$P$} \naput{\blue 0.5}}{%
|
||||
\TR{\blue$P$} \naput{\blue 0.5}
|
||||
\TR{$\bar{P}$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\TR{$\bar{P}$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\TR{$\bar{P}$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\TR{$\bar{P}$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\TR{$\bar{P}$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
BIN
1S/DM/DM_130520/fig/92p289.pdf
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1S/DM/DM_130520/fig/92p289.pdf
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1S/DM/DM_130520/fig/92p289.tex
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\psset{nodesep=1mm,levelsep=2cm,treesep=1cm, nrot=:U}
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\pstree[treemode=R, xbbh = 10pt, xbbd=10pt]{\TC}{%
|
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\pstree{\TR{\blue $P$} \naput{\blue 0.5}}{%
|
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\pstree{\TR{\blue $P$} \naput{\blue 0.5}}{%
|
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\pstree{\TR{\blue $P$} \naput{\blue 0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{ 0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{ 0.5}
|
||||
\TR{$\bar{P}$} \nbput{0.5}
|
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}
|
||||
\TR{$\blue\bar{P}$} \nbput{\blue0.5}
|
||||
}
|
||||
\TR{$\blue\bar{P}$} \nbput{\blue0.5}
|
||||
}
|
||||
\TR{$\blue\bar{P}$} \nbput{\blue0.5}
|
||||
}
|
||||
\TR{$\blue\bar{P}$} \nbput{\blue0.5}
|
||||
}
|
||||
46
1S/DM/DM_130520/fig/arbre.tex
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46
1S/DM/DM_130520/fig/arbre.tex
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@@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=2mm}
|
||||
\pstree[treemode=D]{\TC}{%
|
||||
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|
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\pstree{\TR{$RD$} \tlput{$D$}}{%
|
||||
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|
||||
\Tcircle{\blue$RDD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{\red$RDV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$RV$} \trput{$V$}}{%
|
||||
\TR{$RVA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{$RVD$} \tlput{$D$}
|
||||
\TR{\blue$RVV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$D$} \tlput{$D$}}
|
||||
{
|
||||
\pstree{\TR{$DR$} \tlput{$R$}}
|
||||
{
|
||||
\Tcircle{$DRA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{\blue$DRD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{$DRV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$DV$} \trput{$V$}}
|
||||
{
|
||||
\Tcircle{$DVA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{\blue$DVD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{\blue$DVV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\pstree{\TR{$V$} \tlput{$V$}}
|
||||
{
|
||||
\pstree{\TR{$VD$} \tlput{$D$}}
|
||||
{
|
||||
\Tcircle{$VDA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{\blue$VDD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{\blue$VDV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
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\pstree{\TR{$VR$} \trput{$R$}}
|
||||
{
|
||||
\TR{$VRA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{$VRD$} \tlput{$D$}
|
||||
\TR{\blue$VRV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
26
1S/DM/DM_130520/fig/pstricks.sh
Normal file
26
1S/DM/DM_130520/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-tree}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
BIN
1S/DM/DM_130531/DM_corr.pdf
Normal file
BIN
1S/DM/DM_130531/DM_corr.pdf
Normal file
Binary file not shown.
124
1S/DM/DM_130531/DM_corr.tex
Normal file
124
1S/DM/DM_130531/DM_corr.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,124 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir surveillé: Suites}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{31 mai 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\exo{45 p 122}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Programme permettant de calculer les termes de la suite $u$:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item En langage humain
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
Saisir A
|
||||
Saisir N
|
||||
Pour I variant de 1 à N faire
|
||||
mettre dans A la valeur 2xA + 5
|
||||
fin de faire
|
||||
afficher A
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
\item En Texas
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
Prompt A
|
||||
Prompt N
|
||||
For(I,1,N)
|
||||
2*A+5->A
|
||||
End
|
||||
Disp A
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
\item En Casio
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
? -> A
|
||||
? -> N
|
||||
For 1 -> I to N
|
||||
2*A + 5 -> 1
|
||||
Next
|
||||
A
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On calcul alors le terme d'indice 11 de $u$ pour $u_0 = 1$ soit $u_11 = 12283$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\exo{83p125}
|
||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item On calcul les premiers termes des suites $u$ et $v$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_1 &=& \frac{u_0}{2u_0+1} = \frac{6}{2\times 6 + 1} = \frac{6}{13}\\
|
||||
u_2 &=& \frac{u_1}{2u_1+1} = \frac{\frac{6}{13}}{2\times \frac{6}{13} + 1} = \frac{6}{25}\\
|
||||
u_3 &=& \frac{u_3}{2u_3+1} = \frac{\frac{6}{25}}{2\times \frac{6}{25} + 1} = \frac{6}{37}\\
|
||||
v_0 &=& \frac{1}{u_0} = \frac{1}{6} \quad \mbox{Non demandé mais on en aura besoin plus tard}\\
|
||||
v_1 &=& \frac{1}{u_1} = \frac{13}{6} \\
|
||||
v_2 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{25}{6} \\
|
||||
v_3 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{37}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Démontrons que la suite $v$ est arithmétique. Pour cela, il faut calculer
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
v_{n+1} - v_{n} &=& \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{1}{\frac{u_n}{2u_n + 1}} - \frac{1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{2u_n + 1}{u_n} - \frac{1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{2u_n + 1 - 1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{2u_n}{u_n} \\
|
||||
&=& 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On a donc $v_{n+1} = v_n + 2$ donc la suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$.
|
||||
\item Comme $v$ est une suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$ on en déduit son expression explicite
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
v_n = u_0 + n\times r = \frac{1}{6} + 2n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On en déduit l'expression de $u$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + \frac{1}{6}}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\exo{109p126}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Population en centre ville et en banlieue en 2011
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_1 = 30000 (1 + \frac{7}{100}) = 32100 \\
|
||||
c_1 = 30000 (1 - \frac{4}{100}) = 28800
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Population en centre ville et en banlieue en 2012
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_2 = 32100 (1 + \frac{7}{100}) = 34347 \\
|
||||
c_2 = 28800 (1 - \frac{4}{100}) = 27648
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On remarque que chaque année, on gagne ou on perd un certain pourcentage de la population. Cette situation est donc modélisable par une suite géométrique.
|
||||
|
||||
Pour la population de banlieue, on gagne 7\% chaque année donc $b$ est une suite géométrique de raison $(1 + \dfrac{7}{100} = 1.07$. On en déduit la relation de récurrence suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_{n+1} = 1.07\times b_n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour la population de centre ville, on perd 4\% chaque année donc $c$ est une suite géométrique de raison $(1 - \dfrac{4}{100} = 0.96$. On en déduit la relation de récurrence suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
c_{n+1} = 0.96\times c_n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Dans les deux cas la population initiale est de 30000 habitants. On a donc $b_0 = c_0 = 30000$. On en déduit les expressions explicites de $b$ et $c$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_n = 30000\times 1.07^n \\
|
||||
c_n = 30000\times 0.96^n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo.pdf
Normal file
Binary file not shown.
91
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo.tex
Normal file
91
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,91 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{wrapfig}
|
||||
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||||
% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Trigonométrie}
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||||
\author{}
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||||
\date{}
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||||
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||||
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
|
||||
% Manipulation d'angles et géometrie
|
||||
\begin{Exo}(7 points)\\
|
||||
Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre $O$. Soit $A$ un point de $\mathcal{C}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Donner la mesure principale des angles suivants
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{OA}, \vec{OP} \right) = - \frac{\pi}{3} + k \times 2\pi\\
|
||||
\left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right) = \frac{70\pi}{3} + k \times 2\pi\\
|
||||
\left( \vec{OP}, \vec{OR} \right) = \frac{2013\pi}{6} + k \times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur $\mathcal{C}$.
|
||||
\item Determiner la mesure principale des angles suivants:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) , \left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Quelle est la nature du triangle $OPQ$? En déduire la mesure principale de l'angle $\left( \vec{PA}, \vec{PO} \right)$.
|
||||
\item Quelle est la mesure principale de l'angle $\left( \vec{PQ}, \vec{PA} \right)$?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(6 points)\\
|
||||
On veut résoudre l'équation suivante $\sqrt{2} \cos x - 1 \geq 0$ sur $]\;-\pi \; ; \; \pi\;[$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Résoudre l'équation suivante $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$.
|
||||
\item Placer sur le cercle trigonométrique les points $A$ et $B$ associés aux deux solutions.
|
||||
\item Colorier en rouge l'arc de cerle correspondant aux $x$ tel que $\cos x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
|
||||
\item En déduire l'ensemble des solutions dans $] \; -\pi \; ; \; \pi \; [$ de l'équation $\sqrt{2} \cos x - 1 \geq 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
% Équation trigonométriques
|
||||
\begin{Exo}(4 points)\\
|
||||
Résoudre dans $\R$ l'équation suivante (penser à factoriser)
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2 \sin^2 x - \sin x = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth}
|
||||
\vspace{-20pt}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fig/fig1}
|
||||
\end{center}
|
||||
\vspace{-10pt}
|
||||
\end{wrapfigure}
|
||||
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ quatres points. On suppose que $AEB$ et
|
||||
$BCD$ sont isocèles et que $BDE$ est équilatéral. Enfin on pose que
|
||||
$\left( \vec{AE},\vec{AB} \right) = \left( \vec{CB}, \vec{CD} \right) =
|
||||
\frac{2\pi}{3} + k \times 2\pi$ .
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Donner la mesure principale de $\left( \vec{BA}, \vec{BC} \right)$.
|
||||
\item En déduire $\left( \vec{AC}, \vec{AB} \right)$.
|
||||
\item Démontrer que $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
% % Somme des angles d'un triangle
|
||||
% \begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
% Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatres points.
|
||||
% \begin{enumerate}[a.]
|
||||
% \item Démontrer que $(\vec{AB}, \vec{AD}) +(\vec{BC}, \vec{BA}) +(\vec{CD}, \vec{CB}) + (\vec{DA}, \vec{DC}) = k \times 2\pi$.
|
||||
% \item Énoncer la propriété démontrée.
|
||||
% \item Peut-on avoir un énoncé similaire avec 3 points?
|
||||
% \end{enumerate}
|
||||
% \end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo_Corr.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo_Corr.pdf
Normal file
Binary file not shown.
151
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo_Corr.tex
Normal file
151
1S/DS/DS_130000/DS_Trigo_Corr.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,151 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{wrapfig}
|
||||
|
||||
% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Trigonométrie (Correction)}
|
||||
\author{}
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||||
\date{}
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||||
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||||
\fancyhead[L]{$1^{ere}S7$ : \Thetitle}
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||||
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
|
||||
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||||
|
||||
% Manipulation d'angles et géometrie
|
||||
\begin{Exo}(7 points)\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item (2points)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item La mesure principale de $\left( \vec{OA}, \vec{OP} \right) = - \frac{\pi}{3} + k \times 2\pi$ (c'est à dire la mesure de l'angle comprise entre $-\pi$ et $\pi$) est $\frac{-\pi}{3}$.
|
||||
\item La mesure principale de $\left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right) = \frac{70\pi}{3} + k \times 2\pi$ se trouve de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{70}{3} \pi = 24\pi + \pi + \frac{\pi}{3} = 24\pi + \frac{4\pi}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
C'est donc $\frac{-2\pi}{3}$.
|
||||
\item La mesure principale de $\left( \vec{OP}, \vec{OR} \right) = \frac{2013\pi}{6} + k \times 2\pi$ se trouve de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{2013}{6} \pi = 334\pi + \pi + \frac{3\pi}{6} = 334\pi + \frac{9\pi}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
C'est donc $\frac{-\pi}{2}$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item (1 point) Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur $\mathcal{C}$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/cercle_trigo_exo1}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item (2 points)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Calcul de la mesure principale de $\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right)$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) &=& \left( \vec{OP}, \vec{OA} \right) + \left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right)\\
|
||||
&=& -\left( \vec{OA}, \vec{OP} \right) + \left( \vec{OA}, \vec{OQ} \right)\\
|
||||
&=& - \frac{-\pi}{3} + \frac{-2\pi}{3}\\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la mesure principale de $\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right)$ est $\frac{-\pi}{3}$.
|
||||
|
||||
\item Calcul de la mesure principale de $\left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right)$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right) &=& \left( \vec{OQ}, \vec{OP} \right) + \left( \vec{OP}, \vec{OR} \right)\\
|
||||
&=& -\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) + \left( \vec{OP}, \vec{OR} \right)\\
|
||||
&=& -\frac{-\pi}{3} + \frac{-\pi}{2} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la mesure principale de $\left( \vec{OQ}, \vec{OR} \right)$ est $\frac{-\pi}{6}$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item (1 point) Comme $P$ et $Q$ sont 2 points du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$, $OPQ$ est un triangle isocèle en $O$. De plus, comme $\left( \vec{OP}, \vec{OQ} \right) = \frac{-\pi}{3}$ $OPQ$ est un triangle équilatérale. De la même façon on montre que $OPA$ est un trangle équilatérale donc $\left( \vec{PA}, \vec{PO} \right) = \frac{\pi}{3}$.
|
||||
\item (1 point) Calcul de la mesure principale de $\left( \vec{PQ}, \vec{PA}\right)$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{PQ}, \vec{PA}\right) &=& \left( \vec{PQ}, \vec{PO} \right) + \left( \vec{PO}, \vec{PA} \right)\\
|
||||
&=& \frac{-\pi}{3} + \frac{-\pi}{3}\\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la mesure principale de cet angle est $\frac{-2\pi}{3}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(6 points)\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item (2 points) Résolution de l'équation $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\sqrt{2} \cos x - 1 = 0 &\equiv& \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\
|
||||
&\equiv& \cos x = \cos \frac{\pi}{4}\\
|
||||
&\equiv& x = \frac{\pi}{4} + k\times 2\pi \mbox{ ou } \frac{-\pi}{4} + k\times2\pi \qquad k \in \Z
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc les solutions sur $]-\pi, \pi[$ sont $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{-\pi}{4}$.
|
||||
\item (1 points)
|
||||
\item (1,5 points)
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/cercle_trigo_exo3}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item (1,5 points) On en déduit donc que les solutions de cette inéquation sont $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
% Équation trigonométriques
|
||||
\begin{Exo}(4 points)\\
|
||||
Résolution dans $\R$ l'équation $2\sin^2 x - \sin x = 0$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2 \sin^2 x - \sin x = 0 &\equiv& \sin x \left( 2 \sin x - 1 \right) = 0\\
|
||||
&\equiv& \sin x = 0 \mbox{ ou } 2\sin x - 1 = 0 \\
|
||||
&\equiv& \sin x = 0 \mbox{ ou } \sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\\
|
||||
&\equiv& x = 0 + k\times 2\pi \mbox{ ou } \pi + k\times2\pi \\
|
||||
&& \quad \mbox{ ou } \frac{\pi}{6} + k\times 2\pi \mbox{ ou } \frac{5\pi}{6} + k\times2\pi \qquad k \in \Z
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc les solutions sur $\R$ sont
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x = 0 + k\times 2\pi \mbox{ ou } \pi + k\times2\pi \mbox{ ou } \frac{\pi}{6} + k\times 2\pi \mbox{ ou } \frac{5\pi}{6} + k\times2\pi \qquad k \in \Z
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item D'après la relation de Chasles, on a la relation suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{BA}, \vec{BC} \right) = \left( \vec{BA}, \vec{BE} \right) + \left( \vec{BE}, \vec{BD} \right) + \left( \vec{BD}, \vec{BC} \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Plaçons nous dans le triangle $ABE$. Comme il est isocèle en $A$, on a l'égalité suivante $\left(\vec{BA}, \vec{BE} \right) = \left( \vec{EB}, \vec{EA} \right)$. Or la somme des angles d'un triangle est égale à $\pi$. On en déduit donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{BA}, \vec{BE} \right) &=& \frac{1}{2} \times \left( \pi - \left( \vec{AE}, \vec{AB} \right) \right) \\
|
||||
&=& \frac{\pi}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
De la même manière on en déduit que $\left( \vec{BD}, \vec{BC} \right) = \dfrac{\pi}{6}$.
|
||||
|
||||
Comme $BDE$ est un triangle équilatéral, ses angles sont égaux à $\dfrac{\pi}{3}$. Donc $\left( \vec{BE}, \vec{BD} \right)= \dfrac{\pi}{3}$.
|
||||
|
||||
Donc finalement,
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{BA}, \vec{BC} \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Les triangles $ABE$ et $BCD$ ont les mêmes angles et un coté de même longueur, ce sont donc les mêmes. Donc on a $AB = BC$ et donc $ABC$ est un triangle isocèle. De la même façon que dans la première question, on est déduit la mesure de $\left( \vec{AC}, \vec{AB} \right)$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{AC}, \vec{AB} \right) = \frac{\pi}{12}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Démontrons que $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles. Pour cela on va chercher la mesure de l'angle $\left( \vec{AC}, \vec{DE} \right)$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left( \vec{AC}, \vec{DE} \right) &=& \left( \vec{AC}, \vec{AB} \right) + \left( \vec{AB}, \vec{AE} \right) + \left( \vec{AE}, \vec{DE} \right)\\
|
||||
&=& \frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{3} + \left( \vec{EA}, \vec{ED} \right)\\
|
||||
&=& \frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\\
|
||||
&=& -\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc l'angle $\left( \vec{AC}, \vec{DE} \right)$ est un angle plat, donc les droites $(AC)$ et $(ED)$ sont parallèles.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
% % Somme des angles d'un triangle
|
||||
% \begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
% Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatres points.
|
||||
% \begin{enumerate}[a.]
|
||||
% \item Démontrer que $(\vec{AB}, \vec{AD}) +(\vec{BC}, \vec{BA}) +(\vec{CD}, \vec{CB}) + (\vec{DA}, \vec{DC}) = k \times 2\pi$.
|
||||
% \item Énoncer la propriété démontrée.
|
||||
% \item Peut-on avoir un énoncé similaire avec 3 points?
|
||||
% \end{enumerate}
|
||||
% \end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
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||||
BIN
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo1.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo1.pdf
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Binary file not shown.
26
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo1.tex
Normal file
26
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo1.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
\begin{pspicture*}[showgrid=bottom](-3,-3)(3,3)
|
||||
%\psset{xunit=1 cm, algebraic=true}
|
||||
%\psgrid[xunit=0.5, yunit=0.5, subgriddiv=0, gridcolor=lightgray]
|
||||
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
|
||||
|
||||
\pscircle(0,0){2}
|
||||
\SpecialCoor
|
||||
\psdots(2;-60)(2;-120)(2;-150)(2;0)
|
||||
|
||||
\uput[ur](2;0){$A$}
|
||||
|
||||
|
||||
\uput[r](2;-60){$P \; \frac{-\pi}{3}$}
|
||||
\psline(0;0)(2;-60)
|
||||
\psarc{<-}(0,0){0.8}{-60}{0}
|
||||
|
||||
\uput[l](2;-120){$Q \; \frac{-2\pi}{3}$}
|
||||
\psline(0;0)(2;-120)
|
||||
\psarc{<-}(0,0){0.6}{-120}{0}
|
||||
|
||||
\psline(0;0)(2;-150)
|
||||
\uput[l](2;-150){$R \; \frac{-5\pi}{6}$}
|
||||
\psarc{<-}(0,0){1}{-150}{-60}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{pspicture*}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo3.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo3.pdf
Normal file
Binary file not shown.
17
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo3.tex
Normal file
17
1S/DS/DS_130000/fig/cercle_trigo_exo3.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,17 @@
|
||||
\begin{pspicture*}[showgrid=bottom](-3,-3)(3,3)
|
||||
%\psset{xunit=1 cm, algebraic=true}
|
||||
%\psgrid[xunit=0.5, yunit=0.5, subgriddiv=0, gridcolor=lightgray]
|
||||
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
|
||||
|
||||
\pscircle(0,0){2}
|
||||
\SpecialCoor
|
||||
\psarc[linecolor=red,linewidth=2pt]{-}(0,0){2}{-45}{45}
|
||||
\psdots(2;45)(2;-45)
|
||||
|
||||
\uput[r](2;45){$A \; \frac{\pi}{4}$}
|
||||
\psline(0;0)(2;45)
|
||||
\uput[r](2;-45){$B \; \frac{-\pi}{4}$}
|
||||
\psline(0;0)(2;-45)
|
||||
|
||||
|
||||
\end{pspicture*}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130000/fig/fig1.png
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130000/fig/fig1.png
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 22 KiB |
25
1S/DS/DS_130000/fig/pstricks.sh
Normal file
25
1S/DS/DS_130000/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,25 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
29
1S/DS/DS_130000/index.rst
Normal file
29
1S/DS/DS_130000/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,29 @@
|
||||
Notes sur DS 130000
|
||||
###################
|
||||
|
||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Géométrie
|
||||
:category: 1S
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_Trigo.pdf <DS_Trigo.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_Trigo_Corr.pdf <DS_Trigo_Corr.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_Trigo_Corr.tex <DS_Trigo_Corr.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_Trigo.tex <DS_Trigo.tex>`_
|
||||
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||||
`Lien vers fig/cercle_trigo_exo1.tex <fig/cercle_trigo_exo1.tex>`_
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`Lien vers fig/cercle_trigo_exo1.pdf <fig/cercle_trigo_exo1.pdf>`_
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`Lien vers fig/cercle_trigo_exo3.tex <fig/cercle_trigo_exo3.tex>`_
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`Lien vers fig/fig1.png <fig/fig1.png>`_
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`Lien vers fig/cercle_trigo_exo3.pdf <fig/cercle_trigo_exo3.pdf>`_
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1S/DS/DS_130001/Contrôle vecteurs1S.pdf
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1S/DS/DS_130001/Contrôle vecteurs1S.pdf
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Binary file not shown.
BIN
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BIN
1S/DS/DS_130001/DS_vecteur.pdf
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Binary file not shown.
111
1S/DS/DS_130001/DS_vecteur.tex
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111
1S/DS/DS_130001/DS_vecteur.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,111 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{}
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||||
\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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||||
% On met 2 DS par page pour économiser du papier
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||||
\section{Devoir Surveillé: Vecteurs et trigonométrie}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Completer les formules suivantes
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\cos(-\alpha) = \ldots \quad %
|
||||
\sin(\pi + \alpha) = \ldots \quad %
|
||||
\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cdots \quad %
|
||||
\cos(\frac{\pi}{6}) = \cdots \quad %
|
||||
\sin(\frac{\pi}{4}) = \cdots \quad
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner une équation de la droite $\Delta$ dans chacun des cas suivants:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\Delta$ passant par $A(2;5)$ et ayant pour vecteur directeur $\vec{u}\left( \begin{array}{c}
|
||||
-1 \\ 3
|
||||
\end{array} \right)$
|
||||
\item $\Delta$ passant par les points $E(2;5)$ et $F(2;-1)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner les vecteurs directeurs de chacune de droites suivantes
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $D_1$ d'équation: $ 5x + 4y -1 = 0$
|
||||
\item $D_2$ d'équation: $ 5x + 3 = 0$
|
||||
\item $D_1$ d'équation: $ y = -1 - 3x$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Les points $A(4;2)$, $C(7;\frac{3}{2})$ et $P(-2;3)$ sont ils alignés?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Soient $E(-1;4)$, $F(3;\frac{5}{2})$ et $G(-3;1)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Faire une dessin et le compléter au fur et à mesure.
|
||||
\item Montrer que le milieu $K$ du segment $\left[ GF \right]$ est sur l'axe des coordonnées.
|
||||
\item Donner une équation de la droite $\delta$ parallèle à $\left( EF \right)$ passant par $G$.
|
||||
\item Le point $D(5;-2)$ appartient-il à $\delta$?
|
||||
\item Quelle est la nature du quadrilatère $EFDG$?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Devoir Surveillé: Vecteurs et trigonométrie}
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Completer les formules suivantes
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\sin(-\alpha) = \ldots \quad %
|
||||
\cos(\pi - \alpha) = \ldots \quad %
|
||||
\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cdots \quad %
|
||||
\sin(\frac{\pi}{3}) = \cdots \quad %
|
||||
\cos(\frac{\pi}{4}) = \cdots \quad
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner une équation de la droite $\Delta$ dans chacun des cas suivants:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\Delta$ passant par $A(2;5)$ et ayant pour vecteur directeur $\vec{u}\left( \begin{array}{c}
|
||||
-1 \\ 3
|
||||
\end{array} \right)$
|
||||
\item $\Delta$ passant par les points $E(2;5)$ et $F(2;-1)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner les vecteurs directeurs de chacune de droites suivantes
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $D_1$ d'équation: $ 5x + 4y -1 = 0$
|
||||
\item $D_2$ d'équation: $ 5x + 3 = 0$
|
||||
\item $D_1$ d'équation: $ y = -1 - 3x$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Les points $A(4;2)$, $C(7;\frac{3}{2})$ et $P(-2;3)$ sont ils alignés?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Soient $E(-1;4)$, $F(3;\frac{5}{2})$ et $G(-3;1)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Faire une dessin et le compléter au fur et à mesure.
|
||||
\item Montrer que le milieu $K$ du segment $\left[ GF \right]$ est sur l'axe des coordonnées.
|
||||
\item Donner une équation de la droite $\delta$ parallèle à $\left( EF \right)$ passant par $G$.
|
||||
\item Le point $D(5;-2)$ appartient-il à $\delta$?
|
||||
\item Quelle est la nature du quadrilatère $EFDG$?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
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||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
BIN
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BIN
1S/DS/DS_130001/DS_vecteur_correction.pdf
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Binary file not shown.
152
1S/DS/DS_130001/DS_vecteur_correction.tex
Normal file
152
1S/DS/DS_130001/DS_vecteur_correction.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,152 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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||||
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||||
% Title Page
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||||
\title{Correction du Devoir Surveillé: Vecteurs et trigonométrie}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{22 janvier 2013}
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||||
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||||
\fancyhead[L]{$1^{ere}S7$ : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Voir le cours.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminons l'équation de la droite $\Delta$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
|
||||
|
||||
Comme le vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u} \left( \begin{array}{c}
|
||||
-1 \\ 3
|
||||
\end{array} \right)$, $\Delta$ à pour équation
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
1\times y + 3\times x + c = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Déterminons $c$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
A(2;5) \in \Delta & \Leftrightarrow & 5 + 3 \times 2 + c = 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & c = -5 - 6 = -11
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc l'équation de la droite $\Delta$ est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
y + 3 x - 11 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Déterminons l'équation de la droite $\delta$ passant par les points $E$ et $F$
|
||||
|
||||
Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$ (un vecteur directeur de $\Delta$)
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\overrightarrow{EF} \left( \begin{array}{c}
|
||||
x_F - x_E \\ y_F - y_E
|
||||
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
|
||||
2-2 \\ -1 - 5
|
||||
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
|
||||
0 \\ -6
|
||||
\end{array} \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On en déduit l'équation de la droite
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-6 x + c = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Puis $c$ grâce à $E$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-6 \times 2 + c = 0 & \Leftrightarrow & c = 12
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
D'où l'équation de la droite $\Delta$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-6 x + 12 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On identifie les coefficients de l'équation $a = 5$, $b = 4$ et $c = -1$ donc le vecteur directeur de $D_1$ est $\vec{u} \left( \begin{array}{c}
|
||||
-4 \\ 5
|
||||
\end{array} \right)$
|
||||
\item On identifie les coefficients de l'équation $a = 5$, $b = 0$ et $c = 3$ donc le vecteur directeur de $D_2$ est $\vec{u} \left( \begin{array}{c}
|
||||
0 \\ 5
|
||||
\end{array} \right)$
|
||||
\item On identifie les coefficients de l'équation $a = 3$, $b = 1$ et $c = 1$ donc le vecteur directeur de $D_3$ est $\vec{u} \left( \begin{array}{c}
|
||||
-1 \\ 3
|
||||
\end{array} \right)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Pour savoir si les points $A$, $C$ et $P$ sont alignés, il faut vérifier si $\vec{AC}$ et $\vec{AP}$ sont colinéaires. Calculons leurs coordonnées.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AC} \left( \begin{array}{c}
|
||||
x_C - x_A \\ y_C - y_A
|
||||
\end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c}
|
||||
7 - 4 \\ \frac{3}{2} - 2
|
||||
\end{array} \right) \\
|
||||
& = & \left( \begin{array}{c}
|
||||
3 \\ -\frac{1}{2}
|
||||
\end{array} \right) \\
|
||||
\vec{AP} \left( \begin{array}{c}
|
||||
x_P - x_A \\ y_P - y_A
|
||||
\end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c}
|
||||
-2 - 4 \\ 3 - 2
|
||||
\end{array} \right) \\
|
||||
& = & \left( \begin{array}{c}
|
||||
-6 \\ 1
|
||||
\end{array} \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On remarque alors que $\vec{AC} = -\frac{1}{2} \vec{AP}$, donc les vecteurs sont colinéaires. Donc les points sont alignées.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le dessin.
|
||||
|
||||
|
||||
\item Montrons que le milieu $K$ de $\left[ GF \right]$ est sur l'axe des ordonnés c'est à dire que $x_K$ est nul.
|
||||
|
||||
Calculons $x_K$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_K = \frac{x_F + x_G}{2} = \frac{3-3}{2} = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $K$ est sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Calculons l'équation de la droite $\delta$ parallèle à $(EF)$ passant par G.
|
||||
|
||||
$\vec{EF}$ est un vecteur directeur de cette droite, calculons ses coordonnées.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{EF} \left( \begin{array}{c}
|
||||
3 + 1 \\ \frac{5}{2} - 4
|
||||
\end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{c}
|
||||
4 \\ -\frac{3}{2}
|
||||
\end{array} \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
On en déduit le début de l'équation de la droite $\delta$: $-4y - \frac{3}{2} x + c = 0$. Il reste à déterminer $c$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
G \in \delta & \Leftrightarrow & -4 \times 1 - \frac{3}{2} \times (-3) + c = 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & c = \frac{-1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc l'équation de la droite $\delta$ est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-4y - \frac{3}{2}x -\frac{1}{2} = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Vérifions si $D$ est sur la droite $\delta$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
-4 \times (-2) - \frac{3}{2} \times 5 - \frac{1}{2} &=& 8 - \frac{15}{2} - \frac{1}{2} \\
|
||||
&=& 8 - \frac{16}{2} \\
|
||||
&=& 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $D$ est sur la droite $\delta$.
|
||||
|
||||
\item Le quadrilatère $EFDG$ est un trapèze car les droites $(EF)$ et $(\delta)$ sont parallèles mais $EF \not = GD$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
35
1S/DS/DS_130001/dessin.py
Normal file
35
1S/DS/DS_130001/dessin.py
Normal file
@@ -0,0 +1,35 @@
|
||||
#!/usr/bin/env python
|
||||
#-*- coding:utf8-*-
|
||||
|
||||
# ------------------------------
|
||||
# Imports
|
||||
# ------------------------------
|
||||
import matplotlib.pyplot as plt
|
||||
|
||||
|
||||
# ------------------------------
|
||||
# Bloc principal
|
||||
# ------------------------------
|
||||
|
||||
if __name__ == '__main__':
|
||||
plt.plot([-1,3,-3,0],[4,2.5,1,(2.5+1)/2],'+',color = "b")
|
||||
plt.annotate("E", xy = (-1,4), xytext = (-1,4.2))
|
||||
plt.annotate("F", xy = (3,2.5), xytext = (3,2.7))
|
||||
plt.annotate("G", xy = (-3,1), xytext = (-3,1.2))
|
||||
plt.annotate("K", xy = (0,(2.5+1)/2), xytext = (0.2,(2.5+1)/2))
|
||||
|
||||
|
||||
plt.axis([-4,4,-3,5])
|
||||
plt.grid(True)
|
||||
plt.show()
|
||||
|
||||
|
||||
# ------------------------------
|
||||
# Fin du programme
|
||||
# ------------------------------
|
||||
|
||||
# -----------------------------
|
||||
# Reglages pour 'vim'
|
||||
# vim:set autoindent expandtab tabstop=4 shiftwidth=4:
|
||||
# cursor: 16 del
|
||||
|
||||
23
1S/DS/DS_130001/index.rst
Normal file
23
1S/DS/DS_130001/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,23 @@
|
||||
Notes sur DS 130001
|
||||
###################
|
||||
|
||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Vecteurs, Géométrie
|
||||
:category: 1S
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_vecteur.tex <DS_vecteur.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers dessin.py <dessin.py>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_vecteur.pdf <DS_vecteur.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_vecteur_correction.pdf <DS_vecteur_correction.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers Contrôle vecteurs1S.pdf <Contrôle vecteurs1S.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_vecteur_correction.tex <DS_vecteur_correction.tex>`_
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv.pdf
Normal file
Binary file not shown.
85
1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv.tex
Normal file
85
1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,85 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{subfig}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{19 fervrier 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
Acceptez vous de que je vous envoie votre note dans un mail collectif? (Le mettre sur la copie)
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2(x^2-8)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $f$ (penser à factoriser la dérivée).
|
||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;3]$ dans un repère orthogonal d'unité 2cm sur l'axe des abscisse et 1cm sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse -1. La tracer sur le graphique.
|
||||
\item Trouver les extrema de $f$ sur $[-3,3]$. Dire si ce sont des extrema locaux ou globaux de $f$ sur $\R$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(5 points)\\
|
||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
|
||||
Soit $g$ la fonction suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g :x \mapsto \frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $g$.
|
||||
\item On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{2}x - 1$. Étudier la position de $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ par rapport à $\Delta$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(4 points)\\
|
||||
% Manipulation de graphique
|
||||
La courbe $\mathcal{C}_h$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $h$ définition sur $[-3;3]$. On notera $h'$ sa dérivée.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/Ch}
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Quel est le signe de $h'(2.5)$? De $h'(1)$?
|
||||
\item Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse -1.
|
||||
\item Dresser le tableau de signe de $h'$.
|
||||
\item Lequel de ces graphiques correspond au graph de $h'$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[htpb]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\subfloat[Choix 1]{%
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{fig/Chderv_bad1}}
|
||||
\subfloat[Choix 2]{%
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{fig/Chderv_bad2}}
|
||||
\subfloat[Choix 3]{%
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{fig/Chderv}}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
Dériver en précisant le domaine de définition et de dérivation les fonctions suivantes
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f:x \mapsto (3x^2 + 2x - 1) \sqrt{x}$
|
||||
\item $g:x \mapsto \dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}$
|
||||
\item $h:x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - 1}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "master"
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_1.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_1.pdf
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85
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@@ -0,0 +1,85 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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||||
\usepackage{subfig}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
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\author{}
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\date{19 fervrier 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
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||||
\begin{center}
|
||||
\textbf{Sujet 1}\\
|
||||
Devise Shadocks: S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
|
||||
Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(2 points) \textbf{Cours}\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Donner l'expression analytique du produit scalaire.
|
||||
\item Donner la définition du projeté othogonal.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver de la fonction $f$ définie de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \sqrt{x}\left( x^{30} + \frac{1}{x} \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = -x^3 - x^2 + x + 3$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $f$.
|
||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;2]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,5cm sur l'axe des abscisse et 2cm sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Déterminer l'équation de la tangente,$T$, à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse -2. La tracer sur le graphique. Dans la suite, on notera $t(x)$ la fonction associée à $T$.
|
||||
\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $T$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - t(x)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad x^3-\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4} = (x+1)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2$
|
||||
\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item(Dure) Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=9x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(7 points)\\
|
||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
|
||||
On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f : x \mapsto \frac{x-1}{3-2x}
|
||||
g : x \mapsto -\frac{1}{2}x
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h :x \mapsto \frac{x^2 - \frac{1}{2}x - 1}{3-2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h'(x) = \frac{-2x^2 + 6x - \frac{7}{2}}{(3-2x)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et étudier le sens de variation de $h$.
|
||||
\item Montrer que sur $]\dfrac{3}{2} \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_2.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_2.pdf
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|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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||||
\usepackage{subfig}
|
||||
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||||
% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{19 fervrier 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
|
||||
\cfoot{}
|
||||
\geometry{left=15mm,right=15mm, top=15mm}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\textbf{Sujet 2}\\
|
||||
Devise Shadocks: S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(2 points) \textbf{Cours}\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Donner la définition du produit scalaire (la première)
|
||||
\item Donner l'expression du produit scalaire avec les angles et la norme des vecteurs.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(3 points)\\
|
||||
Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver de la fonction $f$ définie de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%DONE
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + \dfrac{1}{3}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $f$.
|
||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-6;7]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,25cm sur l'axe des abscisse et 1cm sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Déterminer l'équation de la tangente, $\Delta$ à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse 2. La tracer sur le graphique. On notera $\delta(x) = mx + p$ la fonction assiciee à $\Delta$.
|
||||
\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - \delta(x)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad \dfrac{1}{3}( x^3 - 3x^2+4) = \dfrac{1}{3}\left( x-2 \right)^2\left( x+1 \right)$
|
||||
\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item(Dure) Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=-8x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(7 points)\\
|
||||
%DONE
|
||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
|
||||
On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f : x &\mapsto& \frac{\frac{-13}{3}x + 1}{x-3} \\
|
||||
g : x &\mapsto& x
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h :x \mapsto \frac{-x^2 + \frac{4}{3}x + 1}{x-3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h'(x) = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(x-3)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et étudier le sens de variation de $h$.
|
||||
\item Montrer que sur $]3 \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_dervBis_Finlande.tex
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@@ -0,0 +1,75 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{subfig}
|
||||
|
||||
% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation le retour}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{19 fervrier 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\textbf{Sujet Finlande}\\
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
|
||||
Beaucoup d'exercices sont guidées. Vous pouvez donc sauter des questions et utiliser le résultat pour continuer. Par contre toutes les réponses devront être soigneusement justifiées.
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(5 points)\\
|
||||
Donner l'ensemble de définition et dérivation puis dériver des fonctions $f$ et $g$ définies de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \sqrt{x}\left( x^{30} + \frac{1}{x} \right) \\
|
||||
g:x\mapsto \frac{2x-8}{x^2 - 2x - 3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = -x^3 - x^2 + x + 3$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étudier le sens de variation de $f$.
|
||||
\item Construire la courbe représentative de $f$ sur $[-3;2]$ dans un repère orthogonal d'unité 0,5cm sur l'axe des abscisse et 2cm sur l'axe des ordonnées.
|
||||
\item Déterminer l'équation de la tangente,$T$, à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point $A$ d'abscisse -2. La tracer sur le graphique. Dans la suite, on notera $t(x)$ la fonction associée à $T$.
|
||||
\item Nous allons étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $T$. Pour cela on pose $d(x) = f(x) - t(x)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que pour tout $x\in \R$ $\quad x^3-\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4} = (x+1)\left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2$
|
||||
\item Determiner le signe de $d(x)$ et déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est paralèlle à la droite d'équation $y=9x$? Si oui, préciser leurs coordonnées.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(7 points)\\
|
||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
|
||||
On veux étudier la différence entre $f$ et $g$ deux fonctions définies de la manière suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f : x \mapsto \frac{x-1}{3-2x} \quad
|
||||
g : x \mapsto -\frac{1}{2}x
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour cela on pose la fonction $h(x) = f(x) - g(x)$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Montrer que $h$ peut s'écrire sous la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h :x \mapsto \frac{x^2 - \frac{1}{2}x - 1}{3-2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Montrer que la dérivée de $h$ est de la forme suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h'(x) = \frac{-2x^2 + 6x - \frac{7}{2}}{(3-2x)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et étudier le sens de variation de $h$.
|
||||
\item Montrer que sur $]\dfrac{3}{2} \; ; \; \infty[$, $g$ est au dessus de $f$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv_corr.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv_corr.pdf
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1S/DS/DS_130219/DS_appl_derv_corr.tex
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@@ -0,0 +1,219 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{subfig}
|
||||
\usepackage{variations}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir surveillé: Application de la dérivation correction}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{19 fervrier 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ S7 : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
Tous les calculs ne sont pas explicités. Il faut les refaire, lire des calculs n'apprend pas à les faire.
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(8 points)\\
|
||||
%Étude de variation tracer une courbe et trouver extrema
|
||||
Soit la fonction $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2(x^2-8)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étude du sens de variation de $f$
|
||||
|
||||
$f$ est une fonction polynôme donc le domaine de définition est $\R$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
D_f = \R
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Pour dériver, on a deux solutions. Soit on développe $f(x) = \dfrac{1}{2}x^4 - 4x^2$ puis on dérive. Soit on remarque que $f(x) = u(x)\times v(x)$ et on dérive en utilisant la formule. Les deux méthodes donnent bien entendu le même résultat.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) &=& 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4)\\
|
||||
\mbox{On peut utiliser une identité remarquable} &=& 2x(x-2)(x+2)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
On étudie ensuite le signe de $f'$. Si l'on n'a pas vu que l'on pouvait factoriser en utilisant un identité remarquable, la méthode du discriminant marche très bien (je vous conseil de le faire ainsi, la méthode du discriminant marche toujours - je rédige de cette façon dans le deuxième exercice).
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{variations}
|
||||
x & \mI & & -2 & & 0 & & 2 & & \pI \\
|
||||
\filet
|
||||
2x & \ga- & \l & - & \z & + & \l & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
x+2 & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
x-2 & \ga- & \l & - & \l & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
f'(x) & \ga- & \z & + & \z & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
f(x) & & \d &\b{-8} & \c & \h0 & \d& \b{-8}& \c & \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
|
||||
\item On place les points -2, 0, 2 sans oublier les \textbf{tangentes horizontales}. On calcule et on place $f(-3)$ et $f(3)$. Puis on rejoint les points en n'oubliant pas d'être proche de la tangente aux points -2, 0 et 2.
|
||||
\item Équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en 1
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
y &=& f'(1)(x-1) + f(1) \\
|
||||
&=& -6(x-1) - \frac{-7}{2} \\
|
||||
y &=& -6x + \frac{5}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item D'après le tableau de variations, on remarque $f'$ s'annule en -2, 0 et 2 en changeant de signe. Nous avons donc trois extrema locaux. En -2 et 2, ce sont des minimum et ils sont globaux car d'après le tableau de variations, $f$ ne descend pas en dessous de -8. En 0, c'est un maximum mais il n'est pas global car par exemple $f(3) = \dfrac{9}{2}$ est plus grand que $f(0) = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(5 points)\\
|
||||
% Étude de varia et étude de position de tangente
|
||||
Soit $g$ la fonction suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g :x \mapsto \frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étude du sens de variation de $g$.
|
||||
|
||||
$g$ est une fonction avec un dénominateur, il y a donc peut être une valeur interdite. Cherchons quand le dénominateur s'annule.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
1-2x = 0 &\equiv& x = \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $\dfrac{1}{2}$ est une valeur interdite. Donc le domaine de définition est
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
D_g = \R \backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Dérivons $g$. On remarque $f$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$, on la dérive en utilisant la formule associée (à vous de le faire) et on trouve
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g'(x) = \frac{6x^2 - 6x - 12}{(1-2x)^2}
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\textbf{On ne développe pas le dénominateur!!}
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||||
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||||
On étudie le signe de $g'$. Pour cela on étudie séparément le dénominateur et le numérateur. Le dénominateur est un carré donc toujours positif.
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||||
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||||
Pour le numérateur ($6x^2 - 6x - 12$), on utilise la méthode du discriminant.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta &=& b^2 - 4ac = \left( -6 \right)^2 - 4 \times 6 \times (-12) \\
|
||||
&=& 324
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$\Delta$ est positif, il y a donc 2 racines et le numérateur est du signe de $a$ (6 donc positif) en dehors des racines. Calculons les racines
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = -2 \\
|
||||
x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
On en déduit le signe de $g'$ puis les variations de $g$.
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{variations}
|
||||
x & \mI & & -2 & & \frac{1}{2} & & 1 & & \pI \\
|
||||
\filet
|
||||
(1-2x)^2 & \ga+ & \l & + & \bb & + & \l & \dr+ \\
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||||
\filet
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||||
6x^2-6x-12 & \ga+ & \z & - & \bb & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
g'(x) & \ga+ & \z & - & \bb & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
g(x) & & \c &\h{-3} & \d & \bb & \d & \b8 & \c & \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
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||||
\item Cherchons les points où la courbe représentant $g$ est au dessus de $\Delta$ ce qui se traduit de la manière suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
g(x) \geq \frac{3}{2}x - 1 & \equiv &\frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x} \geq \frac{3}{2}x - 1 \\
|
||||
& \equiv & \frac{-3x^2 + 2x - 7}{1-2x} - \frac{(\frac{3}{2}x - 1)(1-2x)}{1-2x} \geq 0\\
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||||
& \equiv & \frac{-3x^2 + 2x - 7 + 3x^2 - \frac{7}{2}x + 1}{1-2x} \geq 0 \\
|
||||
& \equiv & \frac{\frac{3}{2}x - 6}{1-2x} \geq 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On établit le tableau de signe de $\dfrac{\frac{3}{2}x - 6}{1-2x}$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{variations}
|
||||
x & \mI & &\frac{1}{2} & & 4 & & \pI \\
|
||||
\filet
|
||||
1-2x & \ga+ & \bb & - & \l & \dr- \\
|
||||
\filet
|
||||
\frac{3}{2}x - 6& \ga- & \bb & - & \z & \dr+ \\
|
||||
\filet
|
||||
\frac{\frac{3}{2}x - 6}{1-2x} %
|
||||
& \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
Donc $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\Delta$ sur $\left] \dfrac{1}{2} \; ; \; 4 \right]$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\begin{Exo}(4 points)\\
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||||
% Manipulation de graphique
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item On remarque que $h$ est décroissante en 2,5 donc $h'(2,5)$ est négative. De même pour $h'(1)$.
|
||||
\item Par lecture graphique, on remarque que $h(-1) = 0$ et $h'(-1) = 1$. On en déduit l'équation de la tangente en -1
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
y &=& h'(-1)(x+1) + f(-1) \\
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||||
y &=& x + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On déduit le tableau de signe de $h'$ à partir du tableau de variations de $h$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{variations}
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||||
x & -3 & & -2 & & 0 & & 3 \\
|
||||
\filet
|
||||
h(x) & & \d &\b{-1} & \c &\h{0.5}& \d & \\
|
||||
\filet
|
||||
h'(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
|
||||
\end{variations}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item On remarque que le seul graphique qui correspond au tableau de signe trouvé dans la question précédente est le troisième. La réponse est donc la graphique c.
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||||
\end{enumerate}
|
||||
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||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}(3 points)\\
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $f:x \mapsto (3x^2 + 2x - 1) \sqrt{x}$
|
||||
|
||||
$f$ est une fonction avec un racine. Donc le domaine de définition est $\left[ 0 \; ; \; +\infty \right[$ et le domaine de dérivation est $\left] 0 \; ; \; + \infty \right]$.
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||||
|
||||
$f$ est du type $f(x) = u(x) \times v(x)$ avec
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u(x) = 3x^2 + 2x - 1 & \mbox{ donc } & u'(x) = 6x + 2 \\
|
||||
v(x) = \sqrt{x} & \mbox{ donc } & v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) &=& u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \left( 6x + 2 \right)\sqrt{x} + (3x^2 + 2x -1)\frac{1}{2\sqrt{x}}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On pourrai aller plus loin dans la simplification mais ce n'est pas le but de cet exercice.
|
||||
\item $g:x \mapsto \dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}$
|
||||
|
||||
$g$ est une fonction avec un dénominateur qui peut s'annuler et une racine. Cherchons la valeur interdite
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x-1 = 0 &\equiv& x = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On en déduit le domaine de définition $\left[ 0 ; 1 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[$. Et le domaine de dérivation est $\left] 0 ; 1 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[$.
|
||||
|
||||
On remarque que $g(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u(x) = \sqrt{x} & \mbox{ donc } & u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\
|
||||
v(x) = x-1 & \mbox{ donc } & v'(x) = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g'(x) &=& \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\
|
||||
&=& \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x-1) - \sqrt{x}}{(x-1)^2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On pourrai aller plus loin dans la simplification mais ce n'est pas le but de cet exercice.
|
||||
|
||||
\item $h:x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - 1}$
|
||||
|
||||
On remarque qu'il y a un dénominateur qui peut s'annuler. Cherchons les valeurs interdites.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x^2 - 1 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On peut utiliser la méthode du discriminant ou alors utiliser une identité remarquable $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. On a alors deux solutions 1 et -1.
|
||||
|
||||
On a donc deux valeurs interdites -1 et 1. Donc le domaine de définition est $\left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] -1 ; 1 \right[ \cup \left] 1; +\infty \right[$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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||||
%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Ch.pdf
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BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Ch.pdf
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Binary file not shown.
7
1S/DS/DS_130219/fig/Ch.tex
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7
1S/DS/DS_130219/fig/Ch.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{1/EXP((x+1)) *(x+2)*(x+2) - 1}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.pdf
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Binary file not shown.
7
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.tex
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7
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv.tex
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@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{-x*(x+2) / EXP(x+1)}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.pdf
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Binary file not shown.
7
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.tex
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7
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad1.tex
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@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{-(x-1)*(x+1) / EXP(x)}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.pdf
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Binary file not shown.
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1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.tex
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7
1S/DS/DS_130219/fig/Chderv_bad2.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-3}{3}{-(1/EXP((x+1)) *(x+2)*(x+2) - 1)}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130219/fig/fonctions.ggb
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BIN
1S/DS/DS_130219/fig/fonctions.ggb
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Binary file not shown.
26
1S/DS/DS_130219/fig/pstricks.sh
Normal file
26
1S/DS/DS_130219/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
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||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-plot}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
55
1S/DS/DS_130219/index.rst
Normal file
55
1S/DS/DS_130219/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,55 @@
|
||||
Notes sur DS 130219
|
||||
###################
|
||||
|
||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Dérivation, Fonctions
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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||||
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`Lien vers DS_appl_derv.tex <DS_appl_derv.tex>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_2.pdf <DS_appl_dervBis_2.pdf>`_
|
||||
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||||
`Lien vers DS_appl_derv_corr.pdf <DS_appl_derv_corr.pdf>`_
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||||
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||||
`Lien vers DS_appl_derv_corr.tex <DS_appl_derv_corr.tex>`_
|
||||
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||||
`Lien vers DS_appl_dervBis_Finlande.pdf <DS_appl_dervBis_Finlande.pdf>`_
|
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||||
`Lien vers DS_appl_dervBis_2.tex <DS_appl_dervBis_2.tex>`_
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||||
`Lien vers DS_appl_derv.pdf <DS_appl_derv.pdf>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_1.pdf <DS_appl_dervBis_1.pdf>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_1.tex <DS_appl_dervBis_1.tex>`_
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`Lien vers DS_appl_dervBis_Finlande.tex <DS_appl_dervBis_Finlande.tex>`_
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||||
`Lien vers fig/Chderv_bad1.pdf <fig/Chderv_bad1.pdf>`_
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`Lien vers fig/Chderv.pdf <fig/Chderv.pdf>`_
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`Lien vers fig/Ch.tex <fig/Ch.tex>`_
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`Lien vers fig/Chderv_bad1.tex <fig/Chderv_bad1.tex>`_
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||||
`Lien vers fig/Chderv_bad2.pdf <fig/Chderv_bad2.pdf>`_
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`Lien vers fig/fonctions.ggb <fig/fonctions.ggb>`_
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`Lien vers fig/Ch.pdf <fig/Ch.pdf>`_
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`Lien vers fig/Chderv_bad2.tex <fig/Chderv_bad2.tex>`_
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||||
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||||
`Lien vers fig/Chderv.tex <fig/Chderv.tex>`_
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||||
|
||||
DS trop long. Il faut impérativement enlever le dernier exercice.
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||||
|
||||
Beaucoup d'erreurs dans le calcul de la dérivée. Certaines personnes ne pense même pas à dériver pour étudier le sens de variation. Il faudrai peut être plus détailler les questions à propos du sens de variations. Et en particulier donner la dérivée pour qu'ils puissent faire le sens de variations correctement.
|
||||
|
||||
Il faudrai aussi ajouter qu'ils pensent à justifier dans l'exercice 4
|
||||
5
1S/DS/DS_130219/notes
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5
1S/DS/DS_130219/notes
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@@ -0,0 +1,5 @@
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||||
DS trop long. Il faut impérativement enlever le dernier exercice.
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||||
Beaucoup d'erreurs dans le calcul de la dérivée. Certaines personnes ne pense même pas à dériver pour étudier le sens de variation. Il faudrai peut être plus détailler les questions à propos du sens de variations. Et en particulier donner la dérivée pour qu'ils puissent faire le sens de variations correctement.
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||||
|
||||
Il faudrai aussi ajouter qu'ils pensent à justifier dans l'exercice 4
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1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal.pdf
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Binary file not shown.
83
1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal.tex
Normal file
83
1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,83 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Produit scalaire}
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\author{}
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\date{2 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. On prendra soin de bien justifier chaque réponse.
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||||
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||||
Les questions avec (*) ne sont pas à faire pour les élèves ayant le droit à un tiers temps.
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(10 points) \\
|
||||
On se donne la figure suivante (l'échelle n'est pas respectée)
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/trapeze}
|
||||
\end{center}
|
||||
$ABCD$ est un trapèze de base $DC$.
|
||||
$E$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(DC)$.
|
||||
$F$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(DC)$.
|
||||
$O$ est le point d'intersection des diagonales de $ABEF$.
|
||||
$ACGF$ est un parallélogramme. $J$ est l'intersection de ses diagonales.
|
||||
|
||||
|
||||
Les questions suivantes sont indépendantes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $\vec{AE} \cdot \vec{FC}$. % angle droit
|
||||
\item (*) Calculer $\vec{AE} \cdot \vec{AF}$. % Proj orthogonale
|
||||
\item Calculer $\vec{EF} \cdot \vec{FG}$. % Proj orthogonale ++
|
||||
\item (*) Calculer $\vec{BO} \cdot \vec{EF}$. % Proj orthogonale ++
|
||||
\item On veux calculer la mesure d'angle $\widehat{IBC}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sans utiliser de produit scalaire, calculer $BI^2$ et $BC^2$. % Pythagore
|
||||
\item En déduire $\vec{BI}\cdot \vec{BC}$. % Définition prod scal
|
||||
\item En déduire la mesure en degré de l'angle $\widehat{IBC}$. % Det angle
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% \item On veut calculer la mesure de l'angle $\widehat{CIH}$
|
||||
% \begin{enumerate}
|
||||
% \item Calculer $\vec{IF}\cdot \vec{FH}$ et $\vec{FC} \cdot \vec{FH}$. % Calculer prod scal angle
|
||||
% \item En déduire $\vec{IC} \cdot \vec{IH}$. % Relation de Chasles
|
||||
% \item Calculer la distance $IH$. % Calculer un distance
|
||||
% \item Conclure sur la mesure de l'angle $\widehat{CIH}$ en degré. % Determ angle
|
||||
% \end{enumerate}
|
||||
\item Calculer $\vec{BC} \cdot \vec{DA}$. % Relation de Chasles
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo} (6 points) \\
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||||
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points formant un triangle équilatéral de coté 3.
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||||
|
||||
Trouver l'ensemble des points $M$ tel que (faire un dessin dans chaque cas)
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\vec{AM}\cdot \vec{AC} = -6$
|
||||
\item $\vec{BM} \cdot \vec{AM} = 0$
|
||||
\item (*) $\vec{CM} \cdot \vec{AB} = 3$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(4 points)\\
|
||||
$ABC$ un triangle tel que $AB = 6$, $AC = 8$ et $\widehat{BAC} = 60^o$.
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||||
|
||||
On définit les points $M$ et $P$ tels que $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} $ et $\vec{CP} = \frac{1}{4} \vec{CA}$
|
||||
|
||||
Calculer la distant $MP$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/exo3}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\paragraph{Indication:} $MP^2 = (\vec{MA} + \vec{AP})^2$
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal_corr.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal_corr.pdf
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Binary file not shown.
159
1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal_corr.tex
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159
1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal_corr.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,159 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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||||
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% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Produit scalaire}
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||||
\author{}
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\date{2 Avril 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
|
||||
\begin{Exo}(10 points) \\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On sait que $E$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(DC)$ donc $(AE)$ est perpendiculaire à $(DC)$. Or $F$ est un point de $(DC)$ donc $(AE)$ et $(FC)$ sont perpendiculaires. On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AE} \cdot \vec{FC} = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item On a vu que $\left( AE \right)$ et $(EF)$ étaient parallèles. Donc $E$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AE)$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AE}\cdot \vec{AF} = \vec{AE}\cdot\vec{AE} = AE^2 = 36
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Comme $BCGF$ est un parallèlogramme, $(BF)$ et $(CG)$ sont parallèles donc $(CG)$ est perpendiculaire à $(EF)$. Donc $C$ est le projeté orthogonal de $G$ sur $(EF)$. On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{EF} \cdot \vec{FG} = \vec{EF} \cdot \vec{FC}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Or comme $BCGF$ est un parallèlogramme, ses diagonles se coupent en leurs milieu, donc $FC = 7cm$. D'où comme $\vec{EF}$ et $\vec{FC}$ sont colinéaires et dans le même sens,
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{EF} \cdot \vec{FG} = 4 \times 7 = 28
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item On note $J$ le projeté orthogonal de $O$ sur $(EF)$. Comme les diagonales d'un parallèlogramme se coupent en leurs milieux, la projection de $O$ se trouve au milieu de $[EF]$ donc $JF = 2cm$. On sait aussi que $F$ est le projeté de $B$ sur $(EF)$ on a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{EF} \cdot \vec{OB} = \vec{EF} \cdot \vec{JF} = 4 \times 2 = 8
|
||||
\vec{BO} \cdot \vec{EF} = \vec{BJ} \cdot \vec{EF}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
or $\vec{BJ}$ et $\vec{EF}$ sont colinéaires et de sens opposé donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{BO} \cdot \vec{EF} = \vec{BJ} \cdot \vec{EF} = -||\vec{BJ}|| \; ||\vec{EF}|| = -2\times 4 = -8 \end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On sait que $BFC$ est un triangle rectangle en $F$ donc par la théorème de Pythagore,
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
BC^2 = BF^2 + FC^2 = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
De même on déduit $BI^2$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
BI^2 = BF^2 + FI^2 = 36 + 12.25 = 48.25
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Calculons $\vec{CB} \cdot \vec{IC}$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{CB} \cdot \vec{IC} &=& \frac{1}{2}\left( ||\vec{CB} + \vec{IC}||^2 - ||\vec{CB}||^2 - ||\vec{IC}||^2 \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{2} \left( ||\vec{IB}||^2 - ||\vec{CB}||^2 - ||\vec{IC}||^2\right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{2} \left( 48.25 - 85 - 3.5^2 \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{2} \left( 49 \right) \\
|
||||
&=& -24.5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On sait que $\vec{CB} \cdot \vec{IC} = -\vec{CB} \cdot \vec{CI} = -||\vec{CB}|| \; ||\vec{CI}|| \cos\left( \widehat{ICB} \right)$. Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\cos (\widehat{ICB}) &=& -\frac{\vec{CB} \cdot \vec{IC}}{||\vec{CB}|| \; ||\vec{CI}||} \\
|
||||
&=& \frac{24.5}{\sqrt{85} \times 3.5}\\
|
||||
&=& 0.76
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\widehat{ICB} &=& \cos^{-1} \left( \frac{24.5}{3.5 \sqrt{85}} \right) \\
|
||||
&=& 40.5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc l'angle $\widehat{40.5} = 40.5^o$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Calculons $\vec{BC} \cdot \vec{DA}$. Pour cela nous allons utiliser la relation de Chasles
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{BC} \cdot \vec{DA} &=& \left( \vec{BF} + \vec{FC} \right) \cdot \left( \vec{DE} + \vec{EA} \right) \\
|
||||
&=& \vec{BF} \cdot \vec{DE} + \vec{BF} \cdot \vec{EA} + \vec{FC} \cdot \vec{DE} + \vec{FC} \cdot \vec{EA} \\
|
||||
&=& 0 - ||\vec{BF}|| \; ||\vec{EA} || + ||\vec{FC}|| \; ||\vec{DE}|| + 0 \\
|
||||
&=& -6 \times 6 + 4 \times 7 \\
|
||||
&=& -8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\begin{Exo} (6 points) \\
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||||
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points formant un triangle équilatéral de coté 3.
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||||
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||||
Trouver l'ensemble des points $M$ tel que (faire un dessin dans chaque cas)
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AC)$. On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AH} \cdot \vec{AC} = \vec{AM}\cdot \vec{AC} = -6
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $\vec{AC}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires et que leurs produit scalaire est négatif alors $\vec{AH}$ et $\vec{AC}$ sont de sens opposés. On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
||\vec{AH}|| \; ||\vec{AC}|| = 6 \\
|
||||
||\vec{AH}|| = \frac{6}{||\vec{AC}||} = \vec{6}{3} = 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On place alors le points $H$ sur la droite $(AC)$ à une distance 2 de $A$, du coté opposé à $C$ par rapport à $A$.
|
||||
|
||||
L'ensemble des points $M$ tel que $\vec{AM}\cdot \vec{AC} = -6$ est alors la droite passant par $H$ et perpendiculaire à $(AC)$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/exo2_1}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Comme $\vec{BM} \cdot \vec{AM} = 0$, les vecteurs $\vec{BM}$ et $\vec{AM}$ sont orthogonaux. Donc le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ pour tous les points $M$. Donc $M$ se trouve sur le cercle de diamètre $[AB]$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.2]{fig/exo2_2}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item (*) On note $H$ le projeté de $M$ sur la droite $(AB)$ et $C'$ celui de $C$. On a alors
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{C'H} \cdot \vec{AB} = \vec{CM} \cdot \vec{AB} = 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Or comme $\vec{C'H}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires et ont un produit scalaire positif, ils sont dans le même sens. On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
||\vec{C'H}|| \; ||\vec{AB}|| = 3 \\
|
||||
||\vec{C'H}|| = \frac{3}{||\vec{AB}||} = \frac{3}{3} = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
On peut donc placer $H$ à une distance de 1 de $C'$ tel que $\vec{C'H}$ et $\vec{AB}$ ai le même sens.
|
||||
|
||||
Ainsi l'ensemble des points $M$ tel que $\vec{CM} \cdot \vec{AB} = 3$ est la droite passant par $H$ et perpendiculaire à $(AB)$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.2]{fig/exo2_3}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(4 points)\\
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||||
Comme indiqué par l'énoncé, on commence par calculer $MP^2$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
MP^2 &=& \left( \vec{MA} + \vec{AP} \right)^2 \\
|
||||
&=& MA^2 + 2 \vec{MA}\cdot \vec{AP} + AP^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB}$, on
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
MA^2 = \frac{1}{4} AB^2 = 9 \\
|
||||
2 \vec{MA} \cdot \vec{AP} = \vec{AB} \cdot \vec{AP}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et comme $\vec{CP} = \frac{1}{4} \vec{CA}$, on a $\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AC}$ et donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
AP^2 &=& \frac{9}{16} AC^2 = 36\\
|
||||
\vec{AB} \cdot \vec{AP} &=& \frac{3}{4} \vec{AB} \cdot \vec{AC} \\
|
||||
&=& \frac{3}{4} AB \times AC \cos\left( \widehat{BAC} \right) \\
|
||||
&=& \frac{3}{4} 6 \times 8 \times \frac{1}{2} \\
|
||||
&=& 18
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc finalement
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
MP^2 = 9 + 36 + 18 = 63 \\
|
||||
MP = \sqrt{63} = 7.9
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
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1S/DS/DS_130402/fig/exo2_1.png
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After Width: | Height: | Size: 281 KiB |
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After Width: | Height: | Size: 204 KiB |
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24
1S/DS/DS_130402/fig/exo3.tex
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24
1S/DS/DS_130402/fig/exo3.tex
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@@ -0,0 +1,24 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-2.5,-2.5)(5,0.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
%\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-6.5,-9.5)(9.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psdot(0,0)
|
||||
\uput[u](0,0){$A$}
|
||||
|
||||
\psdot(-2,-2)
|
||||
\uput[l](-2,-2){$B$}
|
||||
|
||||
\psdot(4,-2)
|
||||
\uput[r](4,-2){$C$}
|
||||
|
||||
\psdot(-1,-1)
|
||||
\uput[ul](-1,-1){$M$}
|
||||
|
||||
\psdot(3,-1.5)
|
||||
\uput[ur](3,-1.5){$P$}
|
||||
|
||||
\pspolygon(0,0)(-2,-2)(4,-2)
|
||||
\psline(-1,-1)(3,-1.5)
|
||||
|
||||
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
26
1S/DS/DS_130402/fig/pstricks.sh
Executable file
26
1S/DS/DS_130402/fig/pstricks.sh
Executable file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-plot}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.pdf
Normal file
Binary file not shown.
55
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.tex
Normal file
55
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,55 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-6.5,-9.5)(9.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
%\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-6.5,-9.5)(9.5,3.5)
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\psdot(0,0)
|
||||
\uput[u](0,0){$O$}
|
||||
|
||||
\uput[u](-2,3){$A$}
|
||||
\uput[u](2,3){$B$}
|
||||
\uput[r](9,-3){$C$}
|
||||
\uput[d](-6,-3){$D$}
|
||||
\uput[d](-2,-3){$E$}
|
||||
\uput[d](2,-3){$F$}
|
||||
\uput[r](9,-9){$G$}
|
||||
\uput[u](5.5,-3){$I$}
|
||||
%\uput[d](0,-3){$J$}
|
||||
\uput[r](7,-5.5){$H$}
|
||||
|
||||
% AE
|
||||
\psline(-2,3)(-2,-3)
|
||||
% BF
|
||||
\psline(2,3)(2,-3)
|
||||
% AF
|
||||
\psline(-2,3)(2,-3)
|
||||
% BE
|
||||
\psline(2,3)(-2,-3)
|
||||
% % OJ
|
||||
% \psline(0,0)(0,-3)
|
||||
% FG
|
||||
\psline(2,-3)(9,-9)
|
||||
% BG
|
||||
\psline(2,3)(9,-9)
|
||||
% GC
|
||||
\psline(9,-3)(9,-9)
|
||||
% FH
|
||||
\psline(2,-3)(6.95,-5.5)
|
||||
% HC
|
||||
\psline(6.95,-5.5)(9,-3)
|
||||
|
||||
% L'angle IFH
|
||||
\psarc{<->}(2,-3){2}{-26}{0}
|
||||
\uput[r](4,-3.5){$30^o$}
|
||||
|
||||
\pspolygon(-2,-3)(-2.2,-3)(-2.2,-2.8)(-2,-2.8)
|
||||
\pspolygon(2,-3)(2.2,-3)(2.2,-2.8)(2,-2.8)
|
||||
\pspolygon(-2,3)(2,3)(9,-3)(-6,-3)
|
||||
|
||||
\uput[u](0,3){4cm}
|
||||
\uput[u](7,-3){3,5cm}
|
||||
\uput[u](-4,-3){4cm}
|
||||
\uput[r](2,0){6cm}
|
||||
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
33
1S/DS/DS_130402/index.rst
Normal file
33
1S/DS/DS_130402/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,33 @@
|
||||
Notes sur DS 130402
|
||||
###################
|
||||
|
||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Géométrie, Vecteurs
|
||||
:category: 1S
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_prod_scal_corr.tex <DS_prod_scal_corr.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_prod_scal_corr.pdf <DS_prod_scal_corr.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_prod_scal.pdf <DS_prod_scal.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_prod_scal.tex <DS_prod_scal.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/exo2_2.png <fig/exo2_2.png>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/exo2_1.png <fig/exo2_1.png>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/exo2_3.png <fig/exo2_3.png>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/trapeze.pdf <fig/trapeze.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/exo3.tex <fig/exo3.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/trapeze.tex <fig/trapeze.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/exo3.pdf <fig/exo3.pdf>`_
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130506/DS_Proba.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130506/DS_Proba.pdf
Normal file
Binary file not shown.
90
1S/DS/DS_130506/DS_Proba.tex
Normal file
90
1S/DS/DS_130506/DS_Proba.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,90 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{eurosym}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir surveillé: Probabilité}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{6 mai 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ére}}S7$ : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
% Loi de proba, calcul de E et V et décalage des éléments
|
||||
À force de confisquer les téléphones portables de ses élèves, un professeur a pu établir le tableau suivant
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite \\ \hline
|
||||
Fréquence (en \%)& 20 & 10 & 15 & 50 & 5 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
Il décide alors de ne plus les rendre en fin de cours mais de les vendre au marché noir. Il se renseigne alors sur les prix de vente:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c| *{6}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette \\ \hline
|
||||
Prix de revente (en \euro) & 10 & 40 & 70 & 150 & 200 & 250 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
On note $X$ la variable aléatoire désignant le prix de revente d'un téléphone confisqué.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Donner le loi de probabilité de $X$
|
||||
\item Calculer l'espérance de $X$. Que signifie cette valeur?
|
||||
\item Calculer l'écart-type de $X$.
|
||||
\item Il estime qu'il confisque en moyenne 10 téléphones par jour. Malheureusement, son revendeur lui prend une commission de 100 \euro{} par jour. On note $Y$ la variable aléatoire désignant le bénéfice du professeur par jour.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
|
||||
\item Calculer l'espérance de $Y$.
|
||||
\item S'il travaille 200 jours par an, combien aura-t-il gagné à la fin de l'année? Peut-il devenir riche de cette manière?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
% Des arbres pondérés et jeux
|
||||
Soient 4 dés à 6 faces équilibrés (dit d'Efron) avec sur les faces les chiffres suivants:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Dé $A$: \; 0 \; ; \; 0 \; ; \; 4 \; ; \; 4 \; ; \; 4 \; ; \; 4
|
||||
\item Dé $B$: \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3
|
||||
\item Dé $C$: \; 2 \; ; \; 2 \; ; \; 2 \; ; \; 2 \; ; \; 6 \; ; \; 6
|
||||
\item Dé $D$: \; 1 \; ; \; 1 \; ; \; 1 \; ; \; 5 \; ; \; 5 \; ; \; 5
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On lance le dé $A$ puis le dé $B$. Quelle est la probabilité pour que le résultat du dé $A$ soit plus fort que celui du dé $B$?
|
||||
\item Même question avec les dés $B$ et $C$.
|
||||
\item On veut maintenant faire la même chose avec les dés $C$ et $D$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On lance le dé $C$ puis le dé $D$. Reproduire et compléter l'arbre suivant.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/arbre}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Quelle est la probabilité pour que le résultat du dé $C$ soit plus grand que le résultat du dé $D$?
|
||||
\item Même questionpour le dé $D$ contre le dé $A$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Fort de ces connaissance, vous proposez à un ami de jouer au jeu suivant:
|
||||
\begin{quote}
|
||||
``Vous misez 55 \euro{} et lui proposez de miser 45 \euro{}. Il pourra alors choisir un dé parmi les 4 dés ($A$, $B$, $C$ et $D$). Une fois son choix fait vous choisissez à votre tour un dé. Puis vous lancez simultanément vos dés. Celui qui a le plus haut score gagne la mise (100\euro).''
|
||||
\end{quote}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item S'il choisit le dé $A$, quel dé allez vous choisir? Et s'il choisit le $B$? Et le $C$? Et le $D$?
|
||||
\item Dans tous les cas quelle est votre chance de gagner?
|
||||
\item Vous lui proposez de jouer 3 fois. Quelle est la probabilité que vous gagnez au moins 2 fois?
|
||||
\item Ce jeux est-il équilibré?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
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|
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|
||||
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||||
%%% End:
|
||||
|
||||
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1S/DS/DS_130506/DS_Proba_corr.pdf
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149
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@@ -0,0 +1,149 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{eurosym}
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{Devoir surveillé: Probabilité}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{6 mai 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ére}}S7$ : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculons $P(X=10)$. L'évènement $\left\{ X=10 \right\}$ correspond aux vieux téléphones. On sait qu'il ramasse 20\% de vieux téléphones donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X=10) = \frac{20}{100} = 0.2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Le loi de probabilité de $X$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & 10 & 40 & 70 & 150 & 200 \\ \hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & 0.2 & 0.1 & 0.15 & 0.5 & 0.05 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Espérance de $X$. Que signifie cette valeur?
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
|
||||
&=& 10 \times 0.20 + 40 \times 0.10 + 70 \times 0.15 + 150 \times 0.50 + 200 \times 0.05 \\
|
||||
&=& 101.5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On peut donc dire qu'il peut espérer vendre en moyenne 124.09 \euro{} chaque téléphone.
|
||||
\item Variance de X
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V[X] &=& n_1 (x_1 - E[X])^2 + n_2 (x_2 - E[X])^2 + ... + n_p (x_p - E[X])^2 \\
|
||||
&=& 0.20 (10 - 101.5)^2 + 0.10 (40 - 101.5)^2 + 0.15 (70 - 101.5)^2 + 0.50 (150 - 101.5)^2 + 0.50 (200 - 101.5)^2 \\
|
||||
&=& 3862.75
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Ecart type:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\sigma(X) &=& \sqrt{V(X)} \\
|
||||
&\approx& 62.15
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $Y$, en fonction de $X$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
Y = 10X - 100
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On en déduit l'espérance de $Y$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[Y] = E[10X - 100] = 10 E[X] - 100 = 10 \times 101.5 - 100 = 915
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il peut donc espérer gagner 915\euro{} par jours.
|
||||
\item Gains à la fin de l'année:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
200 \times E[Y] = 183 000
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il peut donc espérer ganger 183 000 \euro{} par ans. C'est un beau pactole mais comme les élèves deviendront rapidement sages, ils ne sortiront plus leurs téléphones en cours. Et le professeur pourra arrêter son commerce illicite!
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\pagebreak
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
% Des arbres pondérés et jeux
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remarque que le dé $B$ n'a que des 3 sur ses faces. Ainsi pour que le dé $A$ batte le dé $B$ il faut qu'il fasse 4. Or il y a 4 faces avec des 4 sur le Dé $A$ donc comme les dés sont équilibrés (on est en situation d'équiprobabilité) on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{4 sur le dé $A$}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la probabilité pour que le résultat du dé $A$ soit plus grand que celui du dé $B$ est de $\dfrac{2}{3}$.
|
||||
\item De la même façon, pour que dé $B$ fasse un plus gros score que le dé $C$, il faut que le dé $C$ fasse un 2. Or il a 4 faces avec un 2 et il est équilibré. Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{2 sur le dé $C$}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la probabilité pour que le résultat du dé $B$ soit plus grand que celui du dé $C$ est de $\dfrac{2}{3}$.
|
||||
|
||||
|
||||
\item On veut maintenant faire la même chose avec les dés $C$ et $D$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Quand on lance le dé $C$, il y a 2 chance sur 3 de faire un 2 et une chance sur 3 de faire un 4. Puis quand on lance le dé $D$, on a une chance sur 2 de faire un 1 et une chance sur 2 de faire un 5. On complète alors l'arbre:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/arbre_corr}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Les issues entourés correspondent aux issues où le dé $C$ gagne contre le dé $D$. Or on sait que la probabilité d'une feuille d'un graphe est égale au produit des probabilités des branches. Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(C\mbox{ plus grand que }D) &=& \frac{2}{3}\times \frac{1}{2} \ + \; \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \; + \; \frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \\
|
||||
&=& \frac{2}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item De la même façon on a l'arbre suivant pour le dé $D$ puis le dé $A$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/arbre_corr2}
|
||||
\end{center}
|
||||
On en déduit que le probabilité que le dé $D$ fasse un plus grand score que le dé $A$ est de
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(D \mbox{ plus grand que } A) &=& \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \; + \; \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \; + \; \frac{2}{3} \\
|
||||
&=& \frac{2}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item D'après les calculs que l'on vient d'effectuer, si notre adversaire choisit le dé $A$, nous avons intérêt à choisir le dé $D$ car on sait qu'il a un probabilité de $\dfrac{2}{3}$ de faire un score plus élevé.
|
||||
De la même façon on déduit que
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item S'il choisit $B$, nous choisissons le dé $C$.
|
||||
\item S'il choisit $C$, nous choisissons le dé $D$.
|
||||
\item S'il choisit $D$, nous choisissons le dé $A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Dans tous les cas nous avons une probabilité de $\frac{2}{3}$ de gagner.
|
||||
|
||||
\item Nous venons de voir que nous avons une probabilité égale à $\frac{2}{3}$ de gagner une partie. Chaque partie est indépendante des autres. Nous pouvons donc modéliser la succession de ces trois parties par l'arbre suivant ($G$ pour gagner, $P$ pour perdu):
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics{fig/parties}
|
||||
\end{center}
|
||||
L'évènement ``gagner au moins deux parties'' est caractérisée par les feuilles entourées. D'où
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{gagner au moins deux parties}) &=& \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \; + \; 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \\
|
||||
&=& \frac{20}{27}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour déterminer si le jeux est équitable, il faut calculer l'espérance mathématique. Définissons $X$ la variable aléatoire calculant nos gains. Nous avons vu que nous gagnons 45\euro{} avec une probabilité de $\dfrac{2}{3}$ et nous perdons 55 \euro{} avec un probabilité de $\dfrac{1}{3}$. On en déduit le loi de probabilité de $X$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & -55 & 45 \\ \hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{2}{3}$ \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
On en déduit l'espérance de $X$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& -55 \times \frac{1}{3} \; + \; 45 \times \frac{2}{3} \\
|
||||
&=& 11.7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
L'espérance n'est pas nulle, donc le jeu n'est pas équitable. On gagne en moyenne 11.7 \euro.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
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|
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\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=1.5cm}
|
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|
||||
\pstree{\TR{...} \naput{...}}{%
|
||||
\TR{...} \naput{...}
|
||||
\TR{...} \nbput{...}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{...} \nbput{...}}{%
|
||||
\TR{...} \naput{...}
|
||||
\TR{...} \nbput{...}
|
||||
}
|
||||
}
|
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|
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|
||||
\pstree{\TR{2} \naput{$\frac{2}{3}$}}{%
|
||||
\Tcircle{1} \naput{$\frac{1}{2}$}
|
||||
\TR{5} \nbput{$\frac{1}{2}$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{6} \nbput{$\frac{1}{3}$}}{%
|
||||
\Tcircle{1} \naput{$\frac{1}{2}$}
|
||||
\Tcircle{5} \naput{$\frac{1}{2}$}
|
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}
|
||||
}
|
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|
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\pstree[treemode=R]{\TC}{%
|
||||
\pstree{\TR{1} \naput{$\frac{1}{2}$}}{%
|
||||
\Tcircle{0} \naput{$\frac{1}{3}$}
|
||||
\TR{4} \nbput{$\frac{2}{3}$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{5} \nbput{$\frac{1}{2}$}}{%
|
||||
\Tcircle{0} \naput{$\frac{1}{3}$}
|
||||
\Tcircle{4} \nbput{$\frac{2}{3}$}
|
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}
|
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}
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\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=1.5cm}
|
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\pstree[treemode=R]{\TC}{%
|
||||
\pstree{\TR{G} \naput{$\frac{2}{3}$}}{%
|
||||
\pstree{\TR{G} \naput{$\frac{2}{3}$}}{%
|
||||
\Tcircle{G} \naput{$\frac{2}{3}$}
|
||||
\Tcircle{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{P} \naput{$\frac{1}{3}$}}{%
|
||||
\Tcircle{G} \naput{$\frac{2}{3}$}
|
||||
\TR{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}
|
||||
}
|
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}
|
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\pstree{\TR{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}}{%
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\pstree{\TR{G} \naput{$\frac{2}{3}$}}{%
|
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\Tcircle{G} \naput{$\frac{2}{3}$}
|
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\TR{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{P} \naput{$\frac{1}{3}$}}{%
|
||||
\TR{G} \naput{$\frac{2}{3}$}
|
||||
\TR{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
26
1S/DS/DS_130506/fig/pstricks.sh
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26
1S/DS/DS_130506/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-tree}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
35
1S/DS/DS_130506/index.rst
Normal file
35
1S/DS/DS_130506/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,35 @@
|
||||
Notes sur DS 130506
|
||||
###################
|
||||
|
||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Proba
|
||||
:category: 1S
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
|
||||
|
||||
|
||||
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||||
`Lien vers DS_Proba_corr.pdf <DS_Proba_corr.pdf>`_
|
||||
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||||
`Lien vers DS_Proba.pdf <DS_Proba.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_Proba_corr.tex <DS_Proba_corr.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers DS_Proba.tex <DS_Proba.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbre.pdf <fig/arbre.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/parties.pdf <fig/parties.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbre_corr.tex <fig/arbre_corr.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbre_corr2.pdf <fig/arbre_corr2.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbre_corr.pdf <fig/arbre_corr.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbre_corr2.tex <fig/arbre_corr2.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbre.tex <fig/arbre.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/parties.tex <fig/parties.tex>`_
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130605/DS.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130605/DS.pdf
Normal file
Binary file not shown.
87
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{5 juin 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. L'\textbf{exercice 1} n'est pas à faire pour ceux qui ont un tiers temps.
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\begin{Exo}(4.5 points)\\
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||||
L'exercice suivant est un QCM. La notation est la suivante:
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\begin{itemize}
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||||
\item +1.5 si la réponse est juste.
|
||||
\item 0 s'il n'y a pas de réponse.
|
||||
\item -0.5 si la réponse est fausse.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
On ne demande pas de justifier votre réponse. Il y a un seule réponse possible. Si à la fin de l'exercice vous avec une note négative, elle sera mise à zéro dans la note finale du devoir.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Soit $v$ la suite définit de la manière suivante: $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = -1 v_{n}$. La suite $v$ est
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) Croissante \quad b) Décroissante \quad c) ni l'un ni l'autre
|
||||
\end{center}
|
||||
\bigskip
|
||||
\item Soit $w$ la suite définit de la manière suivante: $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$ $u_{n+1} = \frac{n-3}{2} + \frac{3}{2}$. La suite $w$ est
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ \quad b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \quad c) géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
|
||||
\end{center}
|
||||
\bigskip
|
||||
\item La somme des puissances de 2 de $2^0$ à $2^{11}$ (c'est à dire $2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{11}$) est égale à
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) $2^{11} - 1$ \quad b) $1 - 2^{12}$ \quad c) ni l'un ni l'autre
|
||||
\end{center}
|
||||
\bigskip
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\begin{Exo}(3 points)
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||||
Soit $u$ une suite arithmétique dont on connait deux valeurs $u_{10} = 30$ et $u_{16} = 21$.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Quelle est la relation explicite de $u$?
|
||||
\item Trouver $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ on ait $u_n \leq 1000$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo} (6,5 points) \\
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||||
On définit la suite $u$ par $u_0 = 1$ et pour tout $n$, $u_{n+1} = 2u_n + n + 1$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. La suite est-elle arithmétique? Géométrique?
|
||||
\item On pose $v_n = u_n + n + 2$. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
|
||||
\item Démontrer que pour tout $n$ on a $v_{n+1} = 2v_n$.
|
||||
\item Quelle est la nature de la suite $v$. En déduire l'expression de $v$ en fonction de $n$.
|
||||
\item Démontrer que l'on a $u_n = 3\times 2^n - n - 2$.
|
||||
\item Quel est le sens de variation de $u$?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\begin{Exo} (6 points) \\
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||||
Bob veut trouver un logement. On lui propose deux possibilités: Acheter un appartement ou le louer. S'il souhaite acheter cet appartement, il devra verser 150 000\euro. S'il souhaite le louer, cela lui coutera 4000\euro{} la première année puis le loyer augmentera de 4\% chaque année.
|
||||
|
||||
On note $u$ la suite décrivant le montant du loyer (sur une année). Ainsi $u_n$ sera le montant du loyer dans $n$ années.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Quelle est la nature de la suite $u$?
|
||||
\item Quel sera le loyer au bout de 5 ans?
|
||||
\item Combien aura-t-il payer en tout s'il loue 5 ans cet appartement? Et 10ans?
|
||||
\item On note $(T_n)_n$ la suite décrivant ce que Bob aura payé en tout au bout de $n$ années. Donner l'expression de $T_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item Au bout de combien d'années, Bob aura-t-il payé autant que s'il avait acheté directement la maison?(\textit{Indication: Vous pouvez utiliser la calculatrice})
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
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||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_130605/DS_corr.pdf
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{5 juin 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S7 : \Thetitle}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
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||||
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||||
\begin{Exo}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Soit $v$ la suite définit de la manière suivante: $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = -1 v_{n}$. La suite $v$ est
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) Croissante \quad b) Décroissante \quad c) \colorbox{green}{ni l'un ni l'autre}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, on reconnait que $v$ est une suite géométrique de raison -1 donc négative. Ainsi $v$ prendre alternativement des valeurs positives et négatives. Elle est donc ni croissante ni décroissante.
|
||||
\item Soit $w$ la suite définit de la manière suivante: $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$ $u_{n+1} = \frac{n-3}{2} + \frac{3}{2}$. La suite $w$ est
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) \colorbox{green}{arithmétique de raison $\frac{1}{2}$} \quad b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \quad c) géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, si on simplifie l'expression de $u$, on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{n+1} = \frac{n}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = \frac{n}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{n} = \frac{n-1}{2} = \frac{n}{2} - \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On reconnait l'expression explicite d'une suite arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $u_0 = -\frac{1}{2}$.
|
||||
\item La somme des puissances de 2 de $2^0$ à $2^{11}$ (c'est à dire $2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{11}$) est égale à
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) $2^{11} - 1$ \quad b) $1 - 2^{12}$ \quad c) \colorbox{green}{ni l'un ni l'autre}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, si on pose $u_n = 2^n$ on a une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $u_0 = 1$. Donc d'après la formule de sommation on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{11} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{11} = u_0 \frac{1 - q^{11+1}}{1 - q} = \frac{1 - 2^{12}}{1 - 2} = 2^{12} - 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Pour déterminer la relation explicite de $u$, comme on sait qu'elle est arithmétique, il faut d'abord déterminer sa raison $r$ et son premier terme $u_0$. Pour cela nous avons deux valeurs $u_{10} = 30$ et $u_{16} = 21$ ce qui donne le système suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left\{ \begin{array}{ccc}
|
||||
u_0 + 10 r &=& 30\\
|
||||
u_0 + 16 r &=& 21
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
&\equiv&
|
||||
\left\{ \begin{array}{ccc}
|
||||
u_0 &=& 30 - 10r \\
|
||||
(30 - 10r) + 16 r &=& 21
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\\
|
||||
&\equiv&
|
||||
\left\{ \begin{array}{ccc}
|
||||
u_0 &=& 30 - 10r \\
|
||||
6 r &=& -9
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\\
|
||||
&\equiv&
|
||||
\left\{ \begin{array}{ccc}
|
||||
u_0 &=& 30 - 10r \\
|
||||
r &=& \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\\
|
||||
&\equiv&
|
||||
\left\{ \begin{array}{ccc}
|
||||
u_0 &=& 30 - 10\frac{-3}{2} = 30 + 5\times3 = 45 \\
|
||||
r &=& \frac{-3}{2}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc la raison est $r = \frac{-3}{2}$ et le premier terme $u_0 = 45$. On en déduit l'expression explicite
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = 45 - \frac{3}{2}n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On cherche $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ on ait
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n \leq -1000 &\equiv& 45 - \frac{3}{2}n \leq -1000 \\
|
||||
&\equiv& \frac{-3}{2} n \leq -1045 \\
|
||||
&\equiv& n \geq \frac{2}{3} 1045 \approx 696.6 \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On choisit donc $n_0 = 697$ on a ainsi pour tout $n \geq 697$, $u_n \leq -1000$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
On définit la suite $u$ par $u_0 = 1$ et pour tout $n$, $u_{n+1} = 2u_n + n + 1$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calcul des premiers termes
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 1 \\
|
||||
u_1 &=& 2u_0 + 0 + 1 = 2 + 1 = 3 \\
|
||||
u_2 &=& 2u_1 + 1 + 1 = 8 \\
|
||||
u_3 &=& 2u_2 + 2 + 1 = 19
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
$u$ n'est pas arithmétique car dans la relation de récurrence on multiplie $u_n$ par 2. Elle n'est pas non plus géométrique car on ajoute $n+1$ dans la relation de récurrence.
|
||||
\item Calcul des premiers termes de $v$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
v_0 &=& u_0 + 0 + 2 = 3 \\
|
||||
v_1 &=& u_1 + 1 + 2 = 3 + 1 + 2 = 6 \\
|
||||
v_2 &=& u_2 + 2 + 2 = 12 \\
|
||||
v_3 &=& u_3 + 3 + 2 = 24
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Démontrons que $v_{n+1} = 2v_n$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
v_{n+1} &=& u_{n+1} + (n+1) + 2 \\
|
||||
&=& 2u_n + n + 1 + n + 1 + 2 \\
|
||||
&=& 2u_n + 2n + 2\times 2 \\
|
||||
&=& 2 (u_n + n + 2) \\
|
||||
&=& 2v_n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item D'après les questions précédentes, on en déduit que $v$ est géométrique de raison 2 et de premier terme $v_0 = 3$. On en déduit l'expression explicite
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
v_n = 3\times 2^n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On sait que $u_n = v_n - n -2$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = 3\times 2^n - n -2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Sens de variation de $u$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{n+1} - u_n &=& 3\times2^{n+1} - (n+1) -2 - 3\times 2^n + n + 2 \\
|
||||
&=& 3\times 2^n \left( 2 - 1 \right) -1 \\
|
||||
&=& 3\times 2^n - 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Or comme $n$ est un entier naturel (donc positif), $3\times 2^n \geq 3 \geq 1$ donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$ donc $u$ est une suite croissante.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remarque que l'évolution de l'année suivant augmente en proportion par rapport au loyer de l'année précédente. Autrement dit on a la relation de récurrence suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{n+1} = u_n + \frac{4}{100} u_n = 1.04 \times u_n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La suite $u$ est donc géométrique de raison 1.04 et de premier terme $u_0 = 4000$. Ce n'était pas demandé mais on peut en déduire l'expression explicite de $u$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = 4000 \times 1.04^n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Loyer au bout de 5 ans
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_4 = 4000 \times 1.04^4 = 4679.43
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Au bout de 5 ans, le loyer sera de 4679.43\euro{}.
|
||||
\item Dépense totale au bout de 5 ans
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = u_0 \frac{1 - q^5}{1-q} = 4000 \frac{1-1.04^5}{-0.04} = 21 665
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Dépense totale au bout de 10ans
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 + u_1 + \cdots + u_10 = u_0 \frac{1 - q^{11}}{1-q} = 4000 \frac{1-1.04^{11}}{-0.04} = 53 945
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item D'après la définition de $T$, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
T_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = 4000 \frac{1 - 1.04^{n+1}}{1 - 1.04}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On cherche au bout de combien de temps Bob aura payé plus que le prix de la maison:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
T( 0 ) &=& 4000.0 \\
|
||||
T( 1 ) &=& 8160.0 \\
|
||||
T( 2 ) &=& 12486.4 \\
|
||||
T( 3 ) &=& 16985.86 \\
|
||||
T( 4 ) &=& 21665.29 \\
|
||||
T( 5 ) &=& 26531.9 \\
|
||||
T( 6 ) &=& 31593.18 \\
|
||||
T( 7 ) &=& 36856.91 \\
|
||||
T( 8 ) &=& 42331.18 \\
|
||||
T( 9 ) &=& 48024.43 \\
|
||||
T( 10 ) &=& 53945.41 \\
|
||||
T( 11 ) &=& 60103.22 \\
|
||||
T( 12 ) &=& 66507.35 \\
|
||||
T( 13 ) &=& 73167.64 \\
|
||||
T( 14 ) &=& 80094.35 \\
|
||||
T( 15 ) &=& 87298.12 \\
|
||||
T( 16 ) &=& 94790.05 \\
|
||||
T( 17 ) &=& 102581.65 \\
|
||||
T( 18 ) &=& 110684.92 \\
|
||||
T( 19 ) &=& 119112.31 \\
|
||||
T( 20 ) &=& 127876.81 \\
|
||||
T( 21 ) &=& 136991.88 \\
|
||||
T( 22 ) &=& 146471.55 \\
|
||||
T( 23 ) &=& 156330.42 \geq 150 000\\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc au bout de la 24-ième année, il aura dépensé plus que le prix de la maison.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
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|
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19
1S/DS/DS_130605/index.rst
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19
1S/DS/DS_130605/index.rst
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||||
Notes sur DS 130605
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###################
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||||
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||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Suites
|
||||
:category: 1S
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers DS.tex <DS.tex>`_
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`Lien vers DS_corr.tex <DS_corr.tex>`_
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`Lien vers DS.pdf <DS.pdf>`_
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`Lien vers DS_corr.pdf <DS_corr.pdf>`_
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1S/Geometrie/Produit_scalaire/Conn/Conn_PS.pdf
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1S/Geometrie/Produit_scalaire/Conn/Conn_PS.pdf
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1S/Geometrie/Produit_scalaire/Conn/Conn_PS.tex
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1S/Geometrie/Produit_scalaire/Conn/Conn_PS.tex
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@@ -0,0 +1,76 @@
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||||
\documentclass{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classConn}
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||||
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% Title Page
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||||
\title{}
|
||||
\author{}
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||||
\date{}
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||||
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\begin{multicols}{2}
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||||
|
||||
Nom - Prénom:
|
||||
\section{Connaissance}
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||||
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition du produit scalaire.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{1cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Completer les formules suivantes
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w} = $
|
||||
\vspace{0.5cm}
|
||||
\item $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = $
|
||||
\vspace{0.5cm}
|
||||
\item $\vec{u}.\vec{v} = $
|
||||
\vspace{0.5cm}
|
||||
\item Démontrer que $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2$ (dire à chaque étape quelle formule on utilise).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{3cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
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||||
Donner la définition du projeté orthogonal.
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||||
\end{Exo}
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\columnbreak
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Nom - Prénom
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\section{Connaissance}
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\begin{Exo}
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||||
Donner la formule du produit scalaire utilisant les coordonnées des vecteurs.
|
||||
\end{Exo}
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||||
\vspace{1cm}
|
||||
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||||
\begin{Exo}
|
||||
Completer les formules suivantes
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w} = $
|
||||
\vspace{0.5cm}
|
||||
\item $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = $
|
||||
\vspace{0.5cm}
|
||||
\item $\vec{u}.\vec{v} = $
|
||||
\vspace{0.5cm}
|
||||
\item Démontrer que $(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2$ (dire à chaque étape on utilise).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
\vspace{3cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition du projeté orthogonal.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\end{multicols}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/Geometrie/angles/Exo/162p186.pdf
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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||||
\title{Correction du 162p186}
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\author{}
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\date{}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
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||||
\begin{enumerate}[A.]
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item Comme $A$ et $M$ sont sur le cercle $\Gamma$ de centre $O$, $AO = OM$ donc le triangle $AOM$ est isocèle en $O$. De même $MOB$ est isocèle en O. On en déduit que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
(\vec{MO},\vec{MA}) = (\vec{AM},\vec{AO})\\
|
||||
(\vec{MO},\vec{MB}) = (\vec{BM},\vec{BO})
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}[a.]
|
||||
\item Comme la somme des angles d'un triangle vaut $\pi$. Dans le triangle $AOM$, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
(\vec{MO},\vec{MA}) + (\vec{OA},\vec{OM}) + (\vec{AM},\vec{AO}) &=& \pi + k\times 2\pi\\
|
||||
(\vec{MO},\vec{MA}) + (\vec{OA},\vec{OM}) + (\vec{MO},\vec{MA}) &=& \pi + k\times 2\pi\\
|
||||
2(\vec{MO},\vec{MA}) + (\vec{OA},\vec{OM})&=& \pi + k\times 2\pi\\
|
||||
2(\vec{MA},\vec{MO}) + (\vec{OM},\vec{OA})&=& \pi + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item De même dans le triangle $MOB$ on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2(\vec{MO},\vec{MB}) + (\vec{OB},\vec{OM})&=& \pi + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Utilisons la relation de Chasles avec les angles pour démontrer l'égalité.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
(\vec{OA},\vec{OB}) &=& (\vec{OA},\vec{OM}) + (\vec{OM},\vec{OB})\\
|
||||
&&\mbox{On remplace en utilisant les égalités d'avant}\\
|
||||
&=& -2(\vec{MO},\vec{MA}) + \pi + k_1\times 2\pi + 2(\vec{MO},\vec{MB}) - \pi +k_2\times 2\pi\\
|
||||
&=& 2\left( (\vec{MA},\vec{MO}) + (\vec{MO},\vec{MB} \right) + (k_1+k_2) \times 2\pi\\
|
||||
\mbox{Par la relation de Chasles}&=& 2(\vec{MA},\vec{MB}) + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
(\vec{OA}, \vec{OB}) = 2(\vec{MA},\vec{MB}) + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Soit $N$ un autre point du cercle $\Gamma$ distinct de $A$ et $B$. Par les questions précédentes on a aussi
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
(\vec{OA}, \vec{OB}) = 2(\vec{NA},\vec{NB}) + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc on en déduit que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2(\vec{MA}, \vec{MB}) = 2(\vec{NA},\vec{NB}) + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item Montrons que $C$, $Q$, $R$ et $M$ sont cocycliques c'est à dire qu'ils sont sur un même cercle.\\
|
||||
|
||||
Comme $Q$ est le projeté de $M$ sur $(AC)$, le triangle $MQC$ est rectangle en $Q$ donc $Q$ est sur le cercle de diamètre $[CM]$. De même, $R$ est le projeté de $M$ sur $(CB)$ donc $R$ est sur le cercle de diamètre $[CM]$. Or il n'y a qu'un seul cercle de diamètre $[CM]$, donc $C$, $Q$, $R$ et $M$ sont sur un même cercle.\\
|
||||
|
||||
On se retrouve dans la configuration de la partie $A.$ avec $\Gamma$ le cercle de de diamètre $[CM]$ et $C$, $Q$, $R$ et $M$ 4 points de ce cercle. On en déduit donc que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2(\vec{RM}, \vec{RQ}) = 2(\vec{CM},\vec{CQ}) + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item De la même façon que dans la question précédente, on a que les 4 points sont cocycliques et donc on a la relation suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2(\vec{RM}, \vec{RP}) = 2(\vec{AM},\vec{AP}) + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Par construction, $A$, $B$, $C$ et $M$ sont sur le cercle $\mathcal{C}$ donc on en déduit par $A.$ la relation suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2(\vec{AB}, \vec{AM}) = 2(\vec{CB},\vec{CM}) + k\times 2\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Calculons $(\vec{RP}, \vec{RQ})$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
(\vec{RP}, \vec{RQ}) &=& (\vec{RP}, \vec{RM}) + (\vec{RM},\vec{RQ}) \\
|
||||
\mbox{Par les questions précedentes} &=& -(\vec{AM}, \vec{AP})+(\vec{CM}, \vec{CQ}) + k\pi\\
|
||||
\mbox{Par la relation de Chasles} &=& -(\vec{AM}, \vec{AB}) - (\vec{AB}, \vec{AP}) \\
|
||||
&& (\vec{CM},\vec{CB}) + (\vec{CB}, \vec{CQ}) + k\pi \\
|
||||
\mbox{Or $A$, $P$ et $B$ sont alignés} && \mbox{De même pour $B$, $C$ et $Q$}\\
|
||||
&=& -(\vec{CM}, \vec{CB}) + (\vec{AM}, \vec{AB}) + k\pi\\
|
||||
\mbox{Par la question 3.}&=& k'\pi
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.
|
||||
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{document}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@@ -0,0 +1,92 @@
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||||
\documentclass{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classConn}
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% Title Page
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\title{}
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\author{}
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\date{}
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||||
\begin{document}
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||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
Nom - Prénom:
|
||||
\section{Connaissance}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition d'un variable aléatoire (vous pouvez faire une dessin)
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{3cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Que signifie $\left\{ X = 4 \right\}$?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Que signifie $P(X > 9)$.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition de l'espérance mathématique
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Soit $X$ un variable aléatoire et $a$ un nombre réél. Completer la propriété suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V(aX) =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\columnbreak
|
||||
|
||||
Nom - Prénom
|
||||
\section{Connaissance}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition d'un variable aléatoire (vous pouvez faire une dessin)
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{3cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Que signifie $\left\{ X \leq 2 \right\}$?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Que signifie $P(X = 1)$.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition de la variance mathématique
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Soit $X$ un variable aléatoire et $a$ et $b$ deux nombres rééls. Completer la propriété suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[aX+b] =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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@@ -0,0 +1,105 @@
|
||||
\documentclass{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classConn}
|
||||
|
||||
|
||||
% Title Page
|
||||
\title{}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
Nom - Prénom:
|
||||
\section{Connaissance}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Qu'est ce que deux expériences aléatoires indépendantes?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition de l'espérance mathématique.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Qu'est que la loi de probabilité d'une variable aléatoire?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{3cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Compléter la propriété suivante:
|
||||
|
||||
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'une feuille est égale \makebox[10cm]{\dotfill} des branches menant à la cette feuille.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Soit $X$ un variable aléatoire et $a$ un nombre réel. Compléter la propriété suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V(aX) =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\columnbreak
|
||||
|
||||
Nom - Prénom
|
||||
\section{Connaissance}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Qu'est ce qu'un jeu équitable d'un point de vu mathématique?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Donner la définition de la variance.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{2cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Soit $X$ un variable aléatoire et $a$ et $b$ deux nombres réels. Compléter la propriété suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[aX+b] =
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{1cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Compléter la propriété suivante:
|
||||
|
||||
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'une feuille est égale \makebox[10cm]{\dotfill} des branches menant à la cette feuille.
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\vspace{1cm}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
Soit $X$ une variable de Bernoulli de paramètre $p$. Compléter la loi de probabilité de $X$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|l|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & \hspace{2cm} & \hspace{2cm} \\
|
||||
\hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & \hspace{2cm} & \hspace{2cm} \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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