\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
\[
f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
\[
f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
\]
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
\[
f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
\[
f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
\]
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Recherche par dichotomie}, step={2}, topics={Logarithme}]
On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{5}$ par
\[
f(x) = 3x -10 + 4\ln(x)
\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
\[
f'(x) = \frac{3x + 4}{x}
\]
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{5}$.
\end{enumerate}
\item On souhaite trouver un encadrement de $\alpha$ par la méthode de dichotomie.
Pour cela, on propose l'algorithme suivant:
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
$a \leftarrow1$\;
$b \leftarrow5$\;
\Tq{$b-a \leq0.01$}{
$m \leftarrow\dfrac{b+a}{2}$\;
\eSi{f(m) > 0}{
$a \leftarrow m$\;
}{
$b \leftarrow m$\;
}
}
\Retour{$a, b$}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item En vous aidant du tableau ci-dessous (vous pouvez ajouter des lignes si nécessaire) exécuter l'algorithme pour trouver un encadrement d'amplitude 0.01 de $\alpha$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{p{2cm}|}}
\hline
$a$&$b$&$(b-a)\leq0.01$&$m$&$f(m) > 0$\\
\hline
&&&&\\
\hline
&&&&\\
\hline
&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Expliquer le fonctionnement de cet algorithme en quelques phrases.
\begin{exercise}[subtitle={Coût de fabrication}, step={4}, topics={Logarithme}]
% Polynésie Juin 2019 Ex 4
\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}
\textbf{Partie A}
\medskip
Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par
\[f(x )=0,5 x^2-7x +14+6\ln(x).\]
On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.
\medskip
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~9] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~9] on a : $f'(x)=\dfrac{x^2-7 x +6}{x}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :
\item Justifier que, sur l'intervalle [1~;~9], l'équation $f(x)=5$ admet une unique solution $\alpha$.
\item Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
\item On considère l'algorithme ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$X \gets1$\\
$Y \gets7,5$\\
Tant que $Y > 5$\\
\hspace{12mm}$X \gets X +0,01$\\
\hspace{12mm}$Y \gets0,5X^2-7X +14+6*\ln(X)$\\
Fin Tantque\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
À la fin de l'exécution de l'algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$?
\end{enumerate}
\item Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est-il minimal ?
À combien s'élève-t-il ?
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par
\[g (x)=2x -1+\text{e}^{0,05x}\]
modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\textbf{Partie A}
\medskip
Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[1~;~9\strut\right]$ par
$f(x )=0,5 x^2-7x +14+6\ln(x)$.
On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.
\medskip
\begin{enumerate}
\item% La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[1~;~9\strut\right]$ on a
$f(x )=0,5 x^2-7x +14+6\ln(x)$ donc\\
$f'(x)=0,5\times2x -7+6\times\dfrac{1}{x}
= x-7-\dfrac{6}{x}
= \dfrac{x^2-7x+6}{x}$.
%Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
\item
\begin{enumerate}
\item On va justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
On en déduit que sur $\left[1~;~9\strut\right]$, l'équation $f(x)=5$ admet une solution unique $\alpha$.
\item%Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
$\left.
\begin{array}{l}
f(2)\approx 6,2 > 5\\
f(3)\approx 4,1 < 5
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha\in\left [ 2~;\,3\strut\right ]$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(2,5)\approx 5,1 > 5\\
f(2,6)\approx 4,9 < 5
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha\in\left [ 2,5~;\, 2,6 \strut\right ]$
$\left.
\begin{array}{l}
f(2,55)\approx 5,018 > 5\\
f(2,56)\approx 4,997 < 5
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow
\alpha\in\left [ 2,55~;\, 2,56 \strut\right ]$
\item On considère l'algorithme ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$X \gets1$\\
$Y \gets7,5$\\
Tant que $Y > 5$\\
\hspace{12mm}$X \gets X +0,01$\\
\hspace{12mm}$Y \gets0,5X^2-7X +14+6*\ln(X)$\\
Fin Tantque\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
À la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable $X$ contient la valeur $2,56$, première valeur au centième pour laquelle $Y>5$.
\end{enumerate}
\item Le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal quand la fonction $f$ atteint son minimum c'est-à-dire pour $x=6$; c'est donc pour la fabrication de 600 pneus que le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal. Ce coût est, en euro, de $f(6)\times100\approx75$.
%À combien s'élève-t-il ?
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~100\strut\right]$ par
$g (x)=2x -1+\e^{0,05x}$
modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.
\medskip
\begin{enumerate}
\item%Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$.
Sur l'intervalle $\left[0~;~100\strut\right]$, la fonction $g$ a pour primitive la fonction $G$ définie par\\
$G(x)=x^2- x +\dfrac{\e^{0,05x}}{0,05}= x^2-x +20\e^{0,05x}$.
\item La valeur moyenne $m$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[0~;~100\strut\right]$ est:
$m=\dfrac{1}{100-0}\ds\int_{0}^{100} g(x)\d x =\dfrac{1}{100}\left[G(100)- G(0)\strut\right]
\item Soit $h$ la fonction définie sur [1,1~;~8] par : $h(x)=2\ln(x)-2+\frac{1}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle [1,1; 8].
Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8],
\[h'(x)=\dfrac{2x -1}{x^2}.\]
\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [1,1~;~8].
\item Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur
l'intervalle [1,1~;~8]. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers
consécutifs.
\end{enumerate}
\item Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l'intervalle [1,1~;~8].
\item À l'aide des questions précédentes, donner les variations de [ sur [1,1~;~8].
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Loi de Benfort}, step={4}, topics={Logarithme}]
% Métropole Juin 2017 Ex 4
Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de \np{2017} est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.
Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que pour tout entier $c$ compris entre 1 et 9,
\[P(X = c)=\dfrac{\ln(c +1)-\ln(c)}{\ln(10)}.\]
Cette loi est appelée loi de Benford.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Que vaut $P(X =1)$ ?
\item On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
\begin{enumerate}
\item\textbf{Premier cas}
Un fichier statistique de l'INSEE indique la population des communes en France au 1\ier{} janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d'outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
À partir de ce fichier, on constate qu'il y a \np{36677} communes habitées. Parmi elles, il y a \np{11094} communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.
Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l'affirmation : \og{}le premier chiffre de la population des communes en France au 1 er janvier 2016 suit la loi de Benford \fg{} ?
\item\textbf{Deuxième cas}
Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d'un candidat pris au hasard.
La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour $X$ ?
