2020-2021/TST/07_Logarithme_et_equation_puissance/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Étude graphique}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    \noindent
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \begin{enumerate}
            \item On note $f(x) = 10^x$. Laquelle des fonctions tracées sur le graphique à droite correspond à la représentation graphique de $f(x)$.
            \item Reconnaître les formules des autres fonctions puissances représentée sur le graphique.
            \item Résoudre graphiquement les équations suivantes
                \[
                    f(x) = 20 \qquad \qquad 10^x = 100 \qquad \qquad 10^x = 80
                \]
            \item Résoudre graphiquement $f(x) \geq 50$.
           \end{enumerate}   
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1.5]
            \tkzInit[xmin=-2,xmax=2,xstep=1,
            ymin=0,ymax=100,ystep=10]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY
            \tkzFct[domain = -3:2, line width=1pt]{10**x}
            \tkzFct[domain = -3:2,color=blue,very thick]{15**x}
            \tkzFct[domain = -3:2,color=red,very thick]{0.1**x}
            \tkzFct[domain = -3:2,color=green,very thick]{40**x}
            \tkzFct[domain = -3:2,color=gray,very thick]{0.2**x}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Économie d'échelle}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    Une usine produit des pièces pour les voitures. Produire en grande quantité permet de réduire les coûts de production, c'est \textbf{une économie d'échelle}. On modélise le prix unitaire (pour produire une pièce) par la fonction $f(x) = 200\times 10^{-0.01x}$ où $x$ représente la quantité produite  par l'usine en une journée. Cette fonction est représenter ci-dessous.

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.4, xscale=0.8]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=200,xstep=10,
            ymin=0,ymax=200,ystep=20]
            \tkzGrid
            \tkzDrawX[label={\textit{Quantité produite}},above=10pt]
            \tkzLabelX
            \tkzDrawY[label={\textit{Prix unitaire (en \euro)}}, right=10pt]
            \tkzLabelY
            \tkzFct[domain = 0:200, line width=1pt]{200*10**(-0.01*\x)}
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item Vous utiliserez le graphique pour répondre aux questions suivantes
            \begin{enumerate}
                \item Quel est le coût unitaire pour une production de 10 pièces? Combien cela va-t-il coûter au total?
                \item Combien de pièces doit-on produire pour que le coût unitaire soit environ égal à 100\euro?
                \item Combien de pièces doit-on produire pour que le coût unitaire soit inférieur à 40\euro?
                \item Résoudre l'inéquation $f(x) \geq  80$.
                \item (sti2d) Si l'on produit une infinité de prièce. Quel va être le prix unitaire de celles-ci?
            \end{enumerate}
        \item Vous justifierez vos réponses aux questions suivantes avec un calcul
            \begin{enumerate}
                \item Quel est le coût unitaire pour une production de 20 pièces? Combien cela va-t-il coûter au total?
                \item Quel est le coût unitaire pour une production de 170 pièces? Combien cela va-t-il coûter au total?
                \item (*) Combien de pièces doit-on produire pour que le coût unitaire soit inférieur à 10\euro?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Stockage de données}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    En informatique, un \textbf{bit} est représenté par un 1 ou un 0. C'est l'unité de base mesurer le poids d'une information numérique: 1bit peut décrire 2 choses, 2bits peut décrire 4 choses, 3bits 8 ... Si on note $x$ le nombre de bits, alors le nombre d'information différentes qu'il est possible de décrire est donné par la fonction $f(x) = 2^x$.
    \begin{enumerate}
        \item Décrire la fonction $f(x)$. Quel type de fonction reconnaît-on?
        \item Combien de d'informations peut-on décrire avec 8bits (c'est un octet)?
        \item Combien de d'informations peut-on décrire avec 128bits?
        \item Combien de bit doit-on utiliser pour décrire \np{1000000} information différentes?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    Résoudre les équations suivantes
    \begin{multicols}{4}
       \begin{enumerate}
           \item $10^{x} = 200$
           \item $10^{x} = 2$

           \item $10^{x} = -10$
           \item $10^{2x} = 3$

           \item $10^{-3x} = 10$
           \item $10^{5x+1} = 10$

           \item $2\times10^{x} = 6$
           \item $-3\times10^{x} = -9$
       \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'inéquations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    Résoudre les inéquations suivantes
    \begin{multicols}{4}
       \begin{enumerate}
           \item $10^{x} \leq 300$
           \item $10^{x} > 45$

           \item $10^{x} < 100$
           \item $10^{3x} \geq 3$

           \item $10^{-0.1x} \leq 10$
           \item $10^{2x+1} \geq 5$

           \item $3\times10^{x} > 6$
           \item $-2\times10^{x} < -8$
       \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Relation fonctionnelle}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les quantités suivantes arrondis au millième.
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $A = \log(6)$
                    \item $B = \log(32)$
                    \item $C = \log(21)$
                    \item $D = \log(27)$

                    \item $E = \log(2) + \log(3)$
                    \item $F = \log(3) + \log(7)$
                    \item $G = \log(2) + \log(16)$
                    \item $H = \log(63) - \log(3)$

                    \item $I = \log(108) - \log(4)$
                    \item $J = 5\log(2)$
                    \item $K = 3\log(3)$
                    \item $L = - \log(\frac{1}{6})$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Conjecture des formules ci-dessous
            \[
                \log(a) + \log(b) = \log(...) \qquad \qquad 
                \log(a) - \log(b) = \log(...) \qquad \qquad 
                n\log(a) = \log(...)
            \]

            \begin{multicols}{2}
            \item (*) Soient $x$ et $y$ strictement positif. Après avoir calculer séparément  $e^{\log(x) + \log(y)}$ et $e^{\log(x\times y)}$, démontrer que $\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$.
            \item (*) Démontrer que pour tout $n \in \N$, $\log(a^n) = n \log(a)$.
            \item (*) Démontrer que $\log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)$.
            \item (*) En déduire une formule pour $\log(\frac{1}{a})$

            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Manipulation d'expressions}, step={3}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    Simplifier les calculs suivants pour ne garder qu'un seul logarithme.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \log(2) + \log(3)$
            \item $B = \log(9) - \log(3)$

            \item $C  = \log(2) + \log(0.5)$
            \item $D = \log(2^3) + \log(2^4)$

            \item $E  = \log(4) + 3\log(2)$
            \item $F = 5\log(2) - \log(16)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Simplification}, step={3}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    Simplifier les expressions suivantes en faisant sortir le $x$ du logarithme.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \log(5^{x})$
            \item $B = \log(0.5^{x})$

            \item $C = 2\log(3^{2x})$
            \item $D = \log(0.81^{-x+1})$

            \item $E = 6\log(2^{x^2})$
            \item $F = \log(0.5^{-4x+2})$

        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Population de renards}, step={3}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    \noindent
    Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016. Les études ont montré que cette population diminue de 15\% par an. Pour compenser cette diminution, le parc décide d'introduire chaque année 30 renards.

    \noindent
    On modélise alors la population de renard par la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence suivante $u_{n+1} = 0.85u_n +30$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $u_1$ et $u_2$
        \item Est-ce que la suite  $(u_n)$ est géométrique?
    \end{enumerate}
    On suppose pour la suite que $u_n = 1040\times 0.85^n + 200$
    \begin{enumerate}
        \item En tâtonnant, estimer la valeur de $n$ pour que $u_n$ passe en dessous de 1000.
        \item En résolvant une inéquation, déterminer quand la population va atteindre 500 individus.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équations et inéquations avec des puissances}, step={3}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
    Résoudre les équations et inéquations suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $2^x = 10$

            \item $0.5^x = 12$

            \item $2\times 0.6^x = 0.5$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

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