Une usine produit des pièces pour les voitures. Produire en grande quantité permet de réduire les coûts de production, c'est \textbf{une économie d'échelle}. On modélise le prix unitaire (pour produire une pièce) par la fonction $f(x)=200\times10^{-0.01x}$ où $x$ représente la quantité produite par l'usine en une journée. Cette fonction est représenter ci-dessous.
En informatique, un \textbf{bit} est représenté par un 1 ou un 0. C'est l'unité de base mesurer le poids d'une information numérique: 1bit peut décrire 2 choses, 2bits peut décrire 4 choses, 3bits 8 ... Si on note $x$ le nombre de bits, alors le nombre d'information différentes qu'il est possible de décrire est donné par la fonction $f(x)=2^x$.
\begin{enumerate}
\item Décrire la fonction $f(x)$. Quel type de fonction reconnaît-on?
\item Combien de d'informations peut-on décrire avec 8bits (c'est un octet)?
\item Combien de d'informations peut-on décrire avec 128bits?
\item Combien de bit doit-on utiliser pour décrire \np{1000000} information différentes?
\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
Résoudre les équations suivantes
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item$10^{x}=200$
\item$10^{x}=2$
\item$10^{x}=-10$
\item$10^{2x}=3$
\item$10^{-3x}=10$
\item$10^{5x+1}=10$
\item$2\times10^{x}=6$
\item$-3\times10^{x}=-9$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'inéquations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
Résoudre les inéquations suivantes
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item$10^{x}\leq300$
\item$10^{x} > 45$
\item$10^{x} < 100$
\item$10^{3x}\geq3$
\item$10^{-0.1x}\leq10$
\item$10^{2x+1}\geq5$
\item$3\times10^{x} > 6$
\item$-2\times10^{x} < -8$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Relation fonctionnelle}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
\begin{enumerate}
\item Calculer les quantités suivantes arrondis au millième.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item$A =\ln(6)$
\item$B =\ln(32)$
\item$C =\ln(21)$
\item$D =\ln(27)$
\item$E =\ln(2)+\ln(3)$
\item$F =\ln(3)+\ln(7)$
\item$G =\ln(2)+\ln(16)$
\item$H =\ln(63)-\ln(3)$
\item$I =\ln(108)-\ln(4)$
\item$J =5\ln(2)$
\item$K =3\ln(3)$
\item$L =-\ln(\frac{1}{6})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Conjecture des formules ci-dessous
\[
\log(a) + \log(b) = \log(...) \qquad\qquad
\log(a) - \log(b) = \log(...) \qquad\qquad
n\log(a) = \log(...)
\]
\begin{multicols}{2}
\item (*) Soient $x$ et $y$ strictement positif. Après avoir calculer séparément $e^{\ln(x)+\ln(y)}$ et $e^{\ln(x\times y)}$, démontrer que $\ln(x \times y)=\ln(x)+\ln(y)$.
\item (*) Démontrer que pour tout $n \in\N$, $\ln(a^n)= n \ln(a)$.
\item (*) Démontrer que $\ln(\frac{a}{b})=\ln(a)-\ln(b)$.
\item (*) En déduire une formule pour $\ln(\frac{1}{a})$
Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016. Les études ont montré que cette population diminue de 15\% par an. Pour compenser cette diminution, le parc décide d'introduire chaque année 30 renards.
\begin{exercise}[subtitle={Équations et inéquations avec des puissances}, step={3}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
