Feat: exercices types pour les sti2d
continuous-integration/drone/push Build is passing
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@ -0,0 +1,20 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Limites de fonctions - Exercices}
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\date{Mai 2021}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=5,
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -285,4 +285,103 @@
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
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Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
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La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
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\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
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À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
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\item Donner $f(0)$.
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\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
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\end{enumerate}
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\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
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Interpréter le résultat dans le contexte.
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\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
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\[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\]
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On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $w(0)$.
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\item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
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\end{enumerate}
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\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle
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$[0~;~+ \infty[$.
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\begin{enumerate}
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\item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
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\item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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\item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
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$150$~rad.s$^{-1}$.
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On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
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Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
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\[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
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où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre cette équation différentielle.
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\item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
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\end{enumerate}
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\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
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\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
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lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
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Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
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exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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Reference in New Issue