Feat: exercices types pour les sti2d

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Limites de fonctions - Exercices}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex

@@ -285,4 +285,103 @@
             \end{enumerate}
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
+
+    Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 
+
+    La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
+    \[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
+    À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
+                \item Donner $f(0)$.
+                \item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
+            \end{enumerate}
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
+            \end{enumerate}
+        \item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
+                    
+                    Interpréter le résultat dans le contexte.
+                    
+                \item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    \textbf{Partie A}
+    
+    \medskip
+    
+    On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
+    
+    \[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\]
+    
+    On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
+    
+    \medskip
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $w(0)$.
+                \item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
+            \end{enumerate}
+        \item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle 
+            $[0~;~+ \infty[$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
+                \item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+                \item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+                \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+    
+    \bigskip
+    
+    \textbf{Partie B}
+    
+    \medskip
+    
+    On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
+    $150$~rad.s$^{-1}$.
+    
+    On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
+    
+    Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
+    
+    \[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
+    
+    où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
+    
+    \medskip
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Résoudre cette équation différentielle.
+                \item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
+            \end{enumerate}
+        \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
+        \item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
+            
+            lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
+            
+            Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
+            exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}