Feat: correction merci Camille!

Complementaire/04_eq_diff/2E_eq_diff_lineaire.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation différentielle - Exercices}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/04_eq_diff/2P_hint.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
+
+\setlength\columnsep{0pt}
+
+\title{Ordre de grandeurs}
+\date{Avril 2021}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Modélisation avec équation différentielle}
+Les problèmes qui suivent cherchent à modéliser une situation proche d'une de vos spécialités en utilisant les équations différentielles. Pour les résoudre, vous pouvez suivre le trame suivante:
+\begin{itemize}
+    \item Définir la fonction qui va modéliser la grandeur étudiée (sans connaître sa formule pour le moment) et traduire en language mathématique les contraintes de l'énoncé.
+    \item En respectant l'hypothèse, poser l'équation différentielle qui contraint cette fonction.
+    \item Proposer une solution de cette équation différentielle.
+    \item Utiliser les conditions pour déterminer les constantes introduites aux questions précédentes.
+    \item En déduire la formule de la fonction qui modélise la grandeur étudiée.
+    \item Répondre à la question.
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Complementaire/04_eq_diff/exercises.tex

@@ -1,29 +1,60 @@
 \collectexercises{banque}
-\begin{exercise}[subtitle={Position - vitesse - accélération}, step={1}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+%\begin{exercise}[subtitle={Position - vitesse - accélération}, step={1}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
-    \begin{enumerate}
+%    \begin{enumerate}
-        \item On observe un mobile en mouvement et on décrit sa position verticale en fonction du temps $t$ en secondes par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
+%        \item On observe un mobile en mouvement et on décrit sa position verticale en fonction du temps $t$ en secondes par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
-            \begin{enumerate}
+%            \begin{enumerate}
-                \item Déterminer la fonction décrivant la vitesse du module $v(t) = z'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dz}{dt}$).
+%                \item Déterminer la fonction décrivant la vitesse du module $v(t) = z'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dz}{dt}$).
-                \item Déterminer la fonction décrivant l'accélération du module $a(t) = v'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dv}{dt}$).
+%                \item Déterminer la fonction décrivant l'accélération du module $a(t) = v'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dv}{dt}$).
-                \item À quelle hauteur le mobile a été lâché? Quel était alors sa vitesse? Son accélération?
+%                \item À quelle hauteur le mobile a été lâché? Quel était alors sa vitesse? Son accélération?
-            \end{enumerate}
+%            \end{enumerate}
-        \item On étudie un mobile en chute libre. On le lance à une hauteur de 10m au dessus du sol avec une vitesse de 1m/s. Un bilan des forces permet de connaître son accélération au cours du mouvement: $a(t) = -10$.
+%        \item On étudie un mobile en chute libre. On le lance à une hauteur de 10m au dessus du sol avec une vitesse de 1m/s. Un bilan des forces permet de connaître son accélération au cours du mouvement: $a(t) = -10$.
-            \begin{enumerate}
+%            \begin{enumerate}
-                \item On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($a(t) = v'(t)$). Déterminer la fonction vitesse du mobile.
+%                \item On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($a(t) = v'(t)$). Déterminer la fonction vitesse du mobile.
-                \item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
+%                \item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
-                \item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales? 
+%                \item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales? 
-            \end{enumerate}
+%            \end{enumerate}
-        \item On considère, la fonction $m(t)$ qui modélise la masse d'une réactif dans une réaction chimique. Une étude cinétique de la réaction mène déduire que l'évolution de la masse du réactif (la vitesse de la réaction) est proportionnelle à cette masse du réactif. On traduit cela par la formule $\dfrac{dm}{dt} = -k \times m(t)$. 
+%        \item On considère, la fonction $m(t)$ qui modélise la masse d'une réactif dans une réaction chimique. Une étude cinétique de la réaction mène déduire que l'évolution de la masse du réactif (la vitesse de la réaction) est proportionnelle à cette masse du réactif. On traduit cela par la formule $\dfrac{dm}{dt} = -k \times m(t)$. 
+%
+%            Pour simplifier, on estimera que $k = 1$ et que l'on a donc $\dfrac{dm}{dt} = -m(t)$
+%
+%            \begin{enumerate}
+%                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
+%                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
+%                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction exponentielle?
+%            \end{enumerate}
+%    \end{enumerate}
+%\end{exercise}
 
-            Pour simplifier, on estimera que $k = 1$ et que l'on a donc $\dfrac{dm}{dt} = -m(t)$
+\begin{exercise}[subtitle={Loi de Malthus}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    On peut estimer la population mondiale en l'an 0 à environ 200 millions d'individus et celle de l'an 2000 à 6 milliards d'individus.
 
-            \begin{enumerate}
+    La \textbf{loi de Malthus} fait entre autre l'hypothèse que la vitesse d'accroissement de la population est proportionnelle à la population.
-                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
+
-                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
+    Vous devez déterminer une fonction qui modélise la population mondiale pour ensuite donner une estimation de la population mondiale en -5000 avant JC ainsi que l'année où la population dépassera les 10 milliards.
-                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction exponentielle?
-            \end{enumerate}
-    \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Refroidissement}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    On sort un plat du four à 100°C pour le manger dehors alors qu'il fait 0°C. Après 10minutes, le plat est à 45°C.
+
+    La modélisation physique dans ces conditions considère que la vitesse de refroidissement des proportionnelle à la temperature du plat.
+    
+    Vous devez déterminer la fonction qui modéliser la temperature du plat puis ensuite estimer sa température après 5minutes et ainsi que le temps qu'il faudra attendre pour qu'il atteigne 10°C.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    Les organismes vivants contienne naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant du rayonnement cosmique. Pendant leur vie, la concentration en carbone 14 est constamment renouvelé et on peut la considéré constante égale à 15,3unités.
+
+    L'étude de la désintégration du carbon 14 a conduit à la loi suivante: la vitesse de désintégration est proportionnelle à la concentration et que le coefficient  de proportionnalité est égal à -0.124.
+
+    Vous devez déterminer la fonction qui modélise la concentration en carbone 14 d'un organisme vivant après sa mort puis vous devrez calculer l'age d'un fragment d'os qui a une concentration en carbon 14 égale à 7.24unités.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Taux d'intérêt continue}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    On place \np{10000}\euro sur un placement avec un rendement annuel de 5\%.
+
+    On souhaite retirer cet argent 2ans et demi après son ouverture. Combien va-t-on récupérer?
+
+    \textit{Pour modéliser la situation, on considèrera que la vitesse d'accroissement du placement est proportionnelle à quantité d'argent dessus}
+\end{exercise}
 
 \collectexercisesstop{banque}

Complementaire/04_eq_diff/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@
 #########################
 
 :date: 2021-05-26
-:modified: 2021-05-26
+:modified: 2021-06-02
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Exponentielle, Équations différentielles
 :category: Complementaire
@@ -25,3 +25,19 @@ Bilan: Définition d'une équation différentielle avec en particulier les diff
     :height: 200px
     :alt: Définition des éuqation différentielles
 
+
+Étape 2: Équation différentielles d'ordre 1
+===========================================
+
+Les dernières questions de l'étape 1, permettent d'introduire la notion d'équation différentielle linéaire d'ordre 1 pour modéliser des phénomènes où la vitesse est proportionnelle à la quantité.
+
+On propose alors 4 situations à étudier selon le même modèle d'étude. On regroupe les élèves en 4 groupes et ensemble, ils cherchent à construire l'équation différentielle et à la résoudre.
+
+.. image:: ./2E_eq_diff_lineaire.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Situations de modélisation avec eq diff
+
+.. image:: ./2P_hint.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Trame pour répondre aux exercices
+

TST/DS/DS_21_06_02/DS_21_06_02-1.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{moreverb}
+
+% Title Page
+\title{DS 10 \hfill Sujet 1}
+\tribe{TST}
+\date{02 juin 2021}
+\duree{1h}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    %type=Exercise,
+    tribe=1,
+}
+
+\newcommand{\reponse}[1]{%
+    \begin{bclogo}[barre=none, logo=]{Réponse}
+        \vspace{#1}
+    \end{bclogo}
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

TST/DS/DS_21_06_02/exercises.tex

@@ -0,0 +1,134 @@
+\collectexercises{banque}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Questions diverses}, points=5, tribe={1}, type={automatismes}]
+    Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.
+    \begin{enumerate}
+        \item ~
+
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+
+                Ci-dessous un tableur résumant l'évolution de l'indice et du prix de matières première. Pour l'indice, on prend l'année 2018 comme référence.
+                \vfill
+
+                \begin{center}
+                    \begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
+                        \hline
+                        Année & 2018 & 2019 & 2020 & 2017\\
+                        \hline
+                        Prix & & 188.5 & 155 & \\
+                        \hline 
+                        Indice & 100 &  & 50 & 123\\
+                        \hline
+                    \end{tabular}
+                \end{center}
+
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+            Calculer le prix de l'année de référence.
+            \reponse{2cm}
+             \end{minipage}
+
+        \item Lors des soldes, un pantalon a une réduction de 5\%, puis une deuxième réduction de 6\% et enfin une dernière réduction de 10\%. Quel est le pourcentage de remise total?
+            \reponse{2cm}
+
+
+        \item En une semaine, le nombre de vues d'une vidéo est passée de \np{1000} vues à \np{14300}. Calculer le taux d'évolution de cette progression.
+            \reponse{2cm}
+
+        \item Le polynôme $P(x) = -3x^2 + 1.5x - 0.18$ a pour racines $x=0.2$ et $x=0.3$. Proposer une forme factorisée de ce polynôme.
+            \reponse{2cm}
+             
+        \item  Tracer approximativement une courbe qui a le tableau de variation suivant en faisant apparaître les éléments remarquables.
+
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south)]
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]
+                    {$ x $/1, $ f(x) $/2}{$-\infty$, -2, 4,  $+\infty$ }
+                    \tkzTabVar{ +/, -D-/, +/2, -/}
+                \end{tikzpicture}
+
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                
+                \reponse{4cm}
+            \end{minipage}
+
+
+        \item    Tracer le tableau de signe de la fonction $f(x) = \frac{(x-4)(5x +1) }{x^2}$ (ne pas oublier la valeur interdite en $x=0$)
+            \reponse{2cm}
+            
+        \item Démontrer que la dérivée de $f(x) = 2x + 50 + \frac{50}{x}$ est égale $f'(x) =  \dfrac{2(x-5)(x+5)}{x^2}$
+            \reponse{2cm}
+            
+
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Recyclage}, points=7, tribe={1}, type={Exercise}]
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique.
+
+        Elle peut produire chaque jour entre $0$ et $10$ tonnes de plastique qu'elle revend en totalité au prix
+        unitaire de $700$~\euro{} la tonne.
+
+        On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par
+        $C_M(x) = \dfrac{C_T (x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique.
+
+        Le coût marginal, noté $C_m$, est le coût induit par la production d'une tonne de plastique supplémentaire
+        lorsqu'on a déjà produit $x$ tonnes de plastique.
+
+        \smallskip
+
+        Les parties A et B sont indépendantes.
+
+        \medskip
+
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/couts}
+    \end{minipage}
+
+    \textbf{Partie A}
+
+    \medskip
+
+    Ci-dessus, sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction
+    de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente
+    unitaire.
+
+    On admet que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le coût
+            moyen soit minimal.
+        \item  Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+
+    \medskip
+
+    On dit qu'il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.
+
+    On admet que le profit de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente
+    unitaire.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Pour quelles quantités de plastique produites, l'entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat
+            sera donné sous la forme d'un intervalle.
+        \item  Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le
+            profit soit maximal.
+        \item  Quel est le coût moyen correspondant à cette production ?
+        \item  En déduire le coût total correspondant.
+        \item  Calculer le profit total maximal.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\collectexercisesstop{banque}

TST/DS/DS_21_06_04/DS_21_06_04.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{moreverb}
+
+% Title Page
+\title{DS 10}
+\tribe{TST3}
+\date{04 juin 2021}
+\duree{1h}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    %type=Exercise,
+    tribe=1,
+}
+
+\newcommand{\reponse}[1]{%
+    \begin{bclogo}[barre=none, logo=]{Réponse}
+        \vspace{#1}
+    \end{bclogo}
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

TST/DS/DS_21_06_04/exercises.tex

@@ -0,0 +1,82 @@
+\collectexercises{banque}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Questions diverses}, points=5, tribe={1}, type={automatismes}]
+    Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.
+    \begin{enumerate}
+        \item ~
+
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+
+                Ci-dessous un tableur résumant l'évolution de l'indice et du prix de matières première. Pour l'indice, on prend l'année 2018 comme référence.
+                \vfill
+
+                \begin{center}
+                    \begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
+                        \hline
+                        Année & 2018 & 2019 & 2020 & 2017\\
+                        \hline
+                        Prix & & 188.5 & 155 & \\
+                        \hline 
+                        Indice & 100 &  & 50 & 123\\
+                        \hline
+                    \end{tabular}
+                \end{center}
+
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+            Calculer le prix de l'année de référence.
+            \reponse{2cm}
+             \end{minipage}
+
+        \item Lors des soldes, un pantalon a une réduction de 5\%, puis une deuxième réduction de 6\% et enfin une dernière réduction de 10\%. Quel est le pourcentage de remise total?
+            \reponse{2cm}
+
+
+        \item En une semaine, le nombre de vues d'une vidéo est passée de \np{1000} vues à \np{14300}. Calculer le taux d'évolution de cette progression.
+            \reponse{2cm}
+
+        \item Le polynôme $P(x) = -3x^2 + 1.5x - 0.18$ a pour racines $x=0.2$ et $x=0.3$. Proposer une forme factorisée de ce polynôme.
+            \reponse{2cm}
+             
+        \item  Tracer approximativement une courbe qui a le tableau de variation suivant en faisant apparaître les éléments remarquables.
+
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south)]
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]
+                    {$ x $/1, $ f(x) $/2}{$-\infty$, -2, 4,  $+\infty$ }
+                    \tkzTabVar{ +/, -D-/, +/2, -/}
+                \end{tikzpicture}
+
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                
+                \reponse{4cm}
+            \end{minipage}
+
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Fonction inverse}, points=5, tribe={1}, type={Exercise}]
+    Soit la fonction  définie sur  par :
+    \[
+        f(x) =  4x + \frac{1}{x}
+    \]
+
+    On admet que la fonction  est dérivable sur  $\intFF{0.1}{4}$ et on note $f'(x)$ la fonction dérivée de la fonction sur $\intFF{0.1}{4}$. 
+
+    À l’aide d’un tableur, on veut obtenir un tableau de valeurs de la fonction  $f$ pour $x$ variant de  0.1 à 4 avec un pas de 0.1 ainsi qu’une allure de la représentation graphique de la fonction $f$ sur $\intFF{0.1}{4}$. On donne ci-dessous un extrait de la feuille automatisée de calcul ainsi obtenue :
+
+    \begin{center}
+        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/graph}
+    \end{center}
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle formule, destinée à être ensuite étirée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule \texttt{B2} afin d'obtenir les valeurs de $f(x)$ pour $x$ variant de 0.1 à 4.
+        \item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
+        \item Montrer que l'on peut écrire $f'(x)$ sous la forme $\dfrac{(2x-1)(2x+1)}{x^2}$.
+        \item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
+        \item Est-il vrai que pour tout $x$ dans l'intervalle $\intFF{0.1}{4}$, $f(x)$ est toujours supérieur ou égale à 4? Justifier votre réponse.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Limites de fonctions - Exercices}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex

@@ -285,4 +285,103 @@
             \end{enumerate}
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
+
+    Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 
+
+    La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
+    \[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
+    À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
+                \item Donner $f(0)$.
+                \item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
+            \end{enumerate}
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
+            \end{enumerate}
+        \item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
+                    
+                    Interpréter le résultat dans le contexte.
+                    
+                \item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    \textbf{Partie A}
+    
+    \medskip
+    
+    On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
+    
+    \[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\]
+    
+    On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
+    
+    \medskip
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $w(0)$.
+                \item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
+            \end{enumerate}
+        \item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle 
+            $[0~;~+ \infty[$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
+                \item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+                \item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+                \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+    
+    \bigskip
+    
+    \textbf{Partie B}
+    
+    \medskip
+    
+    On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
+    $150$~rad.s$^{-1}$.
+    
+    On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
+    
+    Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
+    
+    \[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
+    
+    où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
+    
+    \medskip
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Résoudre cette équation différentielle.
+                \item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
+            \end{enumerate}
+        \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
+        \item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
+            
+            lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
+            
+            Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
+            exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}