2021-2022/2nd/Evaluations/DM_2022-04-01/tpl_DM4.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM 4 \hfill \Var{Nom}}
\tribe{2nd6}
\date{À rendre pour lundi 4 avril 2022}
\pagestyle{empty}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Information chiffrée}, points=4]
    Les questions suivantes n'ont pas de liens entre elles.
    \begin{enumerate}
        %- set evo_annuelle = random.randint(10, 60) / 10
        %- set nbr_annee = random.randint(3, 6)
        \item Dans un pays, les prix augmentent de $\Var{evo_annuelle}\%$ par an. Bob a dormi pendant \Var{nbr_annee} ans. Quel sera le taux d'évolution des prix qu'il percevra?
        %- set evo1 = random.randint(5, 20)
        %- set evo2 = random.randint(5, 20)
        %- set evo3 = random.randint(30, 50)
        \item Une quantité a augmenté de $\Var{evo1}\%$ puis augmenté de $\Var{evo2}\%$ pour enfin diminuer de $\Var{evo3}\%$. Quel est le taux d'évolution global de cette quantité?
        %- set evo_direct = random.randint(30, 70)
        \item Les résultats du bac ont diminué de \Var{evo_direct}\%. Quel doit être le taux d'évolution des résultats pour qu'ils reviennent à leur niveau initial?
        %- set vf = random.randint(150, 300)
        %- set evo2_direct = random.randint(5, 30)
        \item Après une augmentation de \Var{evo2_direct}\%, le prix d'un velo est de \Var{vf}\euro. Quel était le prix de ce vélo avant cette augmentation?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        %- set CM_global = round((1 + evo_annuelle/100)**nbr_annee, 3)
        \item Coefficient multiplicateur global: $(1 + \dfrac{\Var{evo_annuelle}}{100})^{\Var{nbr_annee}} \approx \Var{CM_global}$

        %- set tx_global = round(CM_global - 1, 4)
            Taux d'évolution sur la période: $t = CM - 1 = \Var{CM_global} - 1 = \Var{tx_global} = \Var{tx_global*100}\%$.

        %- set CM_global = round((1 + evo1/100)*(1+evo2/100)*(1 - evo3/100), 3)
        \item Coefficient multiplicateur global: $(1 + \dfrac{\Var{evo1}}{100})\times(1 + \dfrac{\Var{evo2}}{100})\times (1 - \dfrac{\Var{evo3}}{100}) \approx \Var{CM_global}$

        %- set tx_global = round(CM_global - 1, 4)
            Taux d'évolution sur la période: $t = CM - 1 = \Var{CM_global} - 1 = \Var{tx_global} = \Var{tx_global*100}\%$.
        
        %- set CM_direct = round(1 - evo_direct/100, 4)
        %- set CM_recip = round(1/CM_direct, 4)
        \item Coefficient multiplicateur $1 - \dfrac{\Var{evo_direct}}{100} = \Var{CM_direct}$

            Coefficient multiplicateur réciproque: $\dfrac{1}{CM} = \dfrac{1}{\Var{CM_direct}} \approx \Var{CM_recip}$

            %- set tx_recip = round(CM_recip - 1, 4)
            Taux d'évolution réciproque: $t = CM - 1 = \Var{CM_recip} - 1 = \Var{tx_recip} = \Var{tx_recip * 100} \%$

        %- set CM_direct = round(1 + evo2_direct/100, 4)
        %- set vi = round(vf / CM_direct, 3)
        \item Une augmentation de $\Var{evo2_direct}\%$ signifie que la quantité au été multiplié par $\Var{CM_direct}$. Donc pour retrouver le prix initial, il faut diviser le prix final par $\Var{CM_direct}$ soit $\Var{vf} \times \dfrac{1}{\Var{CM_direct}} = \Var{vi}$.
    \end{enumerate}
\end{solution}


\begin{exercise}[subtitle={Statistiques}, points=2]
    %- set center = random.randint(30, 50)
    %- set qty = random.randint(20, 40)
    %- set dataset = stat.Dataset.random(qty, rd_args=(center, 1.5), nbr_format=int)
    Ci-dessous la taille des poissons péchés lors du dernier challenge PêcheParty.
    \begin{center}
        \Var{dataset.tabular_latex(ceil(qty/15))}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la moyenne, les quartiles, l'écart interquartile et la médiane de cette série statistique.
        \item Quelle est la valeur de l'écart-type de cette série statistique?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    Dans cette correction les étapes de construction des indicateurs ne sont pas détaillés.

    Tableau des effectifs
    %- set wdataset = stat.WeightedDataset(dataset)
    \begin{center}
        \Var{wdataset.tabular_latex()}
    \end{center}
    \begin{multicols}{2}
        \begin{itemize}
            \item  Effectif total: $\Var{dataset.effectif_total()}$
            \item Premier quartile $ Q_1 = \Var{dataset.quartile(1)}$ (position $\Var{dataset.posi_quartile(1)}$)
            \item Médiane $ Me = \Var{dataset.quartile(2)}$ (position $\Var{dataset.posi_quartile(2)}$)
            \item Troisième quartile $ Q_3 = \Var{dataset.quartile(3)}$ (position $\Var{dataset.posi_quartile(3)}$)
            \item interquartile: $Q_3 - Q_1 = \Var{dataset.quartile(3)} - \Var{dataset.quartile(1)} = \Var{dataset.quartile(3) - dataset.quartile(1) }$

            \item Moyenne: $\overline{x} = \Var{dataset.mean()}$
            \item Écart-type: $\sigma = \Var{dataset.sd()}$
        \end{itemize}    
    \end{multicols}
\end{solution}


\begin{exercise}[subtitle={Inéquations}, points=5]
    \begin{enumerate}
        \item Compléter le tableau suivant
            %- set m1, M1 = random.randint(-10, -5), random.randint(-5, 10)
            %- set M2 = random.randint(-10, 10)
            %- set M3 = random.randint(-10, 10)
            \begin{center}
                \renewcommand{\arraystretch}{3}
                \begin{tabular}{|p{5cm}|c|p{6cm}|p{3cm}|}
                    \hline
                    Phrase en français & Inégalité & Représentation sur la droite & Intervalle \\
                    \hline
                           & $\Var{m1} < x \leq \Var{M1}$ & & \\
                    \hline
                           & $x < \Var{M1}$ & & \\
                   \hline
                           &  & & $x \in \intOF{-\infty}{\Var{M3}}$\\
                   \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \item Résoudre les inéquations suivantes et mettre les résultats sours forme d'un interval.
            \begin{multicols}{2}
                %- set a = random.randint(2, 10)
                %- set b = random.randint(2, 10)
                $\Var{a}x + \Var{b} < 0$

                %- set a1 = random.randint(-10, -2)
                %- set b1 = random.randint(2, 10)
                %- set c1 = random.randint(2, 10)
                $\Var{a1}x - \Var{b1} \leq \Var{c1}$
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item pas de correction automatique
        \item 
                \begin{align*}
                    \Var{a}x + \Var{b} &< 0 \\
                    \Var{a}x &< -\Var{b} \\
                    \frac{\Var{a}}{\Var{a}}x &< \frac{-\Var{b}}{\Var{a}} \\
                    x &< \frac{-\Var{b}}{\Var{a}}
                \end{align*}
                Donc $x \in \intOO{-\infty}{\frac{-\Var{b}}{\Var{a}}}$
                \begin{align*}
                    \Var{a1}x + \Var{b1} &\leq \Var{c1} \\
                    %- set d1 = c1 - b1
                    \Var{a1}x &\leq \Var{c1}-\Var{b1} \leq \Var{d1}\\
                    \frac{\Var{a1}}{\Var{a1}}x &\geq \frac{\Var{d1}}{\Var{a1}} \\
                    x &\geq \frac{\Var{d1}}{\Var{a1}}
                \end{align*}
                Donc $x \in \intFO{\frac{\Var{d1}}{\Var{a1}}}{+\infty}$
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Géométrie repérée}, points=2]
    %- set xA, yA = random.randint(-10, -1), random.randint(-10, 10)
    %- set xB, yB = random.randint(1, 10), random.randint(-10, 10)
    %- set xI, yI = (xA + xB)/2, (yA + yB)/2
    %- set xC, yC = (yA - yB + xA + xB)/2, (xB - xA + yA + yB)/2
    %- set xD, yD = (yB - yA + xA + xB)/2, (xA - xB + yA + yB)/2
    %- set xJ, yJ = (xC + xD)/2, (yC + yD)/2
    Soient $A(\Var{xA}, \Var{yA})$, $B(\Var{xB}, \Var{yB})$, $C(\Var{xC}, \Var{yC})$ et $D(\Var{xD}, \Var{yD})$ quatre points du plan.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les coordonnées de $I$ le milieu du segment $[AB]$ et de $J$ le milieu de du segment $[CD]$.
        \item En déduire la nature du quadrilatère $ACBD$.
        \item Quelle est la nature du triangle $ACB$?
        \item En déduire une caractérisation du quadrilatère $ACBD$ plus précise qu'à la question 2.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    %- set xmin, xmax = min(xA, xB, xI, xC, xD) - 1, max(xA, xB, xI, xC, xD) + 1
    %- set ymin, ymay = min(yA, yB, yI, yC, yD) - 1, max(yA, yB, yI, yC, yD) + 1
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
            \repere{\Var{xmin}}{\Var{xmax}}{\Var{ymin}}{\Var{xmax}}
            \draw (\Var{xA}, \Var{yA}) node {x} node [below left] {$A$};
            \draw (\Var{xB}, \Var{yB}) node {x} node [below left] {$B$};
            \draw (\Var{xI}, \Var{yI}) node {x} node [below left] {$I$};
            \draw (\Var{xC}, \Var{yC}) node {x} node [below left] {$C$};
            \draw (\Var{xD}, \Var{yD}) node {x} node [below left] {$D$};
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item 
            Coordonnées de $I$ milieu de $[AB]$.
            \[
                x_I = \frac{\Var{xA} + \Var{xB}}{2} = \Var{xI} \qquad
                y_I = \frac{\Var{yA} + \Var{yB}}{2} = \Var{yI} \qquad
            \]
            Coordonnées de $J$ milieu de $[CD]$.
            \[
                x_J = \frac{\Var{xC} + \Var{xD}}{2} = \Var{xJ} \qquad
                y_J = \frac{\Var{yC} + \Var{yD}}{2} = \Var{yJ} \qquad
            \]
        \item D'après la question précédente, les segments $[AB]$ et $[CD]$, les diagonales du quadrilatère $ACBD$ on le même milieu.

            Or un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

            Donc $ACBD$ est un parallélogramme.
        \item Calculons les longueurs $AC$ et $CB$
            %- set AC2 = (xA- xC)**2 + (yA - yC)**2
            \[
                AC = \sqrt{(\Var{xA} - \Var{xC})^2 + (\Var{yA} - \Var{yC})^2} = \sqrt{(\Var{xA - xC})^2 + (\Var{xA - xC})^2} = \sqrt{\Var{(xA - xC)**2} + \Var{(yA - yC)**2}} = \sqrt{\Var{AC2}}
            \]
            %- set BC2 = (xB- xC)**2 + (yB - yC)**2
            \[
                BC = \sqrt{(\Var{xB} - \Var{xC})^2 + (\Var{yB} - \Var{yC})^2} = \sqrt{(\Var{xB - xC})^2 + (\Var{xB - xC})^2} = \sqrt{\Var{(xB - xC)**2} + \Var{(yB - yC)**2}} = \sqrt{\Var{BC2}}
            \]
            Donc le triangle $ABC$ est un triangle isocèle.

            Calculons la longueur $AB$
            %- set AB2 = (xA- xB)**2 + (yA - yB)**2
            \[
                AB = \sqrt{(\Var{xA} - \Var{xB})^2 + (\Var{yA} - \Var{yB})^2} = \sqrt{(\Var{xA - xB})^2 + (\Var{xA - xB})^2} = \sqrt{\Var{(xA - xB)**2} + \Var{(yA - yB)**2}} = \sqrt{\Var{AB2}}
            \]

            On sait que $AC = \sqrt{\Var{AC2}}$, $BC = \sqrt{\Var{BC2}}$ et $AB = \sqrt{\Var{AB2}}$ 

            Or

            \[AC^2 + BC^2 = \sqrt{\Var{AC2}}^2 + \sqrt{\Var{BC2}}^2 = \Var{AC2} + \Var{BC2} = \Var{AC2 + BC2}\]

            \[AB^2 = \sqrt{\Var{AB2}}^2= \Var{AB2}\]

            donc $AC^2 + BC^2 = AB^2$ donc d'après le théorème de Pythagore, $ABC$ est un triangle rectangle en $C$.

            On en déduit donc que le triangle $ABC$ est un triangle isocèle et rectangle en $C$.

        \item On sait que le parallélogramme $ACBD$ a donc deux côtés consécutifs de même longueur donc c'est un losange.

            De plus on sait que le parallélogramme $ACBD$ a un angle droit, c'est donc un rectangle.

            Comme le parallélogramme $ACBD$ est un losange et un rectangle, c'est donc un carré.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}