2021-2022/2nd/18_Vecteur_et_coordonnées/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée et repère}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    \noindent
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \begin{enumerate}
            \item Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$.
            \item Placer les points suivants
                \[
                    A(2; 4) \qquad B(-2; 3) \qquad C(4; -2) \qquad D(-1; -4)
                \]
            \item Déterminer les coordonnées des vecteurs 
                \[
                    \vect{AB} \qquad
                    \vect{AC} \qquad
                    \vect{AD} \qquad
                    \vect{CD} \qquad
                    \vect{DC} \qquad
                    \vect{BC} 
                \]
            \item Lire graphiquement les coordonnées des points suivants
                \begin{enumerate}
                    \item $Z$ image de $A$ par la translation de vecteur $\vect{w}$
                    \item $Y$ image de $B$ par la translation de vecteur $\vect{v}$
                    \item $X$ image de $C$ par la translation de vecteur $\vect{w}$
                    \item $S$ image de $D$ par la translation de vecteur $2\vect{u}$
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
            \repereOIJ{-5}{5}{-5}{5}
            \draw [->, very thick] (-4, 1) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} ++(2, 3);
            \draw [->, very thick] (2, 4) -- node [midway, above] {$\vect{v}$} ++(2, -1);
            \draw [->, very thick] (0, 0) -- node [midway, above] {$\vect{w}$} ++(-3, -2);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de coordonnées}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    On définit les points suivants
    \[
        A(2; 4) \qquad
        B(5; 1) \qquad
        C(-6; -3) \qquad
        D(1; -6) \qquad
        E(0; -2) \qquad
        F(\frac{1}{2}; -2) \qquad
        G(\frac{1}{4}; \frac{2}{3}) \qquad
    \]
    Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\vect{AB}$
            \item $\vect{AC}$
            \item $\vect{DE}$
            \item $\vect{ED}$
            \item $\vect{AE}$
            \item $\vect{BE}$
            \item $\vect{EC}$
            \item $\vect{FG}$
            \item $\vect{FA}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Égalité entre vecteurs}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    \begin{enumerate}
        \item Dans les cas suivants, justifier si les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont égaux (leurs coordonnées doivent être égales)
            \begin{enumerate}
                \item $A(-2; -1)$, $B(1; 3)$, $C(1; 1)$ et $D(-2; -1)$
                \item $A(0; -1)$, $B(1; 0)$, $C(0; -2)$ et $D(1; -1)$
            \end{enumerate}
        \item Écrire un algorithme pour déterminer si deux vecteurs sont égaux en partant des coordonnées des 4 points.
        \item On donne 3 points $A(1; 2)$, $B(1; 4)$ et $C(x; 6)$. Quelle doit être la valeur de $x$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ soient égaux?
        \item On donne 4 points $A(x-1; 2)$, $B(-1; y-5)$, $C(0; -2)$ et $D(4; 3)$. Quelle doivent être les valeurs de $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ soient égaux?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée de points et transformations}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    Calculer les coordonnées des points suivants
    \begin{enumerate}
        \item $B$ image du point $A(2; 3)$ par la translation de vecteur $\vect{u}\vectCoord{2}{4}$.
        \item $D$ image du point $C(-2; 5)$ par la translation de vecteur $\vect{v}\vectCoord{4}{-2}$.
        \item $F$ image du point $E(0; 3)$ par la translation de vecteur $\vect{v}\vectCoord{-3}{-2}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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\begin{exercise}[subtitle={Calculs avec les coordonnées de vecteurs}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    On définit les vecteurs suivants
    \[
        \vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
        \vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
        \vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
        \vect{x} \vectCoord{-3}{2} 
    \]
    et les points suivants
    \[
        A(2; 5) \qquad
        B(4; 1) \qquad
        C(2; -2) \qquad
        D(-3; 1)
    \]
    Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
    \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}
            \item $\vect{u} +\vect{x}$
            \item $\vect{w} +\vect{x}$

            \item $\vect{w} - \vect{v}$
            \item $\vect{u} + \vect{x} + \vect{v} - 2\vect{w}$

            \item $2\vect{w} +\vect{x} - 2\vect{x}$
            \item $\vect{AB} +\vect{x}$

            \item $\vect{AC} + 2\vect{CD}$
            \item $\vect{AC} - 3\vect{AB}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équilibre des forces}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    \begin{enumerate}
        \item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{0}{-5}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{-2}{2}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{3}$.
            \begin{enumerate}
                \item Additionner ces trois forces.
                \item Expliquer pourquoi on peut dit que l'objet est en équilibre
            \end{enumerate}
        \item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{-1}{2}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{3}{1}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{2}$. 
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que l'objet n'est pas en équilibre.
                \item Quelle doit être la quatrième force à appliquer pour que l'objet soit en équilibre.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    Soient $A(-3; 7)$, $B(0; -3)$ et $(-2; 3)$ trois points du plan et un point $M(x;y)$ dont il faudra déterminer les coordonnées dans chacun des cas suivants
    \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}
            \item $\vect{AM} = \dfrac{1}{2}\vect{CB}$
            \item $2\vect{AB} + 3\vect{CM} = \vect{0}$
            \item $\vect{BM} = 3\vect{AB} - \vect{CB}$
            \item $3\vect{BM} = 2\vect{AM}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

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\begin{exercise}[subtitle={Norme d'un vecteur}, step={3}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    On définit les vecteurs suivants
    \[
        \vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
        \vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
        \vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
        \vect{x} \vectCoord{-3}{2} 
    \]
    et les points suivants
    \[
        A(2; 5) \qquad
        B(4; 1) \qquad
        C(2; \dfrac{1}{5}) \qquad
        D(\dfrac{2}{3}; 1)
    \]
    Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{u}$, $\vect{v}$, $\vect{w}$ et $\vect{x}$
        \item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$
    \end{enumerate}
\end{exercise}


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\begin{exercise}[subtitle={Colinéarité}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    Dans chacun des cas suivant, dire si les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A(1; -4)$, $B(-4; 8)$ et $C(-6; 2)$
            \item $A(5; 5)$, $B(0; -1)$ et $C(10; 11)$
            \item $A\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}\right)$, $B\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{-2}{4}\right)$ et $C\left(\dfrac{-1}{2}; \dfrac{-11}{3}\right)$
        \end{enumerate}    
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Alignement}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    Dans chacun des cas suivant, dire si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A(4; 2)$, $B(10; -5)$ et $C(-8; 16)$
            \item $A(9; 1)$, $B(6; -1)$ et $C(3; -3)$
            \item $A\left(\dfrac{-1}{5}; 1\right)$, $B\left(2; \dfrac{-1}{6}\right)$ et $C\left(\dfrac{10}{5}; 1\right)$
        \end{enumerate}    
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer la valeur de $m$ pour que les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ soient colinéaires
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $\vect{u}\; \vectCoord{-8}{8}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{m}{2}$
                    \item $\vect{u}\; \vectCoord{m-1}{2}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{3}{-2}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Déterminer la valeur de $m$ pour que les points $A$, $B$ et $C$ soient alignés.
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $A(1; 3)$, $B(-2; 1)$ et $C(m; 2)$
                    \item $A(-5; 1)$, $B(7; 1)$ et $C(1; m-2)$
                \end{enumerate}    
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Problèmes de géométrie}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
    Soit $(O, \vect{i}, \vect{h})$ un repère orthonormé. Soit $A(0; 3)$, $B(-1; 1)$ et $C(-4; 2)$ trois points.
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer les coordonnées de $I$ le milieu du segment $[BC]$.
        \item Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que 
            \[
                3\vect{DA}j+\vect{DB}+\vect{DC}= \vect{0}
            \]
        \item Démontrer que $D$, $A$ et $I$ sont alignés.
    \end{enumerate}
\end{exercise}