Feat(1ST): chapitre sur les polynomes de degré 3
continuous-integration/drone/push Build is passing
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continuous-integration/drone/push Build is passing
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dbd4ba24ba
commit
2e61e281ec
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@ -1,14 +0,0 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Polynomes de degré 3 - Cours}
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\date{mai 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,64 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Polynômes du 3e degré - Cours}
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\tribe{1ST}
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\date{Mai 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\section{Polynôme de degré 3}
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De la même manière que l'on a étudié les polynômes de degré 2, on va pouvoir étudier ceux de degré 3.
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\begin{definition}[Polynôme de degré 3]
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||||
On appelle \textbf{fonction polynôme de degré 3} toute fonction $f$ définie sur $\R$ par
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\[
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f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
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\]
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||||
où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels et $a$ n'est pas nul.
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\end{definition}
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\paragraph{Remarque}
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Comme pour les polynômes de degré 2, vous n'avez pas à savoir étudier tous ces polynômes, mais seulement ceux avec une certaine forme.
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\section{Les fonctions de la forme $ax^3 + b$}
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\begin{propriete}[Forme graphique]
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Soit $f(x) = ax^3 + b$ une fonction polynôme de degré 3. Alors
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\begin{tabular}{cc}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
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||||
\tkzAxeXY
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||||
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.5*x*x*x+1}
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||||
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,-2){$f(x)=0.5x^3+1$}
|
||||
\end{tikzpicture}
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||||
&
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||||
\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
|
||||
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
|
||||
\tkzAxeXY
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-0.1*x*x*x+3}
|
||||
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,6){$f(x)=-0.1x^3+3$}
|
||||
\end{tikzpicture} \\
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||||
Si $a > 0$, $f$ est croissante sur $\R$. &
|
||||
Si $a < 0$, $f$ est décroissante sur $\R$.
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||||
\end{tabular}
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||||
On remarque que comme pour les autres types de polynômes, la valeur de $b$ peut se lire sur l'axe des ordonnées.
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\end{propriete}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,90 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Polynômes du 3e degré - Cours}
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\tribe{1ST}
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\date{Mai 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{2}
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\section{Les fonctions $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$}
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\begin{propriete}[Forme factorisée]
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\begin{minipage}{0.45\linewidth}
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||||
Certains polynômes de degré 3 peuvent se mettre sous la forme \textbf{factorisée} suivante
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\[
|
||||
P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
|
||||
\]
|
||||
Comme pour les polynômes de degré 2, $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont des \textbf{racines} du polynôme.
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||||
\end{minipage}
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||||
\hfill
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||||
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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||||
Forme graphique
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\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
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||||
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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||||
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
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||||
\tkzAxeXY
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||||
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.5*(x+2)*(x-1)*(x-2)}
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||||
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,-2){$f(x)=0.5(x+2)(x-1)(x-2)$}
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{minipage}
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||||
\end{propriete}
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\subsubsection*{Exemple}%
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Montrons que $-1$, $-2$ et $1$ sont des racines de
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\[
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P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2
|
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\]
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||||
On en déduit la forme factorisée de $P(x)$
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\afaire{}
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\begin{definition}[Racines doubles et triples]
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\begin{multicols}{2}
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\begin{itemize}
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||||
\item On appelle \textbf{racine double} une racine qui apparait 2 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine double
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||||
\[
|
||||
P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_3) = a(x-x_1)^2(x-x_3)
|
||||
\]
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||||
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||||
\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
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||||
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
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||||
\tkzAxeXY
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||||
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.5*(x+2)*(x-1)**2}
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||||
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,-2){$f(x)=0.5(x+2)(x-1)^2$}
|
||||
\end{tikzpicture}
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||||
\item On appelle \textbf{racine triple} une racine qui apparait 3 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine triple
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||||
\[
|
||||
P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_1) = a(x-x_1)^3
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
|
||||
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
|
||||
\tkzAxeXY
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-0.5*(x-1)**3}
|
||||
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,2){$f(x)=-0.5(x-1)^3$}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{multicols}
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||||
\end{definition}
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||||
\subsection*{Méthode: étude de signe}%
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||||
Étudions le signe de $P(x) = 2(x+1)(x+2)(x-1)$
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||||
\afaire{}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,54 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Polynômes du 3e degré - Cours}
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\tribe{1ST}
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\date{Mai 2023}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{3}
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\section{Racine cubique}
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\begin{definition}[Racine cubique]
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L'équation
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\[
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x^3 = k
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\]
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||||
a une unique solution appelée \textbf{racine cubique de $k$} notée
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\[
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||||
\sqrt[3]{k} = k^{\frac{1}{3}}
|
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\]
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||||
\end{definition}
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\subsubsection*{Remarque - calculatrice Numworks}
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On trouvera la fonction $\sqrt[3]{\ldots}$ dans le menu boite à outils.
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\subsubsection*{Exemple}
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\begin{itemize}
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\item Résolution de l'équation $x^3 = 8$
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||||
On sait que $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. Donc la solution est $x = 2$.
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\item Résolution de l'équation $x^3 = 5$
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||||
La solution est
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\[
|
||||
x = \sqrt[3]{5} \approx 1,7
|
||||
\]
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||||
Ce que l'on peut aussi écrire
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||||
\[
|
||||
x = 5^{\frac{1}{3}}\approx 1,7
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
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||||
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -1,4 +1,4 @@
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\begin{exercise}[subtitle={Identification}, step={1}, origin={<++>}, topics={ Polynomes de degré 3 }, tags={ Fonction }]
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\begin{exercise}[subtitle={Identification}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Polynômes de degré 3 }, tags={ Fonction }, mode={\trainMode}]
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Identifier le degré des polynômes ci-dessous ainsi que les coefficients (quand ils ne sont pas factorisés).
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\begin{tasks}(3)
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@ -19,3 +19,164 @@
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\task $f(x) = 3(x+2)(x-1)(x-2)$
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\end{tasks}
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||||
\end{exercise}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Polynômes de degré 3 }, tags={ Fonction }, mode={\groupMode}]
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||||
On souhaite étudier les représentations graphiques des fonctions suivantes :
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||||
\begin{multicols}{3}
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||||
\begin{enumerate}[label={$\alph*(x) = $}, wide]
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||||
\item $2x^3$
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||||
\item $5x^3 + 1$
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||||
\item $2(x - 1)(x - 4)(x+2)$
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||||
\item $-2x^3$
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||||
\item $-2(x + 3)(x - 1)(x+2)$
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||||
\item $5x^3 - 3$
|
||||
\item $2x^3 + 3$
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||||
\item $2(x - 2)(x - 4)(x+1)$
|
||||
\item $-0.5x^3$
|
||||
\item $0.5x^3$
|
||||
\item $2x^3 - 1$
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||||
\item $-2(x + 1)(x - 4)x$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{multicols}
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||||
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Regroupe les fonctions sur des critères de forme de la formule.
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||||
\item Pour chaque fonction, en vous aidant de la calculatrice, tracer l'allure du graphique. On ne demande pas un tracé précis, mais une forme générale qui respecte la position par rapport aux axes.
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||||
\item Faire une conjecture sur le lien entre la forme de la fonction et la forme du graphique associé.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Factorisation et racines}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Polynômes de degré 3 }, tags={ Fonction }, mode={\trainMode}]
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Soit $f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 2x + 4$
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Quel est le degré de ce polynôme ?
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||||
\item Par les nombres suivants, lesquels sont des racines de $f(x)$ ?
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\[
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||||
-3 \qquad
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||||
-2 \qquad
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-1 \qquad
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||||
0 \qquad
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||||
1 \qquad
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||||
2 \qquad
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||||
3
|
||||
\]
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||||
\item Conjecturer une forme factorisée de $f(x)$ (on ne vous demande pas de la prouver).
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||||
\item Tracer l'allure de la fonction $f(x)$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\item Mêmes questions pour la fonction $g(x) = 2x^3 -4x^2 -18x + 36$
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||||
\item Mêmes questions pour la fonction $h(x) = 2x^3 - 8x^2 + 8x$
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||||
\item Combien de racines semblent avoir les polynômes de degré 3 ?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}, mode={\trainMode}]
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||||
Pour chacune des fonctions suivantes, réaliser le tableau de signe.
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||||
\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $f(x) = 3(x-1)(x-10)(x+2)$
|
||||
\item $g(x) = 2(x-2)(x+3)(x+2)$
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||||
\item $h(x) = -3(x-1)(x-10)(x+2)$
|
||||
\item $i(x) = -2(x-1)(x+1)(x+2)$
|
||||
\item $j(x) = -3(x-1)(x-10)^2$
|
||||
\item(*) $k(x) = (2x-1)(-x-10)(x+2)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude des profits}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}, mode={\trainMode}]
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||||
Une usine produit chaque jour entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante :
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||||
\[
|
||||
f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer que l'on peut mettre $f(x)$ sous la forme $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$ en calculant les racines.
|
||||
\item Étudier le signe de $f(x)$.
|
||||
\item En déduire le nombre de masques que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Lot}, step={3}, origin={T1CMATH00290}, topics={Polynôme degré 3}, mode={\trainMode}]
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||||
Un artisan produit et vend des sachets de viennoiseries. En notant, $x$ le nombre de sachets de viennoiseries ses coûts sont calculables avec la formule suivante :
|
||||
\[
|
||||
C(x) = x^3 - 120x^2 + 10x
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer le coût de production pour 75 sachets.
|
||||
\item Chaque sachet est vendu 10\euro.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Justifier que le bénéfice se calcule alors avec la formule suivante:
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||||
\[
|
||||
B(x) = x^3 - 120x^2
|
||||
\]
|
||||
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $B(x)$, conjecturer puis démontrer les racines du polynômes.
|
||||
\item Démontrer que $B(x)$ peut s'écrire
|
||||
\[
|
||||
B(x) = x^2(x-120)
|
||||
\]
|
||||
\item Étudier le signe de $B(x)$.
|
||||
\item En déduire la production maximal avant que l'artisan commence à perdre de l'argent.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Recherche du maximum des bénéfices.
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Déterminer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
|
||||
\item Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
B'(x) = 3x(x-80)
|
||||
\]
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||||
\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
|
||||
\item En déduire le nombre de sachet que l'artisan doit produire pour maximiser ses bénéfices.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Population de bactéries}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}, mode={\searchMode}]
|
||||
\textit{Cet exercice est un problème ouvert. C'est-à-dire qu'il y a de nombreuses façons d'y apporter une réponse qui pourra être plus ou moins précise. C'est à vous de choisir les outils qui vous semblent les plus pertinents puis de détailler votre démarche - qui est aussi importante que le résultat final.}
|
||||
|
||||
La population de bactéries dans une solution est modélisée par la fonction suivante
|
||||
\[
|
||||
f(x) = -0,01t^3 + 4t^2 + 2t
|
||||
\]
|
||||
où $t$ représente le temps en heure depuis le début de l'expérience.
|
||||
|
||||
|
||||
Déterminer quand la population de bactéries va s'éteindre et quand elle aura atteint son maximum.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Solution des équations $x^3=k$}, step={4}, topics={Polynôme degré 3}, mode={\searchMode}]
|
||||
Dans cet exercice, nous allons chercher à résoudre les équations du type $x^3=k$. Pour cela, nous allons porter une attention particulière à la fonction $f(x) = x^3$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Tracer la courbe représentative de $f(x) = x^3$ avec $x$ allant de $-3$ à $3$ en cherchant à être le plus précis possible.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Les questions suivantes se répondent en utilisant le graphique.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\setcounter{enumi}{1}
|
||||
\item Résoudre graphiquement l'équation $x^3 = 8$.
|
||||
\item Même question pour $x^3 = -8$.
|
||||
\item Même question pour $x^3 = 4$.
|
||||
\item Même question pour $x^3 = -2$.
|
||||
\item Même question pour $x^3 = 0$.
|
||||
\item De manière générale, combien l'équation $x^3 = k$ a-t-elle de solutions ?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Équations cubiques}, step={4}, topics={Polynôme degré 3}, mode={\trainMode}]
|
||||
Résoudre les équations suivantes (les questions avec (*) sont plus compliquées - mais pas impossibles !)
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $x^3 = 8$
|
||||
\item $x^3 = 27$
|
||||
\item $x^3 = 64$
|
||||
|
||||
\item $x^3 = -27$
|
||||
\item $x^3 = 10$
|
||||
\item $x^3 = -5$
|
||||
|
||||
\item (*) $2x^3 = 16$
|
||||
\item (*) $-4x^3 = 40$
|
||||
\item (*) $3x^3 + 1 = 8$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -2,7 +2,7 @@ Polynomes de degré 3
|
|||
####################
|
||||
|
||||
:date: 2023-05-18
|
||||
:modified: 2023-05-18
|
||||
:modified: 2023-05-19
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:tags: Fonction
|
||||
:category: 1ST
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||||
|
|
@ -15,14 +15,50 @@ Polynomes de degré 3
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|||
Contenus
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||||
--------
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||||
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||||
Capacités attendues
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||||
-------------------
|
||||
Fonctions polynômes de degré 3:
|
||||
|
||||
- représentations graphiques des fonctions: ax3, x ax3 + b ;
|
||||
- racines et signe d’un polynôme de degré 3 de la forme a(x - x1)(x - x2)(x - x3) ;
|
||||
- équation x3 = c ; racine cubique d’un nombre réel positif ; notations
|
||||
|
||||
Commentaires
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||||
------------
|
||||
|
||||
Progression
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Étape 1:
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Plan de travail:
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.. image:: ./plan_de_travail.pdf
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:height: 200px
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:alt: Plan de travail
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Étape 1: Forme algébrique et forme graphique
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Bilan: Sur les formes algébriques et la forme graphique
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.. image:: ./1B_polyDeg3.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur les formes
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Étape 2: Racine et signe
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Bilan: sur la forme factorisée et l'étude de signes
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.. image:: ./2B_forme_facto.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur la forme factorisée.
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Étape 3: Problèmes
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Étape 4: Équations cubiques
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Bilan: racine cubique
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.. image:: ./4B_racine_cubique.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur la racine cubique
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Binary file not shown.
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@ -24,15 +24,24 @@ Savoir-faire de la séquence
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\begin{itemize}
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\item représentations graphiques des fonctions : $ax3$, $ax3 + b$ ;
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\item racines et signe d’un polynôme de degré 3 de la forme $a(x - x1)(x - x2)(x-x3)$ ;
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\item équation $x3 = c$ ; racine cubique d’un nombre réel positif ; notations racines cubiques
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\item équation $x^3 = c$ ; racine cubique d’un nombre réel positif ; notations racines cubiques
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\end{itemize}
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\bigskip
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Ordre des étapes à respecter
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\section{Forme et forme graphique}
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\listsectionexercises
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\section{}
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\section{Racine et signes}
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\listsectionexercises
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\section{Problèmes}
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\listsectionexercises
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\section{Racine cubique}
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\listsectionexercises
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