Feat: correction merci Camille!

l'exponentielle

.drone.yml

@@ -7,6 +7,21 @@ workspace:
     path: /drone/content/
 
 steps:
+- name: Push Raw
+  image: alpine
+  commands:
+  - apk add --no-cache openssh-client ca-certificates bash
+  - apk add rsync
+  - echo Début du Push
+  - eval `ssh-agent -s`
+  - echo "$SSH_KEY" | ssh-add -
+  - mkdir -p ~/.ssh
+  - echo -e "Host *\n\tStrictHostKeyChecking no\n\n" > ~/.ssh/config
+  - rsync -rv --delete -e "ssh -p 22" --exclude ".git" --exclude "config*" --exclude "*/DS/" --exclude "tools/" --exclude "*.rst" --exclude "*.tex" ./ sshcontent@91.121.90.228:~/raw.opytex.org/www/ --checksum
+  environment:
+    SSH_KEY:
+      from_secret: sshcontent-key
+
 - name: Build Opytex 2020-2021
   image: python:3.8-alpine
   commands:
@@ -33,17 +48,3 @@ steps:
     SSH_KEY:
       from_secret: sshcontent-key
 
-- name: Push Raw
-  image: alpine
-  commands:
-  - apk add --no-cache openssh-client ca-certificates bash
-  - apk add rsync
-  - echo Début du Push
-  - eval `ssh-agent -s`
-  - echo "$SSH_KEY" | ssh-add -
-  - mkdir -p ~/.ssh
-  - echo -e "Host *\n\tStrictHostKeyChecking no\n\n" > ~/.ssh/config
-  - rsync -rv --delete -e "ssh -p 22" --exclude ".git" --exclude "config*" --exclude "*/DS/" --exclude "tools/" --exclude "*.rst" --exclude "*.tex" ./ sshcontent@91.121.90.228:~/raw.opytex.org/www/ --checksum
-  environment:
-    SSH_KEY:
-      from_secret: sshcontent-key

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/1B_variables_aleatoires.tex

@@ -0,0 +1,62 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
+\date{octobre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Variable aléatoire}
+
+En mathématique, l'outil pour modéliser les situations aléatoires qui ont pour résultats un nombre (un score, un bénéfice, une quantité...) est la \textbf{variable aléatoire}.
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
+    Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
+
+    On définit une \textbf{variable aléatoire} sur E quand on associe à chaque issue de E un nombre réel $x_i$.
+
+    Les \textbf{événements} de l’expérience aléatoire sont alors notés $\left\{ X = x_i \right\}$ et la \textbf{loi de probabilité de $X$} est la donnée de toutes les probabilités $P(X = x_i ) = p_i$.
+
+    En générale, on résume la loi de probabilité par le tableau suivant
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|*{4}{p{2cm}|}}
+            \hline
+            Valeurs possibles ($x_i$) &  $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
+            \hline
+            Probabilité ($p_i$) & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+\end{bclogo}
+
+\subsubsection*{Exemples}
+\begin{itemize}
+    \item On lance un dé à 6 faces. La variable aléatoire $X$ décrit le score obtenu.
+        \afaire{Faire le tableau résumant la loi de probabilité}
+    \item On tire au hasard une boule dans une urne contenant 5 boules bleu, 2 jaune et 4 noir. Une boule bleu rapport 1point, une jaune 5 et une noir en fait perdre 2. La variable aléatoire $X$ décrit le score obtenu.
+        \afaire{Faire le tableau résumant la loi de probabilité}
+\end{itemize}
+
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
+    L'espérance d'une variable aléatoire $X$ est le nombre réel définit par
+    \[
+        E[X] = x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + ... + x_n\times p_n
+    \]
+    L'espérance représente intuitivement la valeur que l'on peut espérer obtenir en moyenne si l'on répète de nombreuses fois l'expérience.
+\end{bclogo}
+
+\subsubsection*{Exemples}
+On reprend les exemples précédents.
+\begin{itemize}
+    \item 
+        \afaire{calculer l'espérance}
+    \item 
+        \afaire{calculer l'espérance}
+\end{itemize}
+
+
+\end{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/1E_esperance.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{QCM et espérance}
+\date{novembre 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=1,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/2B_bernoulli_binomiale.tex

@@ -11,6 +11,7 @@
 
 \maketitle
 
+\setcounter{section}{1}
 \section{Expérience et loi de Bernoulli}
 
 \subsection*{Définition}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/2E_surreservation.tex

@@ -7,7 +7,7 @@
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}
 \xsimsetup{
-    step=1,
+    step=2,
 }
 
 \begin{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/3E_modelisation.tex

@@ -7,11 +7,12 @@
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}
 \xsimsetup{
-    step=2,
+    step=3,
 }
 
 \begin{document}
 
+\setcounter{exercise}{3}
 \input{exercises.tex}
 \printcollection{banque}
 

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/4B_calc_esp.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
+\date{Novembre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{5}
+\section{Représentation graphique de la loi binomiale}
+
+Ci-dessous quelques représentations graphiques des probabilités en fonction du nombre de succès pour 3 binomiales différentes
+
+\begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.5]{./fig/Binomial_distribution}
+\end{center}
+
+Ces représentation graphiques sont construites à partir du tableau décrivant la loi de probabilité de chacune des binomiales.
+
+\section{Propriétés de la loi binomiale}
+
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
+    Soit $X\sim \mathcal{B}(n, p)$ alors
+    \begin{itemize}
+        \item L'espérance est égale à $E[X] = np$
+        \item L'écart-type est égal à $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$
+    \end{itemize}
+\end{bclogo}
+
+\section{Utilisation de la calculatrice}
+
+Pour calculer des probabilités pour la loi binomiale avec la calculatrice
+\begin{itemize}
+    \item Casio: \url{https://www.casio-education.fr/contenus/loi-binomiale-avec-le-menu-statistique/}
+    \item TI: \url{http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/190_ti83-Premium_CE.pdf}
+\end{itemize}
+
+\end{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/4B_coefBino_formule.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
+\date{Novembre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{3}
+\section{Coefficients binomiaux}
+
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
+    Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
+
+    \textbf{Le coefficient binomial} $\coefBino{n}{k}$, se lit "$k$ parmi $n$", est le nombre de façon d'obtenir $k$ succès quand on fait $n$ répétitions ou encore le nombre de chemin avec $k$ succès dans un arbre avec $n$ étages.
+
+    Par convention, $\coefBino{0}{0} = 1$.
+\end{bclogo}
+
+\paragraph{Exemples}%
+\afaire{Tracer l'arbre qui correspond à une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.1)$. Lister le nombre succès possibles et le nombre de chemins qui y mène puis faire lien avec les coefficients binomiaux.}
+
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
+    Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
+    \[
+        \coefBino{n}{0} = \coefBino{n}{n} = 1 \qquad \qquad \coefBino{n-1}{k-1} + \coefBino{n-1}{k} = \coefBino{n}{k}
+    \]
+    Il est possible de calculer ces coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascale.
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|*{7}{c|}}
+            \hline
+            n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 
+            \hline
+            0 & & & & & & \\
+            \hline
+            1 & & & & & & \\
+            \hline
+            2 & & & & & & \\
+            \hline
+            3 & & & & & & \\
+            \hline
+            4 & & & & & & \\
+            \hline
+            5 & & & & & & \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+    \afaire{Compléter le tableau en utilisant les règles de calculs.}
+\end{bclogo}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Nombre de façon de d'avoir 4 succès en 5 répétitions $\coefBino{...}{...} = ...$
+\afaire{à compléter}
+
+\section{Formules des probabilités pour la loi binomiale}
+
+\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
+    Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$
+    \[
+        P(X = k) = \coefBino{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
+    \]
+\end{bclogo}
+
+
+\paragraph{Exemples}%
+Soit $X \sim \mathcal{B}(5, 0.1)$ alors
+\[
+    P(X = 3) = 
+\]
+\afaire{à compléter}
+
+
+
+
+
+
+
+\end{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/4E_coef_bino.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Coefficients binomiaux et situations}
+\date{Novembre 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=4,
+}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{exercise}{8}
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/5E_echantillonnage.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Échantillonnage}
+\date{Novembre 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{exercise}{13}
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/6E_dossier.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Échantillonnage}
+\date{Novembre 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=6,
+}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{exercise}{16}
+\input{exercises.tex}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/exercises.tex

@@ -1,5 +1,68 @@
 \collectexercises{banque}
-\begin{exercise}[subtitle={Surréservation}, step={1}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale, Simulation}]
+\begin{exercise}[subtitle={QCM masqué}, step={1}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale, Simulation}]
+    Votre professeur.e de mathématiques vous prépare un contrôle sous forme de QCM... mais vous n’avez pas assez révisé ! Vous vous apprêtez donc à répondre au hasard et espérez gagner un maximum de points.
+
+    Établir et justifier une stratégie pour espérer obtenir la meilleure note possible.
+
+    \begin{center}
+        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/QCM}
+    \end{center}
+
+    Questions coup-de-pouce pour étudier chaque question:
+    \begin{enumerate}
+        \item Lister les possibilités: combien peut-on gagner? Perdre?
+        \item Pour chaque possibilités associer une probabilité.
+        \item Combien peut-on espérer gagner?
+        \item A-t-on intérêt d'y répondre?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Marché noir}, step={1}, origin={Création}, topics={Variables aléatoires}, tags={Probabilité}]
+		À force de confisquer les téléphones portables de ses élèves, un professeur a pu établir le tableau suivant
+		\begin{center}
+            \footnotesize
+            \begin{tabular}[h]{|p{3cm}| *{6}{c|}}
+                \hline
+                Type de portable & Vieux & À clapet  & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette\\ 
+                \hline
+                Fréquence (en \%)& 10 	 & 5 	   & 50 		  & 5 					& 30\\ 
+                \hline
+            \end{tabular}
+		\end{center}
+		Il décide alors de ne plus les rendre en fin de cours mais de les vendre au marché noir. Il se renseigne alors sur les prix de vente:
+		\begin{center}
+            \footnotesize
+            \begin{tabular}[h]{|p{3cm}| *{6}{c|}}
+				\hline
+				Type de portable & Vieux & À clapet & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette \\ \hline
+				Prix de revente (en \euro) & 11 & 11 & 150 & 200 & 250 \\ \hline
+		\end{tabular}
+		\end{center}
+        Combien peut-il espérer gagner en moyenne à chaque fois qu'il confisque un téléphone?
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dépannages}, step={1}, origin={Indice TST}, topics={Variables aléatoires}, tags={Probabilité}]
+    Un garage veut étudier ses dépannages extérieurs. Pour cela, il note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de dépannages extérieurs en une journée. La loi de cette variable aléatoire est donnée par le tableau suivant
+
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
+           \hline 
+           $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+           \hline
+           $P(X=x_i)$ & 0,35 & 0,25 & 0,2 & 0,12 & 0,08 \\
+           \hline
+        \end{tabular}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    \begin{enumerate}
+        \item Vérifier que ce tableau est bien celui d'une variable aléatoire.
+        \item Calculer les quantités suivantes $P(X < 2)$, $P(X \leq 2)$, $P(X > 5)$
+        \item Calculer l'espérance de $X$ puis interpréter.
+    \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Surréservation}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale, Simulation}]
     Pour obtenir un taux de remplissage convenable, les compagnies aériennes vendent régulièrement plus de place que n'en comporte l'avion car il arrive que des personnes ne se présentent pas au décollage. Si un passagers a réservé mais qu'il n'y a plus de place dans l'avion, il faudra par contre le dédommager. C'est pour cela qu'il faut évaluer le risque de surréservation.
 
     On considère une ligne aérienne entre deux villes pour laquelle:
@@ -61,7 +124,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Modélisation}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+\begin{exercise}[subtitle={Modélisation}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
     Dans chacune des situations suivantes, dessiner l'arbre de probabilité qui décrit la situation puis expliquer si oui ou non elle peut être modélisé par une loi binomiale en précisant les paramètres.
     \begin{enumerate}
         \item Dans mon jardin j'ai planté 3 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
@@ -71,11 +134,11 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
     Proposer une expérience aléatoire qui pourrait être modélisée avec une loi binomiale. Vous détaillerez ensuite les paramètres et justifierez la modélisation.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Jeux}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+\begin{exercise}[subtitle={Jeux}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
     Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.
 
     On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".
@@ -85,12 +148,11 @@
         \item Faire un arbre qui modélise la situation.
         \item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
         \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
-        \item Démontrer que l'espérance de $X$ est de 1,4.
         \item Si Bob joue tous les jours deux parties, combien en moyenne peut-il espérer en gagner quotidiennement?
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Repas}]
+\begin{exercise}[subtitle={Repas}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
     Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.
 
     Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.
@@ -104,7 +166,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}]
+\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
     Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.
 
     \begin{enumerate}
@@ -128,4 +190,213 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Construction d'une formule}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Pour chacune des situations suivantes, construire l'arbre de probabilités et le tableau résumant la loi de probabilité. 
+
+            \textit{Ce travail doit être fait sans calculatrice, vous écrirez les calculs que vous auriez tapé à la place des résultats dans le tableau. Si vous y arrivez, vous pouvez vous passer de faire l'arbre.}
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $X \sim \mathcal{B}(2, 0.1)$
+                    \item $X \sim \mathcal{B}(3, 0.4)$
+                    \item $X \sim \mathcal{B}(3, 0.05)$
+                    \item $X \sim \mathcal{B}(4, 0.98)$
+                    \item $X \sim \mathcal{B}(4, 0.60)$
+                    \item $X \sim \mathcal{B}(5, 0.4)$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Au regard des tableaux obtenus à la question précédente, commencer à construire une formule qui permet de calculer les probabilités d'une loi binomiale. Quelle partie reste difficile à calculer?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Triangle de pascal}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    \begin{minipage}{0.7\linewidth}
+        \begin{enumerate}
+            \item En vous aidant de ce qui a été fait à l'exercice précédent, compléter le tableau ci-dessous avec les coefficients binomiaux.
+            \item Quelles sont les cases qui seront toujours vide?
+            \item Quelles sont les cases qu'il est "facile" de remplir?
+            \item Conjecturer une façon de calculer les autres.
+            \item Faire ce tableau sur le tableur pour $n$ et $k$ allant de 1 à 20.
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+        \begin{tabular}{|*{7}{c|}}
+            \hline
+            n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 
+            \hline
+            0 & & & & & & \\
+            \hline
+            1 & & & & & & \\
+            \hline
+            2 & & & & & & \\
+            \hline
+            3 & & & & & & \\
+            \hline
+            4 & & & & & & \\
+            \hline
+            5 & & & & & & \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Vaccination des chiots}, step={4}, origin={Indice Math Complémentaire 84p178}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Dans un chenil, on vaccine 8 chiots de façon indépendante. Lors des vaccinations précédente, on avait constaté que le chiot avait une chance sur cinq d'avoir une réaction forte au vaccin.
+
+    On note $X$ le nombre de chiots qui auront une réaction forte au vaccin.
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Calculer $P(X=1)$. Interpréter le résultat.
+        \item Quelle est la probabilité qu'au moins 5 chiots aient une réaction forte??
+        \item Tracer le tableau résumant la loi de probabilité de $X$.
+        \item Tracer un diagramme illustrant cette loi de probabilité.
+        \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Temps de trajet}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Pour aller au travail, je croise 10 feux. En interrogeant les employés municipaux en charge de la voirie, j'ai appris que ces feux étaient indépendants les uns des autres et qu'ils étaient rouges 70\% du temps.
+
+    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de feux rouges que je rencontre en allant travailler.
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Calculer $P(X=10)$. Interpréter le résultat.
+        \item Quelle est la probabilité que je rencontre plus de 4 feux rouges?
+        \item Combien de feux rouge vais-je avoir en moyenne quand je vais au travail?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Overbooking}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    On rappelle les paramètres de la situation d'overbooking simulé avec le tableur.
+
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{itemize}
+            \item Tous les avions ont 50 places.
+            \item 53 réservations sont vendues pour chaque vol (on supposera qu'elles sont toutes vendues)
+            \item Chaque personne ayant réservé a 9 chance sur 10 de se présenter à l'embarquement ( donc 1 chance sur 10 de ne pas se présenter).
+            \item Un billet vendu rapporte 100\euro. Un billet remboursé coûte 250\euro à la compagnie.
+            \item Chaque personne ayant réservé une place se présente au non à l'embarquement indépendamment des autres personnes ayant réservé sur le même vol.
+        \end{itemize}
+    \end{multicols}
+    \begin{enumerate}
+        \item Proposer un modèle pour calculer les risques qu'une avion soit trop rempli.
+        \item On note $Y$ les gains de la compagnie pour un vol.
+            \begin{enumerate}
+                \item Tracer le tableau résumant la loi de probabilité de $Y$.
+                \item Combien peut elle espérer gagner en moyenne? Est-ce plus intéressant que de ne pas faire d'overbooking?
+            \end{enumerate}
+        \item Combien de place faut-il vendre pour avoir en moyenne les plus gros bénéfices?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Prise de décision}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Dans cette exercice, nous allons nous nous demander si une sous population appartient ou non à une population particulière puis nous simulerons cette situation.
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Échantillonnage théorique:} On considère une population infinie dont les individus sont partagés en 2 groupes les $\triangle$ et les $\square$. 60\% de la population est $\triangle$. On sélectionne 30 individus (l'échantillon) et on compte les $\triangle$. On note $X$ la variable aléatoire qui modélise la situation.
+            \begin{enumerate}
+                \item Quelle loi suit $X$? Préciser les paramètres.
+                \item Calculer les valeurs de $P(X = 10)$, $P(X = 21)$ et $P(X < 3)$. Interpréter ces résultats.
+                \item Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$ puis interpréter.
+                \item Déterminer $a$ tel que $P(X < a) < 0.025$. % a = 12
+                \item Déterminer $b$ tel que $P(X > b) < 0.025$. % b = 24
+                \item En déduire un intervalle $I$ tel que $P(X\in I) > 0.95$. On nomme $I$ \textit{l'intervalle de fluctuation au niveau 95\%}.
+                \item Interpréter le sens de $I$ dans le contexte de la population.
+            \end{enumerate}
+        \item \textbf{Application - appartenance à la population:} On considère quatre échantillons de 30 individus
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{itemize}
+                    \item Échantillon 1: $17\triangle$ et $13\square$
+                    \item Échantillon 2: $14\triangle$ et $16\square$
+                    \item Échantillon 3: $11\triangle$ et $19\square$
+                    \item Échantillon 4: $25\triangle$ et $5\square$
+                \end{itemize}
+            \end{multicols}
+            Quels sont les échantillons que l'on peut considéré comme issus de la population étudiée à la question 1 avec un niveau de confiance de 95\%?
+        \item \textbf{Simulation de l'échantillonnage:} Cette partie se fait avec le tableur. Vous êtes en charge de l'organisation de votre feuille de calcul.
+            \begin{enumerate}
+                \item Simuler la sélection de 30 individus puis calculer le nombre de $\triangle$ dans ce groupe.
+                \item Reproduire cette sélection 100 fois.
+                \item Tracer le nuage de points des effectifs de $\triangle$ pour les 100 simulations.
+                \item Sur le graphique placer l'intervalle de fluctuation trouvé dans la partie 1. 
+                \item Compter le nombre de simulations dont les effectifs sont en dehors de cet intervalle puis leur fréquence. Que peut-on en conclure?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Parité d'une entreprise}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Dans le tableau ci-dessous ont été reporté les effectifs de différentes entreprises.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|*{5}{p{1.4cm}|}}
+            \hline
+            Entreprise&  1  &  2 &  3 &  4 &  5 \\
+            \hline
+            Femmes & 400 & 450 & 1080 & 900 & 70 \\
+            \hline
+            Hommes & 600 & 550 & 920 & 1100 & 50 \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+
+    On souhaiterait déterminer quels sont les entreprises qui respectent la parité.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Définir succinctement la notion de parité.
+        \item Construire un modèle mathématique qui permettrait de donner un cadre pour déterminer si une entreprise respecte la parité.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Défaillance d'une machine}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Dans des conditions d'usage normale, une machine produit en moyenne 90\% de pièces conformes.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|*{5}{p{1.4cm}|}}
+            \hline
+            Entreprise&  Lundi  &  Mardi &  Mercredi &  Jeudi &  Vendredi \\
+            \hline
+            Pièces conformes & \np{50 340} & \np{49 000} & \np{47 000} & \np{54 050} & \np{33 560} \\
+            \hline
+            Total & \np{60 000} & \np{55 000} & \np{55 000} & \np{60 000} & \np{40 000} \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+
+    Construire une modèle mathématique qui permettrait de déterminer les jours où la machine a disfonctionné et où une maintenance a été nécessaire.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Travail bilan}, step={6}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Dans ce travail, vous allez chercher à appliquer tout ce qui a été vu sur la loi binomiale à une situation issue de l'une de vos spécialités. Vous reprendrez ensuite les étapes de l'exercice 1 que vous adapterez à la situation choisie.
+
+    Grille de notation:
+
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Théorie (sur 6points)}:
+            \begin{itemize}
+                \item (Modélisation) Description du cadre et explications de la modélisation de la situation par la loi binomiale. \dotfill 1pt
+                \item (Calculer) Calculs de 3 probabilités \dotfill 1pt
+                \item (Calculer) Calculer l'espérance \dotfill 1pt
+                \item (Calculer) Construction de l'intervalle de fluctuation \dotfill 1pt
+                \item (Modélisation) Interprétation des valeurs calculées. \dotfill 2pts
+            \end{itemize}
+        \item \textbf{Application (sur 4points)}
+            \begin{itemize}
+                \item (Raisonner) Construction de 4 échantillons différents et pertinents. \dotfill 2pts
+                \item (Raisonner) Déterminer la conformité des échantillons au modèle puis en tirer les conclusions. \dotfill 2pts
+            \end{itemize}
+        \item \textbf{Simulation (sur 4points)} Partie faite avec le tableur. Pas de nécessité de rédiger pour expliquer ce qui a été fait.
+            \begin{itemize}
+                \item Formule pour simuler un individus \dotfill 1pt
+                \item Simulation d'un échantillon avec un total \dotfill 1pt
+                \item Répétition pour pour 100 échantillons \dotfill 1pt
+                \item Graphique des résultats et visualisation de l'intervalle d'échantillonnage \dotfill 1pt
+            \end{itemize}
+        \item \textbf{Général}
+            \begin{itemize}
+                \item (Communiquer) Claveté des calcules et des explications \dotfill 2pts
+                \item (Communiquer) Rigueur mathématique \dotfill 2pts
+            \end{itemize}
+    \end{itemize}
+    Vous pouvez demander à présenter vos travaux à l'oral. Cela sera valorisé par une deuxième note sur le sujet.
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/index.rst

@@ -2,66 +2,114 @@ Binomiale et echantillonnage
 ############################
 
 :date: 2020-10-28
-:modified: 2020-10-28
+:modified: 2020-12-17
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilité, Échantillonnage, Binomiale
 :category: Complementaire
 :summary: Modélisation et formalisation d'expériences répétées et échantillonnage.
 
-Étape 1: Simulation de la suréservation
+Étape 1: Prise en main des variables aléatoires
+===============================================
+
+Cours sur les variables aléatoires à recopier avant le cours.
+
+.. image:: ./1B_variables_aleatoires.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: définitions sur les variables aléatoires discrètes.
+
+Exercices de bases sur les probabilités discrètes.
+
+.. image:: ./1E_esperance.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices de bases sur les probabilités.
+
+Étape 2: Simulation de la suréservation
 =======================================
 
 Activité avec le tableur où l'on essaie de simuler une situation de suréservation d'un avion.
 
-.. image:: ./1E_surreservation.pdf
+.. image:: ./2E_surreservation.pdf
     :height: 200px
     :alt: Simulation avec le tableur de la surréservation d'avions.
 
 Bilan: définitions de loi de Bernoulli et de la loi binomiale (caractères pour modéliser et représentation par un arbre).
 
-.. image:: ./1B_bernoulli_binomiale.pdf
+.. image:: ./2B_bernoulli_binomiale.pdf
     :height: 200px
     :alt: Cours sur la loi de bernoulli et la loi binomiale.
 
-Étape 2: Étude de situations aléatoires et répétées
+Étape 3: Étude de situations aléatoires et répétées
 ===================================================
 
 Plusieurs situations pouvant être modélisées ou pas par une loi binomiale où l'on demande sur des petits arbres de calculer des probabilités.
 
-.. image:: ./2E_modelisation.pdf
+.. image:: ./3E_modelisation.pdf
     :height: 200px
     :alt: Éxercices de modélisation avec la loi binomiale.
 
-Cours: formule de calcul de probabilité pour la loi binomiale et graphique pour les représenter.
 
-Étape 3: Augmenter le nombre de répétitions
+Étape 4: Augmenter le nombre de répétitions
 ===========================================
 
-Trouver une activité pour introduire ces coefficients binomiaux.
-
 On reprend des situations à modéliser avec une loi binomiale mais à présent les arbres sont trop gros pour être dessiné. Il faut utiliser les coefficients binomiaux.
 
-Cours: triangle de Pascal et coefficients binomiaux. Formules d'espérance et d'écart-type?
-
-Étape 4: Bilan sur la loi binomiale
-===================================
-
 Exercices mobilisant tout ce qui a été vu avant. On en profitera pour faire une étude théorique de la situation de suréservation simulée au début de la séquence.
 
-Cette séquence pourra faire l'objet d'un travail de groupe puis d'une présentation finale.
+.. image:: ./4E_coef_bino.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur les coefficients binomiaux et le calcul de proba avec la loi binomiale.
 
-Étape 5: Comportement "normale" d'une situation aléatoire
-=========================================================
+Cours: triangle de Pascal et coefficients binomiaux. Formules d'espérance et d'écart-type?
 
-Étude théorique du comportement d'une pièce équilibré et autres situations similaires qui mènent à la recherche d'une intervalle de fluctuation.
+.. image:: ./4B_coefBino_formule.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur les coefficients binomiaux et la formule de calculs de probabiltés
 
-Cette séquence pourra faire l'objet d'un travail de groupe puis d'une présentation finale.
+Cours: Représentation graphique et propriétés
 
-Cours: définition de l'intervalle de fluctuation
+.. image:: ./4B_calc_esp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Représentation graphique, propriétés et utilisation de la caluclatrice
 
-Étape 6: Prise de décision
-==========================
 
-Validation de l'appartenance d'un échantillon à une population globale.
+Étape 5: Intervalle de fluctuation
+==================================
+
+Premier exercice reprendre le construction d'un intervalle de fluctuation et la simulation pour l'illustrer. Les deux suivants porteront sur des applications de cet intervalle. 
+
+
+.. image:: ./5E_echantillonnage.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur l'intervalle de fluctuation.
+
+`Vidéo correction de la première partie de l'exercice "Prise de décision" <https://video.opytex.org/videos/watch/bc2af33e-cd12-4889-9a1f-4084179a7002>`_
+
+Étape 6: Bilan général
+======================
+
+Les élèves devront à partir de leur spécialité trouver une situation d'application de l'intervalle de fluctuation pour créer un test et faire des simulations. Ce travail amènera les élèves à faire un dossier pour présenter la situation et la simulation et à faire une présentation orale.
+
+.. image:: ./6E_dossier.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Dossier bilan sur l'intervalle de fluctuation.
+
+Exemples de thèmes:
+
+Divers:
+
+- Vérifier si une pièce/dé est équilibrée
+
+SVT:
+
+- Déterminer s'il y a un taux anormalement élevé de malade dans une ville
+- Selon la théorie de Mendel, certaines cosses de petits pois devraient fournir des petits pois jaunes et verts dans les proportions respectives de 75% et 25%. On souhaite tester l’hypothèse selon laquelle la proportion des pois jaunes est p=0.75 ..
+- Des êtres vivants ont normalement ...% de chance de partager un allèle. On étudie un échantillon que l'on soumet à des pressions extérieurs et on observe si cette proportion change.
+
+Sociologie:
+
+- Tester la vérité d'un slogan publicitaire "...% des acheteurs sont satisfaits"
+- Est-ce que la covid a été mieux gérée pas les pays gouvernée par des femmes ?
+- Est-ce que la mise en place d'une politique a eu un impact sur la proportion de chômeurs?
+- Est-ce que la mise en place d'une méthode de management a changer la perception du bien être chez en employés?
+- Mobilité sociale est-ce qu'un catégorie sociale a plus de chance de devenir cadre que le reste de la population?
 
-Cours: Prise de décision.

Complementaire/02_Inference_Baysienne/1B_notation.tex

@@ -0,0 +1,119 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Notations}
+
+\subsection*{Les ensembles}
+
+Soit $E$ un ensemble et $A$ et $B$ deux sous ensemble de $E$.
+
+\begin{center}
+    \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/ensembles}
+\end{center}
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Complémentaire de $A$} contient tous les éléments qui n'ont pas les caractéristiques de $A$.
+
+        \begin{center}
+            \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/Abar}
+        \end{center}
+
+    \item \textbf{Intersection de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{ET} de $B$.
+
+        \begin{center}
+            \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/inter}
+        \end{center}
+
+    \item \textbf{Union de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{OU} de $B$.
+
+        \begin{center}
+            \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/union}
+        \end{center}
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Cardinal d'un ensemble}
+
+\begin{definition}{Cardinal}
+
+    Soit $E$ un ensemble. On appelle \textbf{cardinal} (ou effectif) de $E$ le nombre d'éléments de $E$. On note
+    \[
+        \mbox{Card}(E) = \# E
+    \]
+    
+\end{definition}
+
+\pagebreak
+
+\subsection*{Les probabilités}
+
+\begin{definition}{Probabilités conditionnelles}
+    Soit $A$ et $B$ deux ensembles d'un population totale $E$ avec $A$ un ensemble non vide. 
+
+    \begin{itemize}
+        \item Probabilités de l'évènement $A$
+            \[
+                P(A) = \frac{\mbox{Effectif de $A$}}{\mbox{Effectif total}} = \frac{\# A}{\# E}
+            \]
+        \item Probabilités de l'évènement $B$ sachant $A$
+            \[
+                P_A(B) = \frac{\mbox{Effectif des éléments qui sont dans $A$ et $B$}}{\mbox{Effectifs des éléments qui sont dans $A$}} = \frac{\#(A\cap B)}{\# A}
+            \]
+            \begin{center}
+                \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/condi_A}
+            \end{cente}
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\paragraph{Exemple}~\\
+
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+    \begin{tabular}{|*{4}{c|}}
+        \hline
+         & Homme & Femme & Total \\
+        \hline
+        Employé & 10 & 15 & 25 \\
+        \hline
+        Vacataire & 14 & 17 & 31 \\
+        \hline
+        Total & 24 & 32 & 56 \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+    On note
+    \[
+        A = \left\{ \mbox{Homme} \right\} \qquad 
+    \]
+    \[
+        B = \left\{ \mbox{Employé} \right\} \qquad 
+    \]
+\end{minipage}
+
+\bigskip
+On choisit au hasard une personne de cette entreprise.
+
+\[
+    P(A) = 
+    \]
+Interprétation:
+\[
+    P_A(B) = 
+    \]
+Interprétation:
+   \bigskip 
+
+\afaire{}
+
+
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/1E_probabilite_conditionnelle.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
+\date{février 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=1,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/2B_vocabulaire.tex

@@ -0,0 +1,75 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{qrcode}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Tests Bayésiens}
+
+Un test bayésien permet d'affiner la vraisemblablité d'hypothèses. La vraisemblablité sont modélisées par des probabilités.
+
+On part d'un \textbf{a priori} (notre évaluation de la vraisemblablité des hypothèses avant le test). Puis nous faisons le test ce qui permet d'ajuster la vraisemblablité des hypothèses. Nous obtenons un \textbf{a posteriori}.
+
+\begin{center}
+    \includegraphics[scale=1]{./fig/test_baysien}
+\end{center}
+
+\subsection*{Test médical}
+
+Étudions l'intérêt d'un test médical. Pour faire simple, on considèrera que l'on est soit \textbf{malade} soit pas malade et que le test donne deux résultats possibles \textbf{positif} ou négatif. On notera alors
+\[
+    A = \left\{ \mbox{Malade} \right\} \qquad \qquad B = \left\{ \mbox{Test positif} \right\}
+\]
+\paragraph{Paramètres du test:}
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Sensibilité}: la probabilité que le test soit positif sachant que l'on est malade
+        \[
+            P_A(B) = 0.9
+        \]
+    \item \textbf{Spécificité}: la probabilité que le test soit négatif sachant que l'on est pas malade
+        \[
+            P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0.99
+        \]
+\end{itemize}
+\paragraph{A priori:} on estime que 1\% de la population est malade. On appelle cela la \textbf{la prévalence} d'un maladie. On peut noter
+\[
+    P(A) = 1\% = 0.01
+\]
+J'ai donc une chance sur 100 d'avoir cette maladie.
+\paragraph{Mise en situation:} On fait un test qui est positif. Comment réévaluer la probabilité d'être malade? C'est à dire connaître
+\[
+    P_B(A) = ?
+\]
+
+Imaginons une population de 1000 individus. En respectant les proportions, on peut construire le tableau des effectifs:
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{|*{4}{p{3cm}|}}
+        \hline
+        & Test positif ($B$) & Test négatif ($\overline{B}$) & Total \\
+        \hline
+        Malade ($A$) & & & \\
+        \hline
+        Pas malade ($\overline{A}$) & & & \\
+        \hline
+        Total & & & 1000 \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+\afaire{Compléter le tableau et calculer la probabilité cherchée}
+
+
+\envideo{https://www.youtube.com/watch?v=3FOrWMDL8CY}{Monsieur Phi - Loi de Bayes - argument frappant}
+
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/2P_tests.tex

@@ -0,0 +1,88 @@
+\documentclass[12pt]{classPres}
+\usepackage{tkz-fct}
+
+\author{}
+\title{}
+\date{}
+
+\begin{document}
+\begin{frame}{Tests médicaux}
+    \begin{center}
+        \vfill
+        Terminale Maths complémentaires
+        \vfill
+        Tests médicaux
+        \vfill
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Paramètres d'un test}
+    Test de dépistage anti covid
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Sensibilité} - probabilité qu'une personne infectée soit testée positive - vrai positifs
+            \[
+                70\%
+            \]
+        \item \textbf{Spécificité} - probabilité qu'une personne saine soit testée négative - vrai négatifs
+            \[
+                95\%
+            \]
+    \end{itemize}
+    \pause
+    Je suis testé positif. Suis-je infecté?
+    \pause
+
+    Est-ce que la proportion d'infectés autour de moi influence la réponse?
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Cas extrême}
+    \vfill
+    Imaginons 3 cas différents (a priori)
+    \vfill
+    \begin{itemize}
+        \item J'ai aucune chance d'être contaminé.
+        \item J'ai une chance sur \np{100} d'être contaminé
+        \item J'ai une chance sur 2 d'être contaminé
+    \end{itemize}
+
+    \vfill
+    Je suis testé positif. Suis-je infecté?
+    \pause
+    \vfill
+    Évaluer votre certitude d'être infecté.
+    \[
+        > 10\% \qquad > 50\% \qquad > 90\% \qquad > 99\%
+    \]
+    \vfill
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Données Covid}
+    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/resultat_test.jpg}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]{Scénario Orange}
+
+    Compléter le tableau en utilisant les données du test et du scénario orange.
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{}
+            \begin{tabular}{|*{4}{p{2.3cm}|}}
+                \hline
+                & Infecté  & Non infecté  & Total \\
+                \hline
+                Test positif  & & & \\
+                \hline
+                Test non positif  & & & \\
+                \hline
+                Total & & & 1000 \\
+                \hline
+            \end{tabular}
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+    Je suis positif. Quelle est la probabilité d'être infecté?
+
+    Reproduire ce travail pour les autres autres scénarios.
+
+\end{frame}
+
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/3B_formule_bayes.tex

@@ -0,0 +1,115 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{qrcode}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Formule de Bayes}
+
+\subsection*{Arbre de probabilité}
+Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
+
+    Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
+
+\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+    \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
+        \node {.} 
+        child [red]  {node {$A$}
+            child {node {$B$} 
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(B)$}
+            }
+            child [black] {node {$C$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(C)$}
+            } 
+            child [black] {node {$D$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(D)$}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {$P(A)$}
+        }
+        child[missing] {}
+        child[missing] {}
+        child { node {$\overline{A}$}
+            child {node {$B$} 
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
+            }
+            child [black] {node {$C$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
+            } 
+            child [black] {node {$D$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {$P(\overline{A})$}
+        }%
+        ;
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    \begin{itemize}
+        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. 
+
+            On a alors
+            \[
+                P(A) + P(\overline{ A }) = 1 
+            \]
+            ou encore
+            \[
+                P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
+            \]
+        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. 
+
+            On a alors (chemin rouge)
+            \[
+                P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
+            \]
+            Ou encore 
+            \[
+                P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
+            \]
+        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. 
+
+            C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
+            \[
+                P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
+            \]
+            ou
+            \[
+                P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
+            \]
+    \end{itemize}
+\end{minipage}
+
+\begin{definition}[ Formule de Bayes ]
+    Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)$ non nul, Alors
+    \[
+        P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}
+    \]
+\end{definition}
+
+\paragraph{Démonstration} \afaire{Démontrer la formule de Bayes à partir de la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }$.}
+
+\paragraph{Exemple}
+En utilisant les données et les notations de le l'exemple précédent, calculer la probabilité d'être malade sachant que l'on est positif.
+
+\afaire{}
+
+
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/3E_ADN_Sophisme.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Exercice}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/4P_des.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\documentclass[12pt]{classPres}
+\usepackage{tkz-fct}
+
+\author{}
+\title{}
+\date{}
+
+\begin{document}
+\begin{frame}{Deviner le dé}
+    \begin{center}
+        \vfill
+        Terminale Maths complémentaires
+        \vfill
+        Chercher un dé
+        \vfill
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Situation}
+    Six dés possibles: \includegraphics[scale=0.5]{./fig/des.png}
+    \pause
+    \begin{center}
+        Un dé est choisi.
+    \end{center}
+    \textbf{A priori}:
+    \pause
+    \begin{center}
+        Le dé est lancé, le résultat est 5.
+    \end{center}
+    \pause
+    Nouvelle estimation de la probabilité de chaque dé.
+
+    \textbf{A posteriori}:
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Répétition du processus}
+    \begin{center}
+        \includegraphics[scale=0.5]{./fig/evo_proba_des.png}
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/5E_annales.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Exercice}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/exercises.tex

@@ -0,0 +1,286 @@
+\collectexercises{banque}
+\begin{exercise}[subtitle={Vrai-Faux}, step={1}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    Dans le tableau ci-dessous, on a trier les élèves en fonction de leur note au bac et au bac blanc.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|>{\columncolor{highlightbg}}c|*{2}{p{4cm}|}|p{4cm}|}
+            \hline
+            \rowcolor{highlightbg}
+            Bac \backslash Bac Blanc & Moins de la moyenne & Plus de moyenne & Total\\
+            \hline
+            Moins de la moyenne & 30 & 300 & 60\\
+            \hline
+            Plus de la moyenne & 20 & 70 & 90\\
+            \hline
+            Total & 50 & 100 & 150\\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+
+    On choisit au hasard un jeune parmi ceux interrogés.  On note $A = \left\{ \mbox{Plus de la moyenne au bac blanc} \right\}$ et $B = \left\{ \mbox{Moins de la moyenne au bac blanc} \right\}$.
+
+    Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
+    \begin{enumerate}
+        \item La probabilité qu'un élève ait plus de moyenne au bac blanc est supérieur à 30\%.
+        \item La probabilité qu'il ait la moyenne au bac blanc mais pas au au bac est de moins de 0.1.
+        \item La probabilité qu'il n'ait pas la moyenne au bac et pas la moyenne au bac blanc est de $\frac{1}{5}$.
+        \item La probabilité qu'il ait la moyenne au bac blanc ou au bac est de plus de 70\%.
+        \item La probabilité qu'un élève qui a eu la moyenne au bac blanc ait ensuite la moyenne au bac est de 0.6.
+        \item La probabilité qu'un élève qui n'a pas eu la moyenne au bac blanc ne l'ait toujours pas au bac est de 50\%.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Moyen de paiement}, step={1}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    Le gérant d'une grande enseigne de distribution a commandé une étude statistique des moyens de paiement de ses clients. Les résultats ont été représenté dans l'arbre ci-dessous.
+
+    \bigskip
+    \begin{tikzpicture}[sloped]
+        \node {.} 
+        child {node {Moins de 20\euro}
+            child {node {Espèce} 
+                edge from parent
+                node[above] {0.6}
+            }
+            child[missing] {}
+            child {node {Paiement sans contact}
+                edge from parent
+                node[above] {0.3}
+            } 
+            child[missing] {}
+            child {node {Carte bleu}
+                edge from parent
+                node[above] {0.1}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {0.4}
+        }
+        child[missing] {}
+        child[missing] {}
+        child[missing] {}
+        child[missing] {}
+        child[missing] {}
+        child { node {Plus de 20\euro}
+            child {node {Espèce} 
+                edge from parent
+                node[above] {0.4}
+            }
+            child[missing] {}
+            child {node {Paiement sans contact}
+                edge from parent
+                node[above] {0.1}
+            } 
+            child[missing] {}
+            child {node {Carte bleu}
+                edge from parent
+                node[above] {0.5}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {0.6}
+        } ;
+    \end{tikzpicture}
+    \bigskip
+
+    On sélectionne un client de cette enseigne au hasard. On note 
+    \[
+        M = \left\{ \mbox{ Moins de 20\euro } \right\} \qquad  E = \left\{ \mbox{ Espèce }\right\} \qquad B = \left\{ \mbox{ carte bleu }\right\}
+    \]
+    Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
+    \begin{enumerate}
+        \item La probabilité qu'un client achète pour plus de 20\euro est de 0.6.
+        \item Si l'achat est de moins de 20\euro, il y a une probabilité de 10\% qu'il soit fait en paiement sans contact.
+        \item Si les achats sont de plus de 20\euro, la probabilité qu'il ait été fait avec de l'espèce est de 0.4.
+        \item La probabilité qu'un achat soit de plus de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 90\%.
+        \item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 0.2.
+        \item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec de l'espère est de 1.
+        \item La probabilité ait été payé avec le paiement sans contact est de 72\%.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Tests ADN}, step={2}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    \begin{doc}{Tests ADN}
+        Le test ADN le plus répandu consiste en l’analyse de micro-sites. Ces régions de l’ADN sont situées dans des parties non codantes, qui varient beaucoup d’un individu à l’autre (on parle de polymorphisme). La forme de chaque micro-site est commune à environ \%5 de la population. Mais la carte complète formée par l’analyse de 11 à 16 micro-sites testés est presque unique, une sorte de « code barre génétique » à ceci près qu’il n’est pas garanti que deux personnes aient forcément des codes barres génétiques différents.
+
+        Et c’est là qu’il faut être prudent : tester n’est pas identifier ! Partant de deux échantillons, un test positif donne une probabilité qu’ils proviennent de la même personne. Un test négatif permet d’avoir la certitude que ce n’est pas le cas.
+
+        On aboutit ainsi à une sorte de paradoxe assez impressionnant : plus on augmente la taille du fichier, plus on est sûr qu’il contiendra des doublons ! Ce qui veut dire que, même si on arrive à un test très fiable (disons une chance sur quelques millions d’avoir le même profil qu’une autre personne), en fichant tout le monde (en fait quelques dizaines milliers suffisent) on est sûr d’avoir des doublons.
+
+        En matière de justice, le test ADN est avant tout une confirmation (ou une infirmation) d’une enquête déjà menée, et non un moyen de trouver des coupables. Ficher tout le monde, outre les problèmes éthiques que cela pose, serait avant tout une porte ouverte à l’arbitraire et à l’injustice.
+
+        \textit{Source: } \url{http://images.math.cnrs.fr/Coincidences.html?lang=fr}
+
+    \end{doc}
+    \vspace{-0.7cm}
+    \begin{doc}{Fichier FNAEG}
+        En France, le Fichier national automatisé des empreintes génétiques (FNAEG), mis en œuvre par le ministère de l'Intérieur français sous le contrôle du ministère de la Justice, gère les empreintes génétiques utiles à la résolution d'enquêtes visant les criminels, les délinquants mais pas les contrevenants. Il est déclaré à la Commission nationale de l'informatique et des libertés.
+
+        Nombre de profils en 2018: \np{3 480 000}.
+
+        \textit{Source: Wikipedia - Fichier national automatisé des empreintes génétiques} 
+    \end{doc}
+    \vspace{-0.5cm}
+    On cherche à comprendre le sens du dernier paragraphe du document 1. Pour cela, on réalise un prélèvement ADN sur le lieu d'un crime et on suppose que le criminel est déjà enregistré dans le fichier FNAEG.
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la probabilité \textbf{a priori} qu'un profil pris au hasard soit bien celui du criminel?
+        \item D'après le document 1, déterminer la sensibilité et la spécificité du test ADN présenté.
+        \item On sélectionne un profil au hasard dans le fichier. Le test est positif, quel est la probabilité qu'il soit le criminel?
+        \item Commenter le dernier paragraphe du document 1 au vu des calculs que vous avez réalisés.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Sophisme du procureur}, step={2}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    \setcounter{doc}{0}
+    \begin{doc}{Sally Clark}
+    Sally Clark (née en août 1964 et morte le 15 mars 2007) est une avocate anglaise qui fut victime d'une erreur judiciaire. Elle fut accusée d'avoir tué ses deux nourrissons sur la base entre autres d'une mauvaise utilisation de la statistique.
+
+    Le procès se base sur un diagnostic de syndrome de Münchhausen par procuration par le pédiatre Roy Meadow, fondé sur une démarche statistique incorrecte. Il prétend en effet que les chances que deux enfants d'une famille riche subissent une mort subite du nourrisson sont d'une pour 73 millions (résultat auquel il arrive en se basant sur un chiffre tirée d'une étude qui affirme la probabilité qu'une famille aisée non-fumeuse dont la mère est âgée de plus de 26 ans fasse face à la mort de leur bébé soit de 1 sur \np{8500}.).
+
+    \textit{Source: Wikipedia - Sally Clark}
+    \end{doc}
+    \vspace{-0.7cm}
+    \begin{doc}{Sophisme du Procureur}
+        Sally Clark fut condamnée pour meurtre en 1999, suite à quoi la Royal Statistical Society publia un communiqué mettant en évidence les erreurs statistiques du raisonnement. En 2004, Ray Hill, un professeur de mathématiques de l'Université de Salford publia un article estimant les probabilités de chacune des hypothèses4, concluant que l'hypothèse du double accident était entre 4,5 et 9 fois plus probable que celle du double meurtre.
+
+On découvrit que les rapports d'autopsie des deux enfants avaient ignoré des éléments à décharge, et une cour d'appel invalida le jugement et innocenta Sally Clark le 29 janvier 20035. Malheureusement, les trois années que Sally Clark passa injustement en prison causèrent chez elle de nombreux troubles psychiatriques, en particulier l'alcoolisme, ce qui causa sa mort en 2007.
+    \textit{Source: Wikipedia - Sophisme du Procureur}
+    \end{doc}
+    \vspace{-0.7cm}
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer comment le pédiatre arrive au chiffre de 1 sur 73 milions. Pourquoi ce chiffre est critiquable?
+        \item Le nombre annoncé par la Royal Statistical Society est qu'il y a a priori une chance sur 500 milions qu'un double infanticide arrive en Angleterre. Estimer d'après les nombres donnés dans l'exercice, la probabilité que, sachant que Sally Clark ait vu ses 2 enfants mourir, elle soit coupable de double infanticide.
+    \end{enumerate}
+
+    Explication vidéo \url{https://peertube.noussommes.org/videos/watch/playlist/cf21ffd6-9b0d-4339-9c22-db71afbf8d4d?playlistPosition=29}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Aéroport}, step={5}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
+
+    On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
+
+    \begin{itemize}
+    \item $S$ l'événement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
+    \item $M$ l'événement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
+    \end{itemize}
+
+    On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que
+
+    \begin{itemize}
+    \item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
+    \item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
+    \end{itemize}
+
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        \begin{enumerate}
+            \item  À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
+            \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
+            \item Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.
+            \item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[sloped]
+            \node {.} 
+            child {node {$M$}
+                child {node {$S$} 
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{S}$}
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+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child[missing] {}
+            child { node {$\overline{M}$}
+                child {node {$S$}
+                    edge from parent
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+                }
+                child {node {$\overline{S}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Sponsort}, step={5}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+        Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de
+        traversée de l'Atlantique à la voile.
+
+        \emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}
+
+        Une entreprise nommée \og Régate \fg, s'intéresse aux résultats de ce navigateur.
+
+        La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.
+
+        Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.
+
+        Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.
+
+        On note $M$ l'évènement \og la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours \fg et $F$ l'évènement \og l'entreprise sponsorise le navigateur \fg.
+
+        \begin{enumerate}
+            \item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
+            \item  Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la
+                prochaine course est $0,428$.
+            \item  L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
+
+                Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins
+                de $6$ jours.
+        \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Paiements}, step={5}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+        Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent
+        régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
+        la transaction est inférieur ou égal à 30~\euro) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant
+        de la transaction).
+
+        Il remarque que 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro. Parmi eux :
+        \begin{itemize}
+            \item 40\,\% paient en espèces;
+            \item 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
+            \item les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
+        \end{itemize}
+        Et que 20\,\% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30~\euro. Parmi eux :
+        \begin{itemize}
+            \item 70\,\% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
+            \item les autres paient en espèces.
+        \end{itemize}
+        On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
+
+        On considère les évènements suivants :
+
+        $V$ : \og le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro \fg ;
+
+        $E$ : \og le client a réglé en espèces\fg ;
+
+        $C$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret\fg ;
+
+        $S$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact \fg.
+
+        \medskip
+
+        \begin{enumerate}
+            \item 
+                \begin{enumerate}
+                    \item Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant
+                        $V$ notée $P_V(S)$.
+                    \item Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
+                \end{enumerate}
+            \item
+                \begin{enumerate}
+                    \item Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$~\euro{} et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
+                    \item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte
+                        bancaire en utilisant l'un des deux modes\fg{} est égale à $0,62$.
+                \end{enumerate}
+        \end{enumerate}
+\end{exercise}
+\collectexercisesstop{banque}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/fig/ensembles.svg

@@ -0,0 +1,274 @@
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+</tspan></tspan><tspan
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+      <text
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+      <text
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+           id="tspan931-5"
+           x="91.437202"
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+         id="path974-9" />
+    </g>
+  </g>
+</svg>

Complementaire/02_Inference_Baysienne/index.rst

@@ -0,0 +1,77 @@
+Inférence Bayésienne
+####################
+
+:date: 2021-03-15
+:modified: 2021-04-01
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: Probabilité, Bayes
+:category: Complementaire
+:summary: Inférence Bayésienne et probabilités conditionnelles
+
+Étape 1: Prise en main des probabilités conditionnelles
+=======================================================
+
+Vrai/faux sur des données représentées sous forme d'un tableau puis d'un arbre
+
+.. image:: ./1E_probabilite_conditionnelle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Vrai/Faux sur un tableau et un arbre
+
+Bilan: Notations ensemblistes et calculs de probabilités.
+
+.. image:: ./1B_notation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur les notations ensemblistes et les calculs de probabilités
+
+Étape 2: Étonnement sur les tests
+=================================
+
+Début de cours discuté (sous la forme de https://www.youtube.com/watch?v=3FOrWMDL8CY). 
+
+En groupe, justification des valeurs avancées dans le document. Explications pour chaque scénario.
+
+.. image:: ./fig/resultat_test.jpg
+    :height: 200px
+    :alt: Résultats des tests covid
+
+Conclusion sur l'utilité d'un test comme outils pour affiner un  a priori.
+
+Bilan: Reprise d'un exemple traité et vocabulaire associé aux tests. On reprendra le schéma des tests pour représenter la mise à jour de la vraisemblance.
+
+.. image:: ./2B_vocabulaire.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Vocabulaire autour des tests
+
+Étape 3: Application aux tests ADN
+==================================
+
+Utilisation des probabilités conditionnelles pour comprendre les tests ADN et le sophisme du procureur.
+
+.. image:: ./3E_ADN_Sophisme.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Description
+
+Bilan: Formule de Bayes
+
+.. image:: ./3B_formule_bayes.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Formule de Bayes
+
+Étape 4: Quel dé a été choisi?
+==============================
+
+On a 6 dés avec 4, 6, 8, 10, 12 et 20 faces. Quelqu'un en choisi un secrètement, le lance, annonce le score et on doit chercher à deviner quel dé a été lancé.
+
+.. image:: ./4P_des.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Retrouver le dé choisi.
+
+
+Étape 5: Retour sur des exercices classiques
+============================================
+
+Séries d'exercices d'annales de terminale ES sur les probabilités conditionnelles. On s'écarte du thème mais des élèves ont des concours à passer et c'est certainement ce qu'ils retrouveront l'année prochaine.
+
+.. image:: ./5E_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices d'annales du bac ES sur les probabilités conditionnelles

Complementaire/03_Logarithme/1B_exponentielle.tex

@@ -0,0 +1,162 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{La fonction exponentielle}
+
+\subsection*{Relation fonctionnelle}%
+
+\begin{definition}
+    Nomme $e$ le nombre d'Euler $e$ qui vaut environ $e\approx \np{2,718281828459}$.
+
+    \noindent
+    La fonction \textbf{exponentielle} est la fonction puissance de base $e$
+    \[
+        exp: x \mapsto e^x
+    \]
+    Cette fonction est définie sur $\R$.
+\end{definition}
+
+
+\begin{propriete}
+    La fonction exponentielle partage les propriétés suivantes avec toutes les fonctions puissances
+    \begin{itemize}
+        \item Valeur particulières
+            \[
+                exp(0) = e^0 =  1 \qquad \qquad exp(1) = e^1 = e
+            \]
+        \item Relations fonctionnelles
+            
+            Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels
+            \[
+                e^x \times e^y  = e^{x+y} \qquad \qquad
+                e^{-x}  = \frac{1}{e^{x}} \qquad \qquad
+                \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \qquad \qquad
+                (e^x)^y = e^{x\times y}
+            \]
+        \item Simplification des égalités
+
+            Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels alors
+            \[
+                e^x = e^y \equiv x = y
+            \]
+
+    \end{itemize}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+\begin{itemize}
+    \item Simplification des expressions 
+        \[
+            \frac{e^2\times e^3}{e^e} =  \qquad \qquad \qquad (e^3\timese^5)^3 = 
+        \]
+    \item Réduction d'expressions
+        \[
+            (1+e^x)(1-e^x) = 
+        \]
+    \item Factorisation
+        \[
+            3 e^x + (2x-1)e^x =
+        \]
+    \item Équations
+        \[
+            e^{3x + 1} = e^{2x - 3}
+        \]
+\end{itemize}
+\afaire{compléter les exemples}
+
+\subsection{Dérivée}
+
+\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
+La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
+\[
+    \forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
+\]
+    
+En particulier c'est LA fonction puissance qui vérifie $f'(0) = 1$.
+\end{propriete}
+
+
+\paragraph{Exemple de calcul}
+
+    Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
+\afaire{}
+
+Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
+
+On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
+
+\begin{propriete}
+    Soit $x$ et $y$ deux nombres réels alors
+    \[
+        e^x \leq e^y \equiv x \leq y
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Résolution d'inéquation} Résoudre l'inéquation
+\[
+    e^{-3x + 2} - 1 \geq 0
+\]
+
+\subsection*{Étude de la fonction}
+
+\begin{propriete}
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        \begin{itemize}
+            \item Elle est continue et dérivable sur $\R$
+            \item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
+        \end{itemize}
+        \begin{tikzpicture}
+            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
+            {$-\infty$, $+\infty$}%
+            \tkzTabVar{-/, +/}%
+        \end{tikzpicture}
+        \[
+            \lim_{x \rightarrow - \infty} e^x = \cdots
+            \qquad \qquad
+            \lim_{x \rightarrow + \infty} e^x = \cdots
+        \]
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
+            ymin=0,ymax=5,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
+            \tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+\subsection*{Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle}
+
+\begin{propriete}
+Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 
+
+Alors la fonction $f:x\mapsto e^{u(x)}$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
+\[
+    f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)}
+\]
+\end{propriete}
+
+\subsection*{Exemple}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = e^{-0.1x}$
+
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^{-0.1x}$
+
+\afaire{}
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/1E_exponentielle.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=1,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.tex

@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Logarithmes}
+
+Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.
+
+\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
+    Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
+    \[
+        \forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b)  = f(a) + f(b)
+    \]
+    Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
+\end{propriete}
+
+\begin{definition}[Logarithme népérien]
+    On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
+    \[
+        f(e) = 1
+    \]
+    On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.
+
+    On a en particulier 
+    \[
+        \ln(e) = 1
+    \]
+\end{definition}
+
+\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
+    \item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
+\end{itemize}
+
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/2E_table_log.tex

@@ -0,0 +1,51 @@
+\documentclass[a5paper 10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\usepackage{fp}
+\usepackage{ifthen}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\newcounter{mycount}
+
+\newcommand\tablelog{%
+\setcounter{mycount}{0}
+
+\begin{multicols}{6}
+    \whiledo{\value{mycount}<310}
+    {
+        \stepcounter{mycount}%
+        \stepcounter{mycount}%
+        \makebox[4em]{\themycount}% steps the counter and typesets the value of t
+        \FPln{\natlogoft}{\themycount}
+        \FPeval{\res}{round(\natlogoft, 3)}\res\\
+    }% calculates Ln(t) and typsets it
+\end{multicols}
+}
+
+\begin{document}
+
+% the counter for the loop
+% the command that stores logarithms
+
+\begin{center}
+    \textbf{Table du log en base $e$}
+\end{center}
+\tablelog
+
+
+\vfill
+
+\begin{center}
+    \textbf{Table du log en base $e$}
+\end{center}
+\tablelog
+
+
+% the counter for the loop
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/2P_sans_calculatrice.tex

@@ -0,0 +1,156 @@
+\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
+
+\setlength\columnsep{0pt}
+
+\title{Calculer sans calculatrices}
+\date{Avril 2021}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Calculs avant la calculatrice}
+    \begin{center}
+        \vfill
+        Terminale Maths complémentaires
+        \vfill
+        Logarithme
+        \hfill
+    \end{center}
+    
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Tous les chiffres sont-ils nécessaires?\\ Calculs babyloniens}
+    Faire les multiplications
+    \[
+        12\times 8 = \qquad\qquad 120 \times 80 = \qquad\qquad 1,2 \times 8 = 
+    \]
+    \[
+        0,0012\times 80 = \qquad\qquad 0,012 \times 0,8 = \qquad\qquad 1200 \times 0,8 = 
+    \]
+    \pause
+    La numération babylonienne ne permettait pas de faire la différence entre 12, 120, 1,2 ou 1200. Malgré cela, ils pouvaient faire des multiplications.
+
+    \pause
+    \begin{itemize}
+        \item Multiplication des deux nombres
+        \item Rectification de la \textit{mantisse}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Multiplications babyloniennes}
+    On donne
+    \[
+        13 \times 21 = 252
+    \]
+    Faire les multiplications suivantes
+    \[
+        1,3 \times 2,1 =  \qquad \qquad 1300 \times 0,21 = 
+    \]
+    \[
+        0,13 \times 2,1 =  \qquad \qquad 1300 \times 2100 = 
+    \]
+    \pause
+    Comment faire les multiplications de base?
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Table de Neper \\ Transformer des $\times$ en $+$}
+    \vfill
+    Faire la multiplication $8\times 32 = $
+    \vfill
+    \pause
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|*{9}{c|}}
+            \hline
+            Axe $\times$ & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 \\
+            \hline
+            Axe $+$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+
+    \vfill
+    \pause
+    Table du logarithme de base 2
+    \end{center}
+    \vfill
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Tables de logarithmes \\ ou table de Nepper}
+    \begin{center}
+    Table du logarithme de base 2
+        \begin{tabular}{|c|*{9}{c|}}
+            \hline
+            Axe $\times$ & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 \\
+            \hline
+            Axe $+$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+
+    \vfill
+    \end{center}
+    \begin{center}
+    Table du logarithme de base 10
+        \begin{tabular}{|c|*{9}{c|}}
+            \hline
+            Axe $\times$ & 0.001 & 0.01 & 0.1 & 1 & 10 & 100 & 1000 & 1000 \\
+            \hline
+            Axe $+$ & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+
+    \end{center}
+    \begin{center}
+    \vfill
+    Table du logarithme de base $e$
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Multiplications avec des additions}
+    \begin{itemize}
+        \item Calculs directs
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{itemize}
+                    \item $8 \times 22 = $
+                    \item $6 \times 32 = $
+                    \item $14 \times 22 = $
+                    \item $16 \times 18 = $
+                \end{itemize}
+            \end{multicols}
+        \item Calculs avec "l'astuce" des babyloniens
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{itemize}
+                    \item $0,08 \times 0,36 = $
+                    \item $600 \times 4400 = $
+                    \item $0,14 \times 140 = $
+                    \item $16000 \times 0,0014 = $
+                \end{itemize}
+            \end{multicols}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Les fonctions logarithmes}
+    \begin{block}{Propriété}
+        Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation 
+        \[
+            f(a\times b) = f(a) + f(b)
+        \]
+        Cette famille s'appelle les fonctions logarithmes.
+    \end{block}
+    
+    \vfill
+    \pause
+    \begin{block}{Exemples}
+        \begin{itemize}
+            \item Logarithme de base 10: $\log(x)$ avec $\log(10^x) = x$.
+            \item Logarithme de base 2: $\log_2(x)$ avec $\log_2(2^x) = x$.
+            \item Logarithme de base $e$: $\ln(x)$ avec $\ln(e^x) = x$.
+        \end{itemize}
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Complementaire/03_Logarithme/3B_echelles_log.tex

@@ -0,0 +1,104 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Logarithme népérien}
+
+Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.
+
+\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
+    Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
+    \[
+        \forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b)  = f(a) + f(b)
+    \]
+    Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
+\end{propriete}
+
+\begin{definition}[Logarithme népérien]
+    On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
+    \[
+        f(e) = 1
+    \]
+    On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.
+
+    On a en particulier 
+    \[
+        \ln(e) = 1
+    \]
+\end{definition}
+
+\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
+    \item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
+\end{itemize}
+
+\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
+        Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
+        \begin{eqnarray*}
+            ln(1) &=& 0\\
+            ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
+            ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
+            ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
+        \end{eqnarray*}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Démonstration}%
+\label{par:Démonstration}
+\afaire{Démontrer la première égalité en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ avec $a=b=1$ }
+\afaire{Calculer $\ln(a^2)$, $\ln(a^3)$ et $\ln(a^4)$ en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ pour vérifier la 2e égalité}
+
+\paragraph{Exemples d'utilisation}%
+
+
+
+\begin{definition}[Logarithme népérien]
+Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$.
+
+$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
+\[
+    e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b
+\]
+
+La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$
+    
+\end{definition}
+
+
+\subsection*{Valeurs particulières du logarithme}
+
+\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$}
+
+\subsection*{Propriétés}
+
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
+    \item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$
+\end{itemize}
+
+\section{Utilisation pour résoudre des équations}
+
+Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
+
+\subsection*{Propriétés}
+Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
+    \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
+    \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Exemple}
+\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/3E_echelle_log.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=3,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/3P_ordre_grandeur.tex

@@ -0,0 +1,77 @@
+\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
+
+\setlength\columnsep{0pt}
+
+\title{Ordre de grandeurs}
+\date{Avril 2021}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Ordre de grandeurs}
+    \begin{center}
+        \vfill
+        Terminale Maths complémentaires
+        \vfill
+        Logarithme
+        \hfill
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Regrouper le choses en fonction de leur taille}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{itemize}
+            \item Un chat
+            \item Un homme
+            \item La distance terre-lune
+            \item Le diamètre de la terre
+            \item Insecte
+            \item Un marathon
+            \item L'altitude du mont blanc
+            \item Diamètre d'un cheveux
+            \item Un virus
+            \item L'épaisseur de l'atmosphère
+        \end{itemize}
+    \end{multicols}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Multiplications babyloniennes}
+    On donne
+    \[
+        13 \times 21 = 252
+    \]
+    Faire les multiplications suivantes
+    \[
+        1,3 \times 2,1 =  \qquad \qquad 1300 \times 0,21 = 
+    \]
+    \[
+        0,13 \times 2,1 =  \qquad \qquad 1300 \times 2100 = 
+    \]
+    \pause
+    Comment faire les multiplications de base?
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Placer ces choses sur un axe en fonction de leur taille}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{itemize}
+            \item Un chat (20cm)
+            \item Un homme (1,7m)
+            \item La distance terre-lune (384 00km)
+            \item Le diamètre de la terre 6 378km)
+            \item Insecte (1mm)
+            \item Un marathon (42km)
+            \item L'altitude du mont blanc (8000m)
+            \item Diamètre d'un cheveux (0,05mm)
+            \item Un virus ($10^{-8}m$)
+            \item L'épaisseur de l'atmosphère (90km)
+        \end{itemize}
+    \end{multicols}
+\end{frame}
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.tex

@@ -0,0 +1,57 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+
+\section{Règles de calculs et équations avec les logarithmes}
+
+\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
+    Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
+    \begin{eqnarray*}
+        ln(1) &=& 0\\
+        ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
+        ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
+        ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
+    \end{eqnarray*}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Démonstration}%
+\label{par:Démonstration}
+\begin{itemize}
+    \item $\ln(1)  = 0$
+        \vspace{2cm}
+    \item $\ln(\frac{1}{a})  = -\ln(a)$
+        \vspace{2cm}
+\end{itemize}
+
+
+\paragraph{Exemples d'utilisation}%
+\afaire{Écrire sous la forme d'une seul logarithme $A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)$}
+\afaire{Démontrer l'égalité $\ln(6x) + \ln(\frac{x}{2}) +\ln(\frac{x}{3}) = 3\ln(x)$}
+
+
+Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
+
+\subsection*{Propriétés}
+Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
+    \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
+    \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Exemple}
+\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
+\afaire{Résoudre l'équation $\ln(2x+1) = 10$}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/4E_eq_manip.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=4,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/5B_fonction_ln.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{4}
+
+\section{Fonction logarithme}
+
+\begin{definition}
+    La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.
+
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        \begin{itemize}
+            \item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
+            \item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
+            \item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
+            \item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
+        \end{itemize}
+        \begin{tikzpicture}
+            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
+            {$0$, $+\infty$}%
+            \tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
+            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
+            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
+            \tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+
+\begin{propriete}
+    La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
+    \[
+        \forall x \in \intOO{0}{+\infty} \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
+    \]
+
+\end{propriete}
+
+On en déduit, pour tout $x > 0$:
+\begin{itemize}
+    \item $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
+    \item $\ln''(x) = \makebox[2cm]{\dotfill}$ et $\makebox[2cm]{\dotfill}$ alors la fonction logarithme est \dotfill
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Exemples de calculs}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = 2x + 1 - 4\ln(x)$
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)\ln(x)$
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x+1}{\ln(x)}$
+\afaire{}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/5E_fonction_ln.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/exercises.tex

@@ -0,0 +1,269 @@
+\collectexercises{banque}
+\begin{exercise}[subtitle={Manipulations techniques}, step={1}, origin={Créations}, topics={Logarithme}, tags={exponentielle, logarithme}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Mettre sous la forme $a\times e^b$
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
+                    \item $B=e^3 + 5e^3$
+                    \item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
+                    \item $D= e^4 - (3e^2)^2$
+                    \item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
+                    \item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+        \item Réduire les expressions
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
+                    \item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
+                    \item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
+                    \item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
+                    \item $E=e^{-x}(e^x-1)$
+                    \item $F=(e^x+1)^2$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+        \item Factoriser
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A = x^2e^x + 2e^x$
+                    \item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
+                    \item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+        \item Résoudre les équations et inéquations
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $e^{2x+1} = e^{x}$
+                    \item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
+                    \item $e^{2x+1} = e$
+                    \item $e^{-x} - 1\geq 0$
+                    \item $e^x(e^x-1) = 0$
+                    \item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
+            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
+            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
+
+    On fixe $\tau = 2$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
+        \item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
+        \item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
+        \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
+        \item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer et interpréter $c(0)$.
+        \item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
+        \item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
+        \item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
+        \item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={pH}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        L'image suivante illustre le lien entre le volume d'une solution données et son pH (une mesure de l'acidité).
+        \begin{enumerate}
+            \item À partir de l'image calculer le volume de la solution pour avoir un pH de 6, de 3 et de 2.
+            \item Représenter sur un graphique le lien entre le pH (en abscisse) et le volume de la solution (en ordonnée). À quelle problème êtes vous confronté?
+            \item Refaire le graphique mais cette fois-ci vous mettrez en ordonnée non pas le volume de la solution mais le logarithme du volume. Que peut-on dire de ce graphique?
+            \item On peut donc faire le lien entre le pH et le volume de la solution: $pH = \log(V)$. Comme la concentration, à quantité de $H_3O^+$ constante, est l'inverse de la concentration, on obtient la formule
+                \[
+                    pH = - \log( [H_3 0^+] )
+                \]
+                Démontrer cette formule.
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/pH}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Intensité sonore}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+    Correspondance entre l’augmentation de l’énergie sonore et son équivalent de niveau sonore en décibels (dB)
+        \begin{enumerate}
+            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec le niveau sonore en abscisse et l'énergie en ordonnée.
+            \item Estimer par combien faut-il multiplier l'énergie pour augmenter le niveau sonore de 15. De 30.
+            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec le niveau sonore en abscisse et le logarithme de l'énergie en ordonnée.
+            \item Refaire l'estimation.
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
+            \hline
+            Augmentation du niveau sonore de & Multiplication de l'énérgie sonore par \\
+            \hline 
+            3dB & 2 \\
+            5dB & 3 \\
+            6dB & 4 \\
+            7dB & 5 \\
+            8dB & 6 \\
+            9dB & 8 \\
+            10dB & 10 \\
+            20dB & 100 \\
+            \hline
+        \end{tabular}    
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Population mondiale}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{enumerate}
+            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec l'année en abscisse et la population en ordonnée.
+            \item Estimer la population en l'an 0 puis en 2000.
+            \item Représenter graphiquement ces données dans un repère avec l'année en abscisse et le logarithme de la population en ordonnée.
+            \item Refaire l'estimation.
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
+            \hline
+            Année & Population \\
+            \hline 
+            400 & 206 millions \\
+            1000 & 679 millions \\
+            1800 & 1,125 milliard \\
+            1900 & 1,762 milliard \\
+            1910 & 1,750 milliard \\
+            1920 & 1,860 milliard \\
+            1930 & 2,07 milliards \\
+            1940 & 2,3 milliards \\
+            1950 & 2,5 milliards \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{minipage}
+
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Équations puissances}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
+    Résoudre les équations et inéquation suivantes
+    \begin{multicols}{4}
+       \begin{enumerate}
+           \item $e^{x} = 5$
+           \item $e^{x} = 1$
+           \item $e^{x} = -10$
+           \item $e^{2x} = 3$
+
+           \item $e^{-3x} = 10$
+           \item $e^{5x+1} = 10$
+           \item $2e^{x} = 6$
+           \item $-3e^{x} = -9$
+
+           \item $4e^{x} + 1 = 6$
+           \item $-5e^{-x} + 1 = -1$
+           \item $4e^{x^2} - 3 = 6$
+           \item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
+       \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Équations logarithme}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
+    Résoudre les équations suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ln(x) = 4$
+            \item $\ln(x) + 1 = 0$
+            \item $5\ln(x) -3 = 5$
+            \item $\ln(x) =3\ln(5)$
+            \item $\ln(2x+3) = 0$
+            \item $(x+1)\ln(x) = 0$
+            \item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
+            \item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
+            \item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Manipulation d'expressions}, step={4}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
+    Démontrer les égalités suivantes
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ln(2e^3) + \ln(e) - \ln(2) = 4$
+            \item $\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(x^2+x)$
+            \item $\ln(x^2) + \ln(\frac{1}{x}) - \ln(2) = \ln(\frac{x}{2})$
+            \item $\ln(x^3) + \ln(\frac{e^2}{x}) = 2\ln(x) + 2$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique de $\ln$}, step={5}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
+        \item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
+        \item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
+        \item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
+            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
+            \item $f(x) = x\ln(x)$
+            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
+            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
+            \item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
+    \[
+        f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
+            \[
+                f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
+            \]
+        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
+        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
+        \item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
+        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={5}, topics={Logarithme}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
+    \[
+        f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
+            \[
+                f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
+            \]
+        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
+        \item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
+        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\collectexercisesstop{banque}

Complementaire/03_Logarithme/index.rst

@@ -0,0 +1,91 @@
+Logarithme
+##########
+
+:date: 2021-04-25
+:modified: 2021-05-19
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: Exponentielle, Logarithme
+:category: Complementaire
+:summary: Retour sur l'exponentielle et approche historique du logarithme
+
+Étape 1: Retour sur la fonction exponentielle
+=============================================
+
+Cours: les connaissances de bases sur la fonction exponentielle
+
+.. image:: ./1B_exponentielle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur l'exponentielle
+
+Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponentielle et sur l'étude de fonctions
+
+.. image:: ./1E_exponentielle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques sur l'exponentielle
+
+Étape 2: Approche historique du log
+===================================
+
+Cours discuté sur la réalisation de multiplications avec des additions.
+
+.. image:: ./2P_sans_calculatrice.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Faire des multiplications sans calculatrices
+
+.. image:: ./2E_table_log.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Table de log
+
+Bilan: définition des logs
+
+.. image:: ./2B_def_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Définition des logarithmes
+
+Étape 3: Un monde multiplicatif
+===============================
+
+Mises en situation des phénomènes multiplicatifs autour de nous et de la nécessité d'utiliser les logs
+
+.. image:: ./3E_echelle_log.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices autour de l'échelle logarithmique
+
+Thèmes:
+- Ordre de grandeur
+- Suivi épidémique
+- pH
+- Intensité électrique, sonore, sismique
+- quantité d'information
+
+Bilan: échelle logarithmique
+
+Étape 4: Relations fonctionnelles et équations
+==============================================
+
+Exercices techniques sur les manipulations du log
+
+.. image:: ./4E_eq_manip.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: manipulations techniques et résolutions d'équations
+
+Bilan: Autres relations fonctionnelles et résolutions d'(in)équations
+
+.. image:: ./4B_rel_fonctionnelles.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Manipulations du log et équations
+
+Étape 5: Étude de la fonction ln
+================================
+
+Avec la calculatrice, les élèves découvrent ln comme une fonction. Puis on donne la formule de la dérivée et on étudier les variations
+
+.. image:: ./5E_fonction_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Étude de fonctions avec ln
+
+Bilan: éléments remarquables du logarithme et dérivée
+
+.. image:: ./5B_fonction_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: éléments remarquables et dérivée

Complementaire/04_eq_diff/1B_eq_diff.tex

@@ -0,0 +1,78 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation differentielle - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Équation différentielle}
+
+\begin{definition}
+
+Une \textbf{équation différentielle} est une relation une variable ($x$, $t$...), une fonction ($f$) et les dérivées de cette fonction ($f'$, $f''$...).
+
+\textbf{Résoudre une équation différentielle} consiste à déterminer toutes les fonctions qui satisfont cette relation.
+    
+\end{definition}
+
+\subsection*{Exemple}
+
+On souhaite résoudre l'équation différentielle $f'(x) = 3x^2$.
+
+Le cours sur la primitive nous permet résoudre cette équation. Une solution peut-être
+\[
+    f(x) = x^3
+\]
+Mais il en existe d'autres
+\[
+    f(x) = x^3 + 1 \qquad \qquad
+    f(x) = x^3 + 2 \qquad \qquad
+    f(x) = x^3 - 1 \qquad \qquad
+    f(x) = x^3 - 4 \qquad \qquad
+\]
+
+On peut vérifier que cette fonction est bien solution de cette équation la dérivant:
+
+\afaire{}
+
+On peut noter toutes ces solutions sous la forme suivantes
+\[
+    f(x) = x^3 + k \qquad \mbox{ avec } k \mbox{ un nombre réel}
+\]
+Cela signifie qu'il y a une infinité de solution à cette équation différentielle. Toutes les fonctions tracées dans le graphiques ci-dessous sont des solutions (et il en existe une infinité d'autres)
+
+\begin{center}
+    \begin{tikzpicture}[yscale=0.7, xscale=1.4]
+        \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
+        ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
+        \tkzGrid
+        \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3}
+        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+1}
+        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+2}
+        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-1}
+        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-4}
+    \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{encadre}{ Notation }
+Il y a différente façons de noter les dérivées dans les équations différentielles:
+
+\begin{multicols}{3}
+    Classique: $f'(x) = 3x^2$
+
+    Compacte:  $y' = 3x^2$
+
+    Physicienne: $\dfrac{df}{dx} = 3x^2$
+\end{multicols}
+~\\
+\end{encadre}
+
+
+\end{document}

Complementaire/04_eq_diff/1E_pos_vitesse_acc.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation différentielle - Exercices}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=1,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

Complementaire/04_eq_diff/2B_solutions.tex

@@ -0,0 +1,68 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{qrcode}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation differentielle - Cours}
+\date{Mai 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Solutions d'équations différentielles}
+
+\begin{propriete}[équation $y' = a(x)$]
+
+    Soit $a(x)$ une fonction réelle, on note $A(x)$ une primitive de $a(x)$. 
+
+    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a(x)$ sont
+    \[
+        f(x) = A(x) + k \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Les solutions de $y' = 10x + 1$ sont 
+\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
+
+\begin{propriete}[équation $y' = ay$]
+
+    Soit $a$ un nombre réel non nul
+
+    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y$ sont
+    \[
+        f(x) = ke^{ax} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Les solutions de $y' = 10y$ sont 
+\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
+
+\paragraph{Démonstration}%
+
+\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/d4233ed5-4e88-4be1-b470-58df67aefeb5}{Démonstration de la propriété}
+
+
+\begin{propriete}[équation $y' = ay + b$]
+
+    Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls
+
+    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y + b$ sont
+    \[
+        f(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Les solutions de $y' = 10y + 5$ sont 
+\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
+
+\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/b6247c66-e834-46f9-adfa-af30cca4721}{Résoudre une équation du type $y' = ay + b$.}
+
+
+\end{document}

Complementaire/04_eq_diff/2E_eq_diff_lineaire.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation différentielle - Exercices}
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/04_eq_diff/2P_hint.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
+
+\setlength\columnsep{0pt}
+
+\title{Ordre de grandeurs}
+\date{Avril 2021}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Modélisation avec équation différentielle}
+Les problèmes qui suivent cherchent à modéliser une situation proche d'une de vos spécialités en utilisant les équations différentielles. Pour les résoudre, vous pouvez suivre le trame suivante:
+\begin{itemize}
+    \item Définir la fonction qui va modéliser la grandeur étudiée (sans connaître sa formule pour le moment) et traduire en language mathématique les contraintes de l'énoncé.
+    \item En respectant l'hypothèse, poser l'équation différentielle qui contraint cette fonction.
+    \item Proposer une solution de cette équation différentielle.
+    \item Utiliser les conditions pour déterminer les constantes introduites aux questions précédentes.
+    \item En déduire la formule de la fonction qui modélise la grandeur étudiée.
+    \item Répondre à la question.
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Complementaire/04_eq_diff/exercises.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+\collectexercises{banque}
+%\begin{exercise}[subtitle={Position - vitesse - accélération}, step={1}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+%    \begin{enumerate}
+%        \item On observe un mobile en mouvement et on décrit sa position verticale en fonction du temps $t$ en secondes par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
+%            \begin{enumerate}
+%                \item Déterminer la fonction décrivant la vitesse du module $v(t) = z'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dz}{dt}$).
+%                \item Déterminer la fonction décrivant l'accélération du module $a(t) = v'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dv}{dt}$).
+%                \item À quelle hauteur le mobile a été lâché? Quel était alors sa vitesse? Son accélération?
+%            \end{enumerate}
+%        \item On étudie un mobile en chute libre. On le lance à une hauteur de 10m au dessus du sol avec une vitesse de 1m/s. Un bilan des forces permet de connaître son accélération au cours du mouvement: $a(t) = -10$.
+%            \begin{enumerate}
+%                \item On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($a(t) = v'(t)$). Déterminer la fonction vitesse du mobile.
+%                \item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
+%                \item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales? 
+%            \end{enumerate}
+%        \item On considère, la fonction $m(t)$ qui modélise la masse d'une réactif dans une réaction chimique. Une étude cinétique de la réaction mène déduire que l'évolution de la masse du réactif (la vitesse de la réaction) est proportionnelle à cette masse du réactif. On traduit cela par la formule $\dfrac{dm}{dt} = -k \times m(t)$. 
+%
+%            Pour simplifier, on estimera que $k = 1$ et que l'on a donc $\dfrac{dm}{dt} = -m(t)$
+%
+%            \begin{enumerate}
+%                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
+%                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
+%                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction exponentielle?
+%            \end{enumerate}
+%    \end{enumerate}
+%\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Loi de Malthus}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    On peut estimer la population mondiale en l'an 0 à environ 200 millions d'individus et celle de l'an 2000 à 6 milliards d'individus.
+
+    La \textbf{loi de Malthus} fait entre autre l'hypothèse que la vitesse d'accroissement de la population est proportionnelle à la population.
+
+    Vous devez déterminer une fonction qui modélise la population mondiale pour ensuite donner une estimation de la population mondiale en -5000 avant JC ainsi que l'année où la population dépassera les 10 milliards.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Refroidissement}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    On sort un plat du four à 100°C pour le manger dehors alors qu'il fait 0°C. Après 10minutes, le plat est à 45°C.
+
+    La modélisation physique dans ces conditions considère que la vitesse de refroidissement des proportionnelle à la temperature du plat.
+    
+    Vous devez déterminer la fonction qui modéliser la temperature du plat puis ensuite estimer sa température après 5minutes et ainsi que le temps qu'il faudra attendre pour qu'il atteigne 10°C.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    Les organismes vivants contienne naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant du rayonnement cosmique. Pendant leur vie, la concentration en carbone 14 est constamment renouvelé et on peut la considéré constante égale à 15,3unités.
+
+    L'étude de la désintégration du carbon 14 a conduit à la loi suivante: la vitesse de désintégration est proportionnelle à la concentration et que le coefficient  de proportionnalité est égal à -0.124.
+
+    Vous devez déterminer la fonction qui modélise la concentration en carbone 14 d'un organisme vivant après sa mort puis vous devrez calculer l'age d'un fragment d'os qui a une concentration en carbon 14 égale à 7.24unités.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Taux d'intérêt continue}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation différentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    On place \np{10000}\euro sur un placement avec un rendement annuel de 5\%.
+
+    On souhaite retirer cet argent 2ans et demi après son ouverture. Combien va-t-on récupérer?
+
+    \textit{Pour modéliser la situation, on considèrera que la vitesse d'accroissement du placement est proportionnelle à quantité d'argent dessus}
+\end{exercise}
+
+\collectexercisesstop{banque}

Complementaire/04_eq_diff/index.rst

@@ -0,0 +1,43 @@
+Équations différentielles
+#########################
+
+:date: 2021-05-26
+:modified: 2021-06-02
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: Exponentielle, Équations différentielles
+:category: Complementaire
+:summary: Réintroduction des équations différentielles
+
+Étape 1: Position - vitesse - accélération
+==========================================
+
+À partir d'une position, on cherche à retrouver la vitesse puis l'accélération. Puis on renverse le problème, à partir d'une accélération, on va chercher à retrouver une fonction décrivant la position.
+
+Le but est de passer assez vite sur la première partie pour se concentrer sur la 2e et introduire la 3e.
+
+.. image:: ./1E_pos_vitesse_acc.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Manipulation de position, vitesse et accélération.
+
+Bilan: Définition d'une équation différentielle avec en particulier les différentes formes à connaître.
+
+.. image:: ./1B_eq_diff.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Définition des éuqation différentielles
+
+
+Étape 2: Équation différentielles d'ordre 1
+===========================================
+
+Les dernières questions de l'étape 1, permettent d'introduire la notion d'équation différentielle linéaire d'ordre 1 pour modéliser des phénomènes où la vitesse est proportionnelle à la quantité.
+
+On propose alors 4 situations à étudier selon le même modèle d'étude. On regroupe les élèves en 4 groupes et ensemble, ils cherchent à construire l'équation différentielle et à la résoudre.
+
+.. image:: ./2E_eq_diff_lineaire.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Situations de modélisation avec eq diff
+
+.. image:: ./2P_hint.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Trame pour répondre aux exercices
+

Complementaire/DM/2105_DM1/01_2105_DM1.tex

@@ -0,0 +1,366 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DM1 \hfill BALLARD Antoine}
+\tribe{Maths complémentaires}
+\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
+
+\xsimsetup{
+    solution/print = false
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $20m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges. 
+
+        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
+            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
+            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = 4x + 20 + \frac{40}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que
+            \[
+                S(x) = \frac{4x^2 + 20x + 40}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 40}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
+            \begin{itemize}
+                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
+                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
+            \end{itemize}
+        \item Pour calculer le volume, on a
+            \begin{eqnarray*}
+                V &=& h\times x \times 2 \\
+                20 &=& h\times x \times 2 \\
+                x &=& \frac{20}{h\times 2} = \frac{10}{h}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{10}{x}\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& 4x + 20 + \frac{40}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& 4x + 20 + \frac{40}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{40}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x^2 + 20x + 40}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
+            \[
+                u(x) = 4x^2 + 20x + 40 \Rightarrow u'(x) = 8x + 20
+            \]
+            \[
+                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
+            \]
+            Donc au numérateur on obtient
+            \begin{eqnarray*}
+                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 20)\times x - (4x^2 + 20x + 40)\times 1\\
+                                                    &=& 4x^2 - 40
+            \end{eqnarray*}
+            Donc
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 40}{x^2}
+            \]
+        \item Tableau de variations de $S$
+
+            \begin{itemize}
+                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
+                \item Signe de $4x^2 - 40$: c'est un polynôme du 2e degré
+                    \[
+                        \Delta = 640 > 0
+                    \]
+                    Il y a donc 2 racines
+                    \[
+                        x_1 = - 3.1622776601683795 \qquad
+                        x_2 = 3.1622776601683795
+                    \]
+                    Et on sait que $4x^2 - 40$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
+                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
+                \item Tableau de variations
+
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 40$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.1622776601683795$, $10$}
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
+                    \end{tikzpicture}
+
+            \end{itemize}
+        \item On a donc une surface minimal pour $x=3.1622776601683795$ et $h = 31.6227766016837950$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
+    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 
+
+    \[
+        f(x) = \left(- x^{2} + 4.7 x - 7.9\right) e^{- x} + 7.9
+    \]
+    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
+    \begin{enumerate}
+        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
+        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
+            \[
+                F(x) = 7.9 x +  \left( x^{2} - 2.7 x + 5.2\right) e^{- x}
+            \]
+        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
+        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
+                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY
+                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
+                { (-x**2 + 4.7*x - 7.9)*exp(-x) + 7.9 };
+            \end{tikzpicture}
+        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
+        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{10.4}{e^{4}} + 26.4$
+        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
+            \[
+                (\frac{10.4}{e^{4}} + 26.4)\times 4 \times 15^2 = 23931.00000
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
+    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
+
+    \bigskip
+
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \textbf{Partie A}
+
+        \medskip
+
+        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
+
+        L'atelier A fabrique 40.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 24.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
+
+        De plus, 50.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
+
+        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
+
+        On considère les évènements suivants:
+
+        \begin{itemize}
+            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
+            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
+            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
+        \end{itemize}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+    \end{minipage}
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
+        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
+
+        \item  
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
+                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.6$.
+            \end{enumerate}
+        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+    \medskip
+
+    Dans cette partie, on suppose que 60.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
+
+    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
+
+    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
+
+    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
+
+    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{4}
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
+        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 12)$.
+        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
+        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
+    \end{enumerate}
+    \pagebreak
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.24}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.76}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.4}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.83}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.17}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.6}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
+                    \[
+                        P(A) = 0.4
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
+                    \[
+                        P(B) = 0.6
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
+                    \[
+                        P_A(D) = 0.24
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
+                    \[
+                        P(D \cap D) = 0.5
+                    \]
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
+                    \[
+                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.4 \times 0.24 = 0.1
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
+                    \[
+                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.1 + 0.5 = 0.6
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
+            \[
+                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.1}{0.6} = 0.17
+            \]
+        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.6$.
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+            \[
+                P(X = 12) = \coefBino{15}{12}\times 0.6^{12} \times 0.4^{3}
+            \]
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+
+            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
+            \[
+                P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.6^{0} \times 0.4^{15}
+            \]
+            Puis comparer ce nombre à 0,5.
+        \item Il faut calculer l'espérance
+            \[
+                E[X] = n\times p = 15 \times 0.6 = 9.0
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

Complementaire/DM/2105_DM1/02_2105_DM1.tex

@@ -0,0 +1,366 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DM1 \hfill BALUKHATYY Alexandre}
+\tribe{Maths complémentaires}
+\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
+
+\xsimsetup{
+    solution/print = false
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $14m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges. 
+
+        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
+            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
+            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = 4x + 14 + \frac{28}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que
+            \[
+                S(x) = \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 28}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
+            \begin{itemize}
+                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
+                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
+            \end{itemize}
+        \item Pour calculer le volume, on a
+            \begin{eqnarray*}
+                V &=& h\times x \times 2 \\
+                14 &=& h\times x \times 2 \\
+                x &=& \frac{14}{h\times 2} = \frac{7}{h}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{7}{x}\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{28}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
+            \[
+                u(x) = 4x^2 + 14x + 28 \Rightarrow u'(x) = 8x + 14
+            \]
+            \[
+                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
+            \]
+            Donc au numérateur on obtient
+            \begin{eqnarray*}
+                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 14)\times x - (4x^2 + 14x + 28)\times 1\\
+                                                    &=& 4x^2 - 28
+            \end{eqnarray*}
+            Donc
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 28}{x^2}
+            \]
+        \item Tableau de variations de $S$
+
+            \begin{itemize}
+                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
+                \item Signe de $4x^2 - 28$: c'est un polynôme du 2e degré
+                    \[
+                        \Delta = 448 > 0
+                    \]
+                    Il y a donc 2 racines
+                    \[
+                        x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
+                        x_2 = 2.6457513110645907
+                    \]
+                    Et on sait que $4x^2 - 28$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
+                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
+                \item Tableau de variations
+
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 28$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
+                    \end{tikzpicture}
+
+            \end{itemize}
+        \item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
+    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 
+
+    \[
+        f(x) = \left(- x^{2} + 7.7 x - 8.4\right) e^{- x} + 8.4
+    \]
+    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
+    \begin{enumerate}
+        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
+        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
+            \[
+                F(x) = 8.4 x +  \left( x^{2} - 5.7 x + 2.7\right) e^{- x}
+            \]
+        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
+        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
+                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY
+                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
+                { (-x**2 + 7.7*x - 8.4)*exp(-x) + 8.4 };
+            \end{tikzpicture}
+        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
+        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 30.9 - \frac{4.1}{e^{4}}$
+        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
+            \[
+                (30.9 - \frac{4.1}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 27742.00000
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
+    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
+
+    \bigskip
+
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \textbf{Partie A}
+
+        \medskip
+
+        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
+
+        L'atelier A fabrique 14.000000000000002\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 51.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
+
+        De plus, 61.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
+
+        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
+
+        On considère les évènements suivants:
+
+        \begin{itemize}
+            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
+            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
+            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
+        \end{itemize}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
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+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
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+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+    \end{minipage}
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
+        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
+
+        \item  
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
+                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.68$.
+            \end{enumerate}
+        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+    \medskip
+
+    Dans cette partie, on suppose que 68.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
+
+    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
+
+    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
+
+    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
+
+    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{4}
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
+        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
+        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
+        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
+    \end{enumerate}
+    \pagebreak
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.51}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.49}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.14}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.71}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.29}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.86}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
+                    \[
+                        P(A) = 0.14
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
+                    \[
+                        P(B) = 0.86
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
+                    \[
+                        P_A(D) = 0.51
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
+                    \[
+                        P(D \cap D) = 0.61
+                    \]
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
+                    \[
+                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.14 \times 0.51 = 0.07
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
+                    \[
+                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.07 + 0.61 = 0.68
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
+            \[
+                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.07}{0.68} = 0.1
+            \]
+        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=16$ et $p=0.68$.
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+            \[
+                P(X = 10) = \coefBino{16}{10}\times 0.68^{10} \times 0.32^{6}
+            \]
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+
+            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
+            \[
+                P(X = 0) = \coefBino{16}{0}\times 0.68^{0} \times 0.32^{16}
+            \]
+            Puis comparer ce nombre à 0,5.
+        \item Il faut calculer l'espérance
+            \[
+                E[X] = n\times p = 16 \times 0.68 = 10.88
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

Complementaire/DM/2105_DM1/03_2105_DM1.tex

@@ -0,0 +1,366 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DM1 \hfill CALES Mathis}
+\tribe{Maths complémentaires}
+\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
+
+\xsimsetup{
+    solution/print = false
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $8m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges. 
+
+        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
+            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
+            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = 4x + 8 + \frac{16}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que
+            \[
+                S(x) = \frac{4x^2 + 8x + 16}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 16}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
+            \begin{itemize}
+                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $4 / 2$
+                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $4 / 3$
+            \end{itemize}
+        \item Pour calculer le volume, on a
+            \begin{eqnarray*}
+                V &=& h\times x \times 2 \\
+                8 &=& h\times x \times 2 \\
+                x &=& \frac{8}{h\times 2} = \frac{4}{h}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& x\times \frac{4}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{4}{x}\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& 4x + 8 + \frac{16}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& 4x + 8 + \frac{16}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{8\times x}{x} + \frac{16}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x^2 + 8x + 16}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
+            \[
+                u(x) = 4x^2 + 8x + 16 \Rightarrow u'(x) = 8x + 8
+            \]
+            \[
+                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
+            \]
+            Donc au numérateur on obtient
+            \begin{eqnarray*}
+                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 8)\times x - (4x^2 + 8x + 16)\times 1\\
+                                                    &=& 4x^2 - 16
+            \end{eqnarray*}
+            Donc
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 16}{x^2}
+            \]
+        \item Tableau de variations de $S$
+
+            \begin{itemize}
+                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
+                \item Signe de $4x^2 - 16$: c'est un polynôme du 2e degré
+                    \[
+                        \Delta = 256 > 0
+                    \]
+                    Il y a donc 2 racines
+                    \[
+                        x_1 = - 2 \qquad
+                        x_2 = 2
+                    \]
+                    Et on sait que $4x^2 - 16$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
+                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
+                \item Tableau de variations
+
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 16$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2$, $10$}
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
+                    \end{tikzpicture}
+
+            \end{itemize}
+        \item On a donc une surface minimal pour $x=2$ et $h = 8$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
+    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 
+
+    \[
+        f(x) = \left(- x^{2} + 9.4 x - 4.9\right) e^{- x} + 4.9
+    \]
+    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
+    \begin{enumerate}
+        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
+        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
+            \[
+                F(x) = 4.9 x +  \left( x^{2} - 7.4 x - 2.5\right) e^{- x}
+            \]
+        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
+        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
+                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY
+                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
+                { (-x**2 + 9.4*x - 4.9)*exp(-x) + 4.9 };
+            \end{tikzpicture}
+        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
+        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 22.1 - \frac{16.1}{e^{4}}$
+        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
+            \[
+                (22.1 - \frac{16.1}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 19625.00000
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
+    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
+
+    \bigskip
+
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \textbf{Partie A}
+
+        \medskip
+
+        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
+
+        L'atelier A fabrique 37.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 24.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
+
+        De plus, 22.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
+
+        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
+
+        On considère les évènements suivants:
+
+        \begin{itemize}
+            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
+            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
+            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
+        \end{itemize}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+    \end{minipage}
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
+        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
+
+        \item  
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
+                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.31$.
+            \end{enumerate}
+        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+    \medskip
+
+    Dans cette partie, on suppose que 31.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
+
+    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
+
+    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
+
+    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
+
+    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{4}
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
+        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 12)$.
+        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
+        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
+    \end{enumerate}
+    \pagebreak
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.24}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.76}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.37}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.35}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.65}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.63}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
+                    \[
+                        P(A) = 0.37
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
+                    \[
+                        P(B) = 0.63
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
+                    \[
+                        P_A(D) = 0.24
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
+                    \[
+                        P(D \cap D) = 0.22
+                    \]
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
+                    \[
+                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.37 \times 0.24 = 0.09
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
+                    \[
+                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.09 + 0.22 = 0.31
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
+            \[
+                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.09}{0.31} = 0.29
+            \]
+        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=18$ et $p=0.31$.
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+            \[
+                P(X = 12) = \coefBino{18}{12}\times 0.31^{12} \times 0.69^{6}
+            \]
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+
+            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
+            \[
+                P(X = 0) = \coefBino{18}{0}\times 0.31^{0} \times 0.69^{18}
+            \]
+            Puis comparer ce nombre à 0,5.
+        \item Il faut calculer l'espérance
+            \[
+                E[X] = n\times p = 18 \times 0.31 = 5.58
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

Complementaire/DM/2105_DM1/04_2105_DM1.tex

@@ -0,0 +1,366 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DM1 \hfill CHAKIR Iman}
+\tribe{Maths complémentaires}
+\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
+
+\xsimsetup{
+    solution/print = false
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $16m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges. 
+
+        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
+            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
+            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{8}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = 4x + 16 + \frac{32}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que
+            \[
+                S(x) = \frac{4x^2 + 16x + 32}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 32}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
+            \begin{itemize}
+                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $8 / 2$
+                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $8 / 3$
+            \end{itemize}
+        \item Pour calculer le volume, on a
+            \begin{eqnarray*}
+                V &=& h\times x \times 2 \\
+                16 &=& h\times x \times 2 \\
+                x &=& \frac{16}{h\times 2} = \frac{8}{h}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& x\times \frac{8}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{8}{x}\times 2\times 2\\
+                S(x) &=& 4x + 16 + \frac{32}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& 4x + 16 + \frac{32}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{16\times x}{x} + \frac{32}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{4x^2 + 16x + 32}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
+            \[
+                u(x) = 4x^2 + 16x + 32 \Rightarrow u'(x) = 8x + 16
+            \]
+            \[
+                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
+            \]
+            Donc au numérateur on obtient
+            \begin{eqnarray*}
+                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 16)\times x - (4x^2 + 16x + 32)\times 1\\
+                                                    &=& 4x^2 - 32
+            \end{eqnarray*}
+            Donc
+            \[
+                S'(x) = \frac{4x^2 - 32}{x^2}
+            \]
+        \item Tableau de variations de $S$
+
+            \begin{itemize}
+                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
+                \item Signe de $4x^2 - 32$: c'est un polynôme du 2e degré
+                    \[
+                        \Delta = 512 > 0
+                    \]
+                    Il y a donc 2 racines
+                    \[
+                        x_1 = - 2.8284271247461903 \qquad
+                        x_2 = 2.8284271247461903
+                    \]
+                    Et on sait que $4x^2 - 32$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
+                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
+                \item Tableau de variations
+
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 32$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.8284271247461903$, $10$}
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
+                    \end{tikzpicture}
+
+            \end{itemize}
+        \item On a donc une surface minimal pour $x=2.8284271247461903$ et $h = 22.6274169979695224$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
+    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 
+
+    \[
+        f(x) = \left(- x^{2} + 6.1 x - 2.6\right) e^{- x} + 2.6
+    \]
+    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
+    \begin{enumerate}
+        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
+        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
+            \[
+                F(x) = 2.6 x +  \left( x^{2} - 4.1 x - 1.5\right) e^{- x}
+            \]
+        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
+        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
+                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY
+                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
+                { (-x**2 + 6.1*x - 2.6)*exp(-x) + 2.6 };
+            \end{tikzpicture}
+        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
+        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 11.9 - \frac{1.9}{e^{4}}$
+        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
+            \[
+                (11.9 - \frac{1.9}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 10679.00000
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
+    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
+
+    \bigskip
+
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \textbf{Partie A}
+
+        \medskip
+
+        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
+
+        L'atelier A fabrique 57.99999999999999\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 5.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
+
+        De plus, 14.000000000000002\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
+
+        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
+
+        On considère les évènements suivants:
+
+        \begin{itemize}
+            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
+            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
+            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
+        \end{itemize}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+    \end{minipage}
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
+        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
+
+        \item  
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
+                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.17$.
+            \end{enumerate}
+        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+    \medskip
+
+    Dans cette partie, on suppose que 17.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
+
+    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
+
+    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
+
+    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
+
+    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{4}
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
+        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 17)$.
+        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
+        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
+    \end{enumerate}
+    \pagebreak
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.05}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.95}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.58}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.33}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.67}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.42}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
+                    \[
+                        P(A) = 0.58
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
+                    \[
+                        P(B) = 0.42
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
+                    \[
+                        P_A(D) = 0.05
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
+                    \[
+                        P(D \cap D) = 0.14
+                    \]
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
+                    \[
+                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.58 \times 0.05 = 0.03
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
+                    \[
+                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.03 + 0.14 = 0.17
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
+            \[
+                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.03}{0.17} = 0.18
+            \]
+        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.17$.
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+            \[
+                P(X = 17) = \coefBino{19}{17}\times 0.17^{17} \times 0.83^{2}
+            \]
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+
+            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
+            \[
+                P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.17^{0} \times 0.83^{19}
+            \]
+            Puis comparer ce nombre à 0,5.
+        \item Il faut calculer l'espérance
+            \[
+                E[X] = n\times p = 19 \times 0.17 = 3.23
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

Complementaire/DM/2105_DM1/05_2105_DM1.tex

@@ -0,0 +1,366 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DM1 \hfill GERMAIN Margot}
+\tribe{Maths complémentaires}
+\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
+
+\xsimsetup{
+    solution/print = false
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $45m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges. 
+
+        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
+            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
+            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{9}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = 10x + 18 + \frac{90}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que
+            \[
+                S(x) = \frac{10x^2 + 18x + 90}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{10x^2 - 90}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
+            \begin{itemize}
+                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=45$, $h$ doit être égale à $9 / 2$
+                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=45$, $h$ doit être égale à $9 / 3$
+            \end{itemize}
+        \item Pour calculer le volume, on a
+            \begin{eqnarray*}
+                V &=& h\times x \times 5 \\
+                45 &=& h\times x \times 5 \\
+                x &=& \frac{45}{h\times 5} = \frac{9}{h}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
+                S(x) &=& x\times \frac{9}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{9}{x}\times 5\times 2\\
+                S(x) &=& 10x + 18 + \frac{90}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& 10x + 18 + \frac{90}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{18\times x}{x} + \frac{90}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{10x^2 + 18x + 90}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
+            \[
+                u(x) = 10x^2 + 18x + 90 \Rightarrow u'(x) = 20x + 18
+            \]
+            \[
+                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
+            \]
+            Donc au numérateur on obtient
+            \begin{eqnarray*}
+                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 18)\times x - (10x^2 + 18x + 90)\times 1\\
+                                                    &=& 10x^2 - 90
+            \end{eqnarray*}
+            Donc
+            \[
+                S'(x) = \frac{10x^2 - 90}{x^2}
+            \]
+        \item Tableau de variations de $S$
+
+            \begin{itemize}
+                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
+                \item Signe de $10x^2 - 90$: c'est un polynôme du 2e degré
+                    \[
+                        \Delta = 3600 > 0
+                    \]
+                    Il y a donc 2 racines
+                    \[
+                        x_1 = - 3 \qquad
+                        x_2 = 3
+                    \]
+                    Et on sait que $10x^2 - 90$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
+                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
+                \item Tableau de variations
+
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 90$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3$, $10$}
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
+                    \end{tikzpicture}
+
+            \end{itemize}
+        \item On a donc une surface minimal pour $x=3$ et $h = 27$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
+    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 
+
+    \[
+        f(x) = \left(- x^{2} + 1.2 x - 9.5\right) e^{- x} + 9.5
+    \]
+    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
+    \begin{enumerate}
+        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
+        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
+            \[
+                F(x) = 9.5 x +  \left( x^{2} + 0.8 x + 10.3\right) e^{- x}
+            \]
+        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
+        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
+                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY
+                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
+                { (-x**2 + 1.2*x - 9.5)*exp(-x) + 9.5 };
+            \end{tikzpicture}
+        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
+        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{29.5}{e^{4}} + 27.7$
+        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
+            \[
+                (\frac{29.5}{e^{4}} + 27.7)\times 4 \times 15^2 = 25416.00000
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
+    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
+
+    \bigskip
+
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \textbf{Partie A}
+
+        \medskip
+
+        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
+
+        L'atelier A fabrique 31.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 4.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
+
+        De plus, 15.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
+
+        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
+
+        On considère les évènements suivants:
+
+        \begin{itemize}
+            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
+            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
+            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
+        \end{itemize}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+    \end{minipage}
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
+        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
+
+        \item  
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
+                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.16$.
+            \end{enumerate}
+        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+    \medskip
+
+    Dans cette partie, on suppose que 16.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
+
+    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
+
+    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
+
+    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
+
+    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{4}
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
+        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 13)$.
+        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
+        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
+    \end{enumerate}
+    \pagebreak
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.04}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.96}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.31}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.22}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.78}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.69}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
+                    \[
+                        P(A) = 0.31
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
+                    \[
+                        P(B) = 0.69
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
+                    \[
+                        P_A(D) = 0.04
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
+                    \[
+                        P(D \cap D) = 0.15
+                    \]
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
+                    \[
+                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.31 \times 0.04 = 0.01
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
+                    \[
+                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.01 + 0.15 = 0.16
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
+            \[
+                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.01}{0.16} = 0.06
+            \]
+        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=14$ et $p=0.16$.
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+            \[
+                P(X = 13) = \coefBino{14}{13}\times 0.16^{13} \times 0.84^{1}
+            \]
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+
+            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
+            \[
+                P(X = 0) = \coefBino{14}{0}\times 0.16^{0} \times 0.84^{14}
+            \]
+            Puis comparer ce nombre à 0,5.
+        \item Il faut calculer l'espérance
+            \[
+                E[X] = n\times p = 14 \times 0.16 = 2.24
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

Complementaire/DM/2105_DM1/06_2105_DM1.tex

@@ -0,0 +1,366 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{DM1 \hfill HOKELEKLI Damla}
+\tribe{Maths complémentaires}
+\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
+
+\xsimsetup{
+    solution/print = false
+}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $21m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges. 
+
+        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
+            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
+            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
+            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = 6x + 14 + \frac{42}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que
+            \[
+                S(x) = \frac{6x^2 + 14x + 42}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{6x^2 - 42}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
+            \begin{itemize}
+                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=21$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
+                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=21$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
+            \end{itemize}
+        \item Pour calculer le volume, on a
+            \begin{eqnarray*}
+                V &=& h\times x \times 3 \\
+                21 &=& h\times x \times 3 \\
+                x &=& \frac{21}{h\times 3} = \frac{7}{h}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
+                S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{7}{x}\times 3\times 2\\
+                S(x) &=& 6x + 14 + \frac{42}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
+            \begin{eqnarray*}
+                S(x) &=& 6x + 14 + \frac{42}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{42}{x}\\
+                S(x) &=& \frac{6x^2 + 14x + 42}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
+            \[
+                u(x) = 6x^2 + 14x + 42 \Rightarrow u'(x) = 12x + 14
+            \]
+            \[
+                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
+            \]
+            Donc au numérateur on obtient
+            \begin{eqnarray*}
+                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 14)\times x - (6x^2 + 14x + 42)\times 1\\
+                                                    &=& 6x^2 - 42
+            \end{eqnarray*}
+            Donc
+            \[
+                S'(x) = \frac{6x^2 - 42}{x^2}
+            \]
+        \item Tableau de variations de $S$
+
+            \begin{itemize}
+                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
+                \item Signe de $6x^2 - 42$: c'est un polynôme du 2e degré
+                    \[
+                        \Delta = 1008 > 0
+                    \]
+                    Il y a donc 2 racines
+                    \[
+                        x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
+                        x_2 = 2.6457513110645907
+                    \]
+                    Et on sait que $6x^2 - 42$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
+                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
+                \item Tableau de variations
+
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 42$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
+                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
+                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
+                    \end{tikzpicture}
+
+            \end{itemize}
+        \item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
+    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 
+
+    \[
+        f(x) = \left(- x^{2} + 2.6 x - 4.1\right) e^{- x} + 4.1
+    \]
+    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
+    \begin{enumerate}
+        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
+        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
+            \[
+                F(x) = 4.1 x +  \left( x^{2} - 0.6 x + 3.5\right) e^{- x}
+            \]
+        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
+        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
+                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY
+                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
+                { (-x**2 + 2.6*x - 4.1)*exp(-x) + 4.1 };
+            \end{tikzpicture}
+        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
+        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{17.1}{e^{4}} + 12.9$
+        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
+            \[
+                (\frac{17.1}{e^{4}} + 12.9)\times 4 \times 15^2 = 11892.00000
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+
+\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
+    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
+
+    \bigskip
+
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \textbf{Partie A}
+
+        \medskip
+
+        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
+
+        L'atelier A fabrique 26.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 60.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
+
+        De plus, 74.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
+
+        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
+
+        On considère les évènements suivants:
+
+        \begin{itemize}
+            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
+            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
+            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
+        \end{itemize}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {...}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+    \end{minipage}
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
+        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
+
+        \item  
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
+                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.9$.
+            \end{enumerate}
+        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+    \medskip
+
+    Dans cette partie, on suppose que 90.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
+
+    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
+
+    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
+
+    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
+
+    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{4}
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
+        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 13)$.
+        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
+        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
+    \end{enumerate}
+    \pagebreak
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[sloped]
+                    \node {.} 
+                    child {node {$A$}
+                        child {node {$D$} 
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.6}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.4}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.26}
+                    }
+                    child[missing] {}
+                    child { node {$B$}
+                        child {node {$D$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {1.0}
+                        }
+                        child {node {$\overline{D}$}
+                            edge from parent
+                            node[above] {0.0}
+                        } 
+                        edge from parent
+                        node[above] {0.74}
+                    } ;
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
+                    \[
+                        P(A) = 0.26
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
+                    \[
+                        P(B) = 0.74
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
+                    \[
+                        P_A(D) = 0.6
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
+                    \[
+                        P(D \cap D) = 0.74
+                    \]
+            \end{itemize}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
+                    \[
+                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.26 \times 0.6 = 0.16
+                    \]
+                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
+                    \[
+                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.16 + 0.74 = 0.9
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
+            \[
+                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.16}{0.9} = 0.18
+            \]
+        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.9$.
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+            \[
+                P(X = 13) = \coefBino{15}{13}\times 0.9^{13} \times 0.1^{2}
+            \]
+        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
+
+            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
+            \[
+                P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.9^{0} \times 0.1^{15}
+            \]
+            Puis comparer ce nombre à 0,5.
+        \item Il faut calculer l'espérance
+            \[
+                E[X] = n\times p = 15 \times 0.9 = 13.5
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End: